{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których równanie\n\\[x^2 - (3m + 1) \\cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0\\]\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_1\\), \\(x_2\\) spełniające warunek\n\\[x_1^2 + x_2^2 + 3 \\cdot x_1 \\cdot x_2 \\cdot (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7.\\]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + uproszczenie wyrażenia\n\n### Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))\n\n\\[\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1) > 0\\]\n\\[= 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 > 0\\]\n\\[= m^2 + 2m - 3 > 0\\]\n\\[= (m+3)(m-1) > 0\\]\n\nStąd: **\\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\).**\n\n### Krok 2: Wzory Viète'a\n\nDla równania \\(x^2 - (3m+1)x + (2m^2+m+1) = 0\\):\n\\[x_1 + x_2 = 3m+1, \\qquad x_1 x_2 = 2m^2 + m + 1\\]\n\nOznaczmy \\(s = x_1 + x_2\\), \\(p = x_1 x_2\\).\n\n### Krok 3: Uproszczenie lewej strony nierówności\n\nKluczowa obserwacja: ze wzoru \\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\) wynika:\n\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia z nierówności:\n\\[x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1+x_2-3)\\]\n\\[= \\underbrace{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}_{=x_1^3+x_2^3} + 3x_1x_2(x_1+x_2) - 9x_1x_2\\]\n\\[= (x_1+x_2)^3 - 9x_1x_2 = s^3 - 9p\\]\n\n### Krok 4: Podstawienie Viète'a do nierówności\n\n\\[s^3 - 9p \\leq 3m - 7\\]\n\\[(3m+1)^3 - 9(2m^2+m+1) \\leq 3m - 7\\]\n\nRozwijamy \\((3m+1)^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1\\):\n\\[27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^3 + 9m^2 - 8 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\]\n\n### Krok 5: Faktoryzacja wielomianu\n\nSzukamy rozkładu przez grupowanie:\n\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = 9m^2(3m+1) - 1(3m+1) = (9m^2-1)(3m+1)\\]\n\\[= (3m-1)(3m+1)(3m+1) = (3m-1)(3m+1)^2\\]\n\nSprawdzenie: \\((3m-1)(9m^2+6m+1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1\\) ✓\n\nNierówność:\n\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]\n\nPonieważ \\((3m+1)^2 \\geq 0\\) **zawsze**:\n- Gdy \\(m = -\\frac{1}{3}\\): cały iloczyn \\(= 0 \\leq 0\\) ✓\n- Gdy \\(m \\neq -\\frac{1}{3}\\): \\((3m+1)^2 > 0\\), więc potrzebujemy \\(3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\)\n\n**Z nierówności wynika: \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\).**\n\n### Krok 6: Część wspólna obu warunków\n\n\\[(\\underbrace{m < -3 \\text{ lub } m > 1}_{\\Delta > 0}) \\quad \\cap \\quad (\\underbrace{m \\leq \\tfrac{1}{3}}_{\\text{nierówność}})\\]\n\n- \\(m < -3\\) i \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) → daje \\(m < -3\\)\n- \\(m > 1\\) i \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) → **zbiór pusty**\n\n**Odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i analiza znaku\n\n### Uproszczona postać nierówności (ta sama co wyżej):\n\n\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]\n\nZanalizujemy znaki na osi liczbowej. Zera funkcji: \\(m = \\frac{1}{3}\\) (prosta) i \\(m = -\\frac{1}{3}\\) (podwójne - nie zmienia znaku).\n\n| Przedział | \\(3m-1\\) | \\((3m+1)^2\\) | Iloczyn |\n| \\(m < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\frac{1}{3} < m < \\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(m = \\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(m > \\frac{1}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |\n\nNierówność spełniona dla \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) - identycznie jak w Sposobie 1.\n\n### Część wspólna z warunkiem \\(\\Delta > 0\\):\n\nNakładamy \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\) na \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\):\n\n\\[m \\in (-\\infty, -3)\\]\n\n**Sprawdzenie przykładowego punktu:** dla \\(m = -4\\):\n- \\(\\Delta = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0\\) ✓\n- \\((3(-4)-1)(3(-4)+1)^2 = (-13)(-11)^2 = -13 \\cdot 121 = -1573 \\leq 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i warunek dwóch różnych pierwiastków:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad \\Delta > 0 \\Rightarrow \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\]\nUżyte w Kroku 1 do warunku \\(\\Delta > 0\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nKluczowe w Kroku 2 - zamieniliśmy wyrażenie z \\(x_1, x_2\\) na wyrażenie w \\(m\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian sumy (w odwrotną stronę):\n\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]\nUżyte w Kroku 3 do uproszczenia \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie warunku \\(\\Delta > 0\\). Samo rozwiązanie nierówności daje \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\), ale zadanie wymaga **dwóch różnych** pierwiastków - bez \\(\\Delta > 0\\) wynik jest błędny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu \\(9m^2(3m+1) - 1 \\cdot (3m+1)\\) łatwo popełnić błąd znaku. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie czynników z powrotem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3m+1)^2 = 0\\) dla \\(m = -\\frac{1}{3}\\) sprawia, że ten punkt **spełnia** nierówność (wynik to \\(0 \\leq 0\\)), ale nie spełnia warunku \\(\\Delta > 0\\) - jest więc odrzucony. Podwójny pierwiastek \\((3m+1)^2\\) nie zmienia znaku iloczynu, więc nie tworzy nowego przedziału rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)**\n\n### Sposób 1\n\n**I etap: rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\).**\n\nTrójmian kwadratowy \\(x^{2} - (3m + 1)x + 2m^{2} + m + 1\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni. Rozwiązujemy warunek \\(\\Delta > 0\\):\n\\[[-(3m + 1)]^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^{2} + m + 1) > 0\\]\n\\[(3m + 1)^{2} - 4(2m^{2} + m + 1) > 0\\]\n\\[9m^{2} + 6m + 1 - 8m^{2} - 4m - 4 > 0\\]\n\\[m^{2} + 2m - 3 > 0\\]\n\\[(m - 1)(m + 3) > 0\\]\n\\[m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\]\n\n**II etap: wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego.**\n\nZ wzorów Viète'a: \\(x_1 + x_2 = 3m + 1\\) oraz \\(x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1\\).\n\nPrzekształcamy nierówność: zauważmy, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Zatem:\n\\[x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]\n\nWarunek zadania:\n\\[(x_1 + x_2)^{3} - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\]\n\\[(3m + 1)^{3} - 9 \\cdot (2m^{2} + m + 1) \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^{3} + 27m^{2} + 9m + 1 - 18m^{2} - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^{3} + 9m^{2} - 3m - 1 \\leq 0\\]\n\nRozkładamy wielomian: \\((3m)^3 - 1^3 + 9m^2 - 3m = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1) + 3m(3m - 1) = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1 + 3m) = (3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = (3m - 1)(3m + 1)^2\\).\n\nZatem nierówność: \\((3m - 1)(3m + 1)^{2} \\leq 0\\).\n\nPonieważ \\((3m + 1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(m\\), więc:\n- \\((3m + 1)^2 = 0 \\iff m = -\\dfrac{1}{3}\\), wtedy nierówność spełniona.\n- \\((3m + 1)^2 > 0\\): nierówność spełniona gdy \\(3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\).\n\nOstatecznie warunek II etapu: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n\n**III etap: część wspólna warunków z etapu I i II.**\n\n\\[m \\in \\left[(-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\right] \\cap \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle = (-\\infty, -3)\\]\n\nZatem ostatecznie \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n### Sposób 2\n\nPo obliczeniu \\(\\Delta > 0 \\iff m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\), stosujemy tożsamość:\n\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)\\]\n\nPodstawiamy do lewej strony warunku:\n\\[(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]\n\nZatem nierówność \\((x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\) sprowadza się do \\((3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\), czyli \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\((3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\).\n\nStąd \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\). Przecięcie z warunkiem z I etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\n\n**I etap** (\\(1\\) pkt): poprawne rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\): \\(m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\).\n**II etap** (\\(4\\) pkt): wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n- 4 pkt - rozwiązanie nierówności równoważnej warunkowi: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n- 3 pkt - zapisanie nierówności w postaci \\(W(m) \\leq 0\\), gdzie \\(W(m)\\) jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. \\((3m - 1)(3m + 1)^2 \\leq 0\\) ALBO zapisanie nierówności \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\) oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków.\n- 2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \\(m\\) równoważnej warunkowi, np. \\((3m + 1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\).\n- 1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a, np. \\((x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**III etap** (\\(1\\) pkt): wyznaczenie wszystkich wartości parametru \\(m\\), które spełniają jednocześnie warunki z I i II etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n**Uwagi:**\n- Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \\(\\Delta \\geq 0\\), to za I etap otrzymuje **0 punktów**.\n- Jeżeli zdający pominie istotne nawiasy lub błędnie zastosuje \\(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3\\), to za II etap może otrzymać co najwyżej **2 punkty**.\n\n**Trik:** Kluczem jest rozpoznanie, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Wtedy cała nierówność sprowadza się do funkcji w \\(m\\). Rozkład \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2\\) znajdujemy szukając pierwiastka wymiernego wg twierdzenia Bézouta (kandydaci \\(\\pm \\dfrac{1}{3}, \\pm 1\\)).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których równanie
\\[x^2 - (3m + 1) \\cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0\\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_1\\), \\(x_2\\) spełniające warunek
\\[x_1^2 + x_2^2 + 3 \\cdot x_1 \\cdot x_2 \\cdot (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7.\\]

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a + uproszczenie wyrażenia

\n
Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))
\n

\\[\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1) > 0\\]
\\[= 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 > 0\\]
\\[= m^2 + 2m - 3 > 0\\]
\\[= (m+3)(m-1) > 0\\]

\n

Stąd: \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\).

\n
Krok 2: Wzory Viète'a
\n

Dla równania \\(x^2 - (3m+1)x + (2m^2+m+1) = 0\\):
\\[x_1 + x_2 = 3m+1, \\qquad x_1 x_2 = 2m^2 + m + 1\\]

\n

Oznaczmy \\(s = x_1 + x_2\\), \\(p = x_1 x_2\\).

\n
Krok 3: Uproszczenie lewej strony nierówności
\n

Kluczowa obserwacja: ze wzoru \\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\) wynika:
\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\]

\n

Podstawiamy do wyrażenia z nierówności:
\\[x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1+x_2-3)\\]
\\[= \\underbrace{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}_{=x_1^3+x_2^3} + 3x_1x_2(x_1+x_2) - 9x_1x_2\\]
\\[= (x_1+x_2)^3 - 9x_1x_2 = s^3 - 9p\\]

\n
Krok 4: Podstawienie Viète'a do nierówności
\n

\\[s^3 - 9p \\leq 3m - 7\\]
\\[(3m+1)^3 - 9(2m^2+m+1) \\leq 3m - 7\\]

\n

Rozwijamy \\((3m+1)^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1\\):
\\[27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 8 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\]

\n
Krok 5: Faktoryzacja wielomianu
\n

Szukamy rozkładu przez grupowanie:
\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = 9m^2(3m+1) - 1(3m+1) = (9m^2-1)(3m+1)\\]
\\[= (3m-1)(3m+1)(3m+1) = (3m-1)(3m+1)^2\\]

\n

Sprawdzenie: \\((3m-1)(9m^2+6m+1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1\\) ✓

\n

Nierówność:
\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]

\n

Ponieważ \\((3m+1)^2 \\geq 0\\) zawsze:

\n\n

Z nierówności wynika: \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\).

\n
Krok 6: Część wspólna obu warunków
\n

\\[(\\underbrace{m < -3 \\text{ lub } m > 1}{\\Delta > 0}) \\quad \\cap \\quad (\\underbrace{m \\leq \\tfrac{1}{3}}{\\text{nierówność}})\\]

\n\n

Odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i analiza znaku

\n
Uproszczona postać nierówności (ta sama co wyżej):
\n

\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]

\n

Zanalizujemy znaki na osi liczbowej. Zera funkcji: \\(m = \\frac{1}{3}\\) (prosta) i \\(m = -\\frac{1}{3}\\) (podwójne - nie zmienia znaku).

\n

| Przedział | \\(3m-1\\) | \\((3m+1)^2\\) | Iloczyn |
| \\(m < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-\\frac{1}{3} < m < \\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(m = \\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(m > \\frac{1}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |

\n

Nierówność spełniona dla \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) - identycznie jak w Sposobie 1.

\n
Część wspólna z warunkiem \\(\\Delta > 0\\):
\n

Nakładamy \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\) na \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\):

\n

\\[m \\in (-\\infty, -3)\\]

\n

Sprawdzenie przykładowego punktu: dla \\(m = -4\\):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i warunek dwóch różnych pierwiastków:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad \\Delta > 0 \\Rightarrow \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\]
Użyte w Kroku 1 do warunku \\(\\Delta > 0\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Kluczowe w Kroku 2 - zamieniliśmy wyrażenie z \\(x_1, x_2\\) na wyrażenie w \\(m\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na sześcian sumy (w odwrotną stronę):
\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]
Użyte w Kroku 3 do uproszczenia \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2)\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie warunku \\(\\Delta > 0\\). Samo rozwiązanie nierówności daje \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\), ale zadanie wymaga dwóch różnych pierwiastków - bez \\(\\Delta > 0\\) wynik jest błędny!
\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu \\(9m^2(3m+1) - 1 \\cdot (3m+1)\\) łatwo popełnić błąd znaku. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie czynników z powrotem.
\n
⚠️ Uwaga: \\((3m+1)^2 = 0\\) dla \\(m = -\\frac{1}{3}\\) sprawia, że ten punkt spełnia nierówność (wynik to \\(0 \\leq 0\\)), ale nie spełnia warunku \\(\\Delta > 0\\) - jest więc odrzucony. Podwójny pierwiastek \\((3m+1)^2\\) nie zmienia znaku iloczynu, więc nie tworzy nowego przedziału rozwiązań.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)

\n
Sposób 1
\n

I etap: rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\).

\n

Trójmian kwadratowy \\(x^{2} - (3m + 1)x + 2m^{2} + m + 1\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni. Rozwiązujemy warunek \\(\\Delta > 0\\):
\\[[-(3m + 1)]^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^{2} + m + 1) > 0\\]
\\[(3m + 1)^{2} - 4(2m^{2} + m + 1) > 0\\]
\\[9m^{2} + 6m + 1 - 8m^{2} - 4m - 4 > 0\\]
\\[m^{2} + 2m - 3 > 0\\]
\\[(m - 1)(m + 3) > 0\\]
\\[m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\]

\n

II etap: wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego.

\n

Z wzorów Viète'a: \\(x_1 + x_2 = 3m + 1\\) oraz \\(x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1\\).

\n

Przekształcamy nierówność: zauważmy, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Zatem:
\\[x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]

\n

Warunek zadania:
\\[(x_1 + x_2)^{3} - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\]
\\[(3m + 1)^{3} - 9 \\cdot (2m^{2} + m + 1) \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^{3} + 27m^{2} + 9m + 1 - 18m^{2} - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^{3} + 9m^{2} - 3m - 1 \\leq 0\\]

\n

Rozkładamy wielomian: \\((3m)^3 - 1^3 + 9m^2 - 3m = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1) + 3m(3m - 1) = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1 + 3m) = (3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = (3m - 1)(3m + 1)^2\\).

\n

Zatem nierówność: \\((3m - 1)(3m + 1)^{2} \\leq 0\\).

\n

Ponieważ \\((3m + 1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(m\\), więc:

\n\n

Ostatecznie warunek II etapu: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).

\n

III etap: część wspólna warunków z etapu I i II.

\n

\\[m \\in \\left[(-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\right] \\cap \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle = (-\\infty, -3)\\]

\n

Zatem ostatecznie \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).

\n
Sposób 2
\n

Po obliczeniu \\(\\Delta > 0 \\iff m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\), stosujemy tożsamość:
\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)\\]

\n

Podstawiamy do lewej strony warunku:
\\[(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]

\n

Zatem nierówność \\((x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\) sprowadza się do \\((3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\), czyli \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\((3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\).

\n

Stąd \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\). Przecięcie z warunkiem z I etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.

\n

I etap (\\(1\\) pkt): poprawne rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\): \\(m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\).
II etap (\\(4\\) pkt): wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).

\n\n

III etap (\\(1\\) pkt): wyznaczenie wszystkich wartości parametru \\(m\\), które spełniają jednocześnie warunki z I i II etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).

\n

Uwagi:

\n\n

Trik: Kluczem jest rozpoznanie, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Wtedy cała nierówność sprowadza się do funkcji w \\(m\\). Rozkład \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2\\) znajdujemy szukając pierwiastka wymiernego wg twierdzenia Bézouta (kandydaci \\(\\pm \\dfrac{1}{3}, \\pm 1\\)).

"}]}