{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \\(3456\\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \\(8\\sqrt{3}\\).\n\na) Wykaż, że pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}.\\]\n\nb) Pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\ndla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3})\\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Część a)** Wyprowadzamy wzór \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - dowód poniżej.\n\n**Część b)** Minimalne pole osiągane jest dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a jego wartość wynosi:\n\\[P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n## Sposób 1 - Wyprowadzenie wzoru i minimalizacja pochodną\n\n### Część a) - Wyprowadzenie wzoru na \\(P(a)\\)\n\n**Krok 1: Wyraź wysokość \\(h\\) z warunku na objętość.**\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta równobocznego. Jego pole:\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nObjętość graniastosłupa:\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]\n\nStąd:\n\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz pole powierzchni całkowitej.**\n\nGraniastosłup ma 2 podstawy i 3 prostokątne ściany boczne o wymiarach \\(a \\times h\\):\n\\[P = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + 3 \\cdot a \\cdot h\\]\n\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3 \\cdot 4608\\sqrt{3}}{a}\\]\n\\[\\boxed{P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}}\\]\n\nco kończy dowód. \\(\\square\\)\n\n### Część b) - Wyznaczenie minimum\n\nFunkcja \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) określona dla \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\n**Krok 1: Oblicz pochodną.**\n\\[P'(a) = a\\sqrt{3} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2}\\]\n\n**Krok 2: Znajdź punkt krytyczny.**\n\nPrzyrównaj \\(P'(a) = 0\\):\n\\[a^3 - 13824 = 0 \\implies a^3 = 13824 = 24^3 \\implies a = 24\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy punkt krytyczny należy do dziedziny.**\n\nPorównaj \\(24\\) z \\(8\\sqrt{3}\\):\n\\[(8\\sqrt{3})^3 = 512 \\cdot 3\\sqrt{3} = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660\\]\n\\[24^3 = 13824\\]\n\nPonieważ \\(2660 < 13824\\), mamy \\(8\\sqrt{3} < 24\\), czyli **punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży poza dziedziną** \\((0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\n**Krok 4: Zbadaj znak \\(P'(a)\\) na całej dziedzinie.**\n\nDla każdego \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\):\n\\[a^3 \\leq (8\\sqrt{3})^3 = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660 < 13824\\]\n\nZatem \\(a^3 - 13824 < 0\\), więc:\n\\[P'(a) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2} < 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\n**Wniosek:** \\(P\\) jest **ściśle malejąca** na całej dziedzinie - minimum osiągane jest na **prawym krańcu**, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 5: Oblicz wartość minimalną.**\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\]\n\\[= \\frac{192\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824}{8}\\]\n\\[= 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]\n\n## Sposób 2 - Monotoniczne porównanie (bez szukania pochodnej zerowej)\n\nMożna obejść się bez wyznaczania konkretnego punktu krytycznego - wystarczy pokazać bezpośrednio, że \\(P\\) maleje.\n\n**Cel:** Pokazać, że dla \\(0 < a_1 < a_2 \\leq 8\\sqrt{3}\\) zachodzi \\(P(a_1) > P(a_2)\\).\n\nObliczamy różnicę:\n\\[P(a_2) - P(a_1) = \\sqrt{3}\\left[\\frac{a_2^2 - a_1^2}{2} - 13824\\left(\\frac{1}{a_1} - \\frac{1}{a_2}\\right)\\right]\\]\n\\[= \\sqrt{3}(a_2 - a_1)\\left[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\right]\\]\n\nPonieważ \\(a_2 > a_1 > 0\\), czynnik \\((a_2 - a_1) > 0\\). Sprawdzamy znak wyrażenia w nawiasie:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]\n\nDla \\(a_1, a_2 \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\) mamy \\(a_1 a_2 \\leq (8\\sqrt{3})^2 = 192\\), więc:\n\\[\\frac{13824}{a_1 a_2} \\geq \\frac{13824}{192} = 72\\]\n\nZ drugiej strony:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq \\frac{8\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq 8\\sqrt{3} < 72 \\leq \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]\n\nWyrażenie w nawiasie jest **ujemne**, więc \\(P(a_2) - P(a_1) < 0\\), czyli \\(P\\) maleje. Minimum jest w \\(a = 8\\sqrt{3}\\) i wynosi \\(96\\sqrt{3} + 1728\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy wzoru na objętość do wyznaczenia \\(h\\) z \\(V = 3456\\), i wzoru na pole boczne do zbudowania \\(P(a)\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16):**\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nPole każdej z dwóch podstaw graniastosłupa.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):**\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nZastosowane przy różniczkowaniu \\(P(a)\\): \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)' = -\\frac{1}{a^2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt krytyczny \\(a = 24\\) **leży poza dziedziną** \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). To częsty błąd - uczniowie wyznaczają \\(a = 24\\) i podają to jako odpowiedź, nie sprawdzając, czy należy do dopuszczalnego zakresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(P'(a) < 0\\) na całej dziedzinie, funkcja maleje - minimum jest na **prawym krańcu** przedziału, nie w środku. Pamiętaj: brak punktu krytycznego w dziedzinie ≠ brak minimum!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) wiele osób błędnie zostawia \\(\\sqrt{3}\\) w wyniku. Tutaj \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 1\\), więc wynik to po prostu \\(\\frac{13824}{8} = 1728\\) - liczba wymierna!\n\n**Poprawna odpowiedź: a) dowód; b) \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)**\n\n### Sposób 1\n\n**a) Wyprowadzenie wzoru.**\n\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych. Oznaczmy jego wysokość przez \\(H\\), a krawędź podstawy przez \\(a\\). Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\):\n\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H\\]\n\\[3456 = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H\\]\n\\[H = \\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}} = \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}} = \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]\n\nZe wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (dwa trójkąty równoboczne w podstawach i trzy prostokąty boczne o wymiarach \\(a \\times H\\)):\n\\[P = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + 3a \\cdot \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\nZatem \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\). To należało wykazać.\n\n**b) Minimalizacja pola.**\n\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\nWyznaczamy pochodną funkcji \\(P\\):\n\\[P'(a) = \\dfrac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\quad \\text{dla} \\quad a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n\\[P'(a) = 0\\]\n\\[a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = 0\\]\n\\[a^{3}\\sqrt{3} = 13824\\sqrt{3}\\]\n\\[a^{3} = 13824 = 24^{3}\\]\n\\[a = 24 \\notin (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\nPonieważ \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86 < 24\\), miejsce zerowe \\(a = 24\\) leży poza dziedziną. Badamy znak pochodnej w dziedzinie:\n\\[P'(a) < 0 \\iff a\\sqrt{3} < \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\iff a^{3} < 13824 \\iff a < 24\\]\n\nWięc \\(P'(a) < 0\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem funkcja \\(P\\) jest malejąca w przedziale \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\nStąd dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą:\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = \\dfrac{64 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824}{8} = \\dfrac{192\\sqrt{3}}{2} + 1728 = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\nZatem długość krawędzi podstawy to \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\).\n\n### Sposób 2\n\nAlternatywnie w części b) można zastosować rozumowanie \"krańcowe\": ponieważ pochodna \\(P'\\) zeruje się dla \\(a = 24\\), a funkcja \\(P\\) jest ciągła i różniczkowalna, to monotoniczność \\(P\\) nie zmienia się w przedziale \\((0, 24)\\). Sprawdzamy, że \\(P'(1) = \\sqrt{3} - 13824\\sqrt{3} < 0\\), więc \\(P\\) maleje na \\((0, 24)\\), w szczególności na \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem minimum osiągane jest w prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n**Część a)** (2 pkt):\n- 2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n- 1 pkt - wyznaczenie wysokości \\(H\\) graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy, np. \\(H = \\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Uwagi:**\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje **0 punktów** za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), to otrzymuje **0 punktów** za całe rozwiązanie części a).\n\n**Część b)** (4 pkt):\n- 4 pkt - uzasadnienie, że funkcja \\(P\\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) i obliczenie wartości najmniejszej funkcji \\(P\\): \\(96\\sqrt{3} + 1728\\).\n- 3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \\(P\\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) ALBO zapisanie, że dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą i obliczenie \\(P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728\\).\n- 2 pkt - poprawne rozwiązanie równania \\(a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = 0\\): \\(a = 24\\).\n- 1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji \\(P\\): \\(P'(a) = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Trik:** W optymalizacji z ograniczeniem, gdy miejsce zerowe pochodnej leży poza dziedziną, minimum/maksimum osiągane jest w krańcu dziedziny - w tym przypadku \\(a = 8\\sqrt{3}\\), gdyż \\(P\\) maleje na całym \\((0, 24)\\supset (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Liczba \\(13824 = 24^3\\), więc pierwiastek kubiczny łatwo wyliczyć.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \\(3456\\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \\(8\\sqrt{3}\\).

\n

a) Wykaż, że pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}.\\]

\n

b) Pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]
dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3})\\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Część a) Wyprowadzamy wzór \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - dowód poniżej.

\n

Część b) Minimalne pole osiągane jest dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a jego wartość wynosi:
\\[P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\]

\n

Sposób 1 - Wyprowadzenie wzoru i minimalizacja pochodną

\n
Część a) - Wyprowadzenie wzoru na \\(P(a)\\)
\n

Krok 1: Wyraź wysokość \\(h\\) z warunku na objętość.

\n

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta równobocznego. Jego pole:
\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Objętość graniastosłupa:
\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]

\n

Stąd:
\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]

\n

Krok 2: Zapisz pole powierzchni całkowitej.

\n

Graniastosłup ma 2 podstawy i 3 prostokątne ściany boczne o wymiarach \\(a \\times h\\):
\\[P = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + 3 \\cdot a \\cdot h\\]
\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3 \\cdot 4608\\sqrt{3}}{a}\\]
\\[\\boxed{P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}}\\]

\n

co kończy dowód. \\(\\square\\)

\n
Część b) - Wyznaczenie minimum
\n

Funkcja \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) określona dla \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).

\n

Krok 1: Oblicz pochodną.
\\[P'(a) = a\\sqrt{3} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2}\\]

\n

Krok 2: Znajdź punkt krytyczny.

\n

Przyrównaj \\(P'(a) = 0\\):
\\[a^3 - 13824 = 0 \\implies a^3 = 13824 = 24^3 \\implies a = 24\\]

\n

Krok 3: Sprawdź, czy punkt krytyczny należy do dziedziny.

\n

Porównaj \\(24\\) z \\(8\\sqrt{3}\\):
\\[(8\\sqrt{3})^3 = 512 \\cdot 3\\sqrt{3} = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660\\]
\\[24^3 = 13824\\]

\n

Ponieważ \\(2660 < 13824\\), mamy \\(8\\sqrt{3} < 24\\), czyli punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży poza dziedziną \\((0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).

\n

Krok 4: Zbadaj znak \\(P'(a)\\) na całej dziedzinie.

\n

Dla każdego \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\):
\\[a^3 \\leq (8\\sqrt{3})^3 = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660 < 13824\\]

\n

Zatem \\(a^3 - 13824 < 0\\), więc:
\\[P'(a) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2} < 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]

\n

Wniosek: \\(P\\) jest ściśle malejąca na całej dziedzinie - minimum osiągane jest na prawym krańcu, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).

\n

Krok 5: Oblicz wartość minimalną.
\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\]
\\[= \\frac{192\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824}{8}\\]
\\[= 96\\sqrt{3} + 1728\\]

\n

\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]

\n

Sposób 2 - Monotoniczne porównanie (bez szukania pochodnej zerowej)

\n

Można obejść się bez wyznaczania konkretnego punktu krytycznego - wystarczy pokazać bezpośrednio, że \\(P\\) maleje.

\n

Cel: Pokazać, że dla \\(0 < a_1 < a_2 \\leq 8\\sqrt{3}\\) zachodzi \\(P(a_1) > P(a_2)\\).

\n

Obliczamy różnicę:
\\[P(a_2) - P(a_1) = \\sqrt{3}\\left[\\frac{a_2^2 - a_1^2}{2} - 13824\\left(\\frac{1}{a_1} - \\frac{1}{a_2}\\right)\\right]\\]
\\[= \\sqrt{3}(a_2 - a_1)\\left[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\right]\\]

\n

Ponieważ \\(a_2 > a_1 > 0\\), czynnik \\((a_2 - a_1) > 0\\). Sprawdzamy znak wyrażenia w nawiasie:
\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]

\n

Dla \\(a_1, a_2 \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\) mamy \\(a_1 a_2 \\leq (8\\sqrt{3})^2 = 192\\), więc:
\\[\\frac{13824}{a_1 a_2} \\geq \\frac{13824}{192} = 72\\]

\n

Z drugiej strony:
\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq \\frac{8\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq 8\\sqrt{3} < 72 \\leq \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]

\n

Wyrażenie w nawiasie jest ujemne, więc \\(P(a_2) - P(a_1) < 0\\), czyli \\(P\\) maleje. Minimum jest w \\(a = 8\\sqrt{3}\\) i wynosi \\(96\\sqrt{3} + 1728\\). \\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup prosty:
\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy wzoru na objętość do wyznaczenia \\(h\\) z \\(V = 3456\\), i wzoru na pole boczne do zbudowania \\(P(a)\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16):
\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Pole każdej z dwóch podstaw graniastosłupa.

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]
Zastosowane przy różniczkowaniu \\(P(a)\\): \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)' = -\\frac{1}{a^2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży poza dziedziną \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). To częsty błąd - uczniowie wyznaczają \\(a = 24\\) i podają to jako odpowiedź, nie sprawdzając, czy należy do dopuszczalnego zakresu.
\n
⚠️ Uwaga: Skoro \\(P'(a) < 0\\) na całej dziedzinie, funkcja maleje - minimum jest na prawym krańcu przedziału, nie w środku. Pamiętaj: brak punktu krytycznego w dziedzinie ≠ brak minimum!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) wiele osób błędnie zostawia \\(\\sqrt{3}\\) w wyniku. Tutaj \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 1\\), więc wynik to po prostu \\(\\frac{13824}{8} = 1728\\) - liczba wymierna!
\n

Poprawna odpowiedź: a) dowód; b) \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)

\n
Sposób 1
\n

a) Wyprowadzenie wzoru.

\n

Rozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych. Oznaczmy jego wysokość przez \\(H\\), a krawędź podstawy przez \\(a\\). Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\):
\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H\\]
\\[3456 = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H\\]
\\[H = \\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}} = \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}} = \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]

\n

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (dwa trójkąty równoboczne w podstawach i trzy prostokąty boczne o wymiarach \\(a \\times H\\)):
\\[P = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + 3a \\cdot \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]

\n

Zatem \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\). To należało wykazać.

\n

b) Minimalizacja pola.

\n

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).

\n

Wyznaczamy pochodną funkcji \\(P\\):
\\[P'(a) = \\dfrac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\quad \\text{dla} \\quad a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]

\n

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
\\[P'(a) = 0\\]
\\[a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = 0\\]
\\[a^{3}\\sqrt{3} = 13824\\sqrt{3}\\]
\\[a^{3} = 13824 = 24^{3}\\]
\\[a = 24 \\notin (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]

\n

Ponieważ \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86 < 24\\), miejsce zerowe \\(a = 24\\) leży poza dziedziną. Badamy znak pochodnej w dziedzinie:
\\[P'(a) < 0 \\iff a\\sqrt{3} < \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\iff a^{3} < 13824 \\iff a < 24\\]

\n

Więc \\(P'(a) < 0\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem funkcja \\(P\\) jest malejąca w przedziale \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).

\n

Stąd dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą:
\\[P(8\\sqrt{3}) = \\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = \\dfrac{64 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824}{8} = \\dfrac{192\\sqrt{3}}{2} + 1728 = 96\\sqrt{3} + 1728\\]

\n

Zatem długość krawędzi podstawy to \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\).

\n
Sposób 2
\n

Alternatywnie w części b) można zastosować rozumowanie "krańcowe": ponieważ pochodna \\(P'\\) zeruje się dla \\(a = 24\\), a funkcja \\(P\\) jest ciągła i różniczkowalna, to monotoniczność \\(P\\) nie zmienia się w przedziale \\((0, 24)\\). Sprawdzamy, że \\(P'(1) = \\sqrt{3} - 13824\\sqrt{3} < 0\\), więc \\(P\\) maleje na \\((0, 24)\\), w szczególności na \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem minimum osiągane jest w prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

Część a) (2 pkt):

\n\n

Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
  2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie części a).
\n

Część b) (4 pkt):

\n\n

Trik: W optymalizacji z ograniczeniem, gdy miejsce zerowe pochodnej leży poza dziedziną, minimum/maksimum osiągane jest w krańcu dziedziny - w tym przypadku \\(a = 8\\sqrt{3}\\), gdyż \\(P\\) maleje na całym \\((0, 24)\\supset (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Liczba \\(13824 = 24^3\\), więc pierwiastek kubiczny łatwo wyliczyć.

"}]}