Ciąg arytmetyczny \\((a_{n})\\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \\((-1)\\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \\((-165)\\).
\nOblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Co wiemy:
\nKrok 1: Zapisz wzór na trzeci wyraz.
\n\\[a_3 = a_1 + 2r = -1\\]
\nKrok 2: Zapisz wzór na sumę 15 wyrazów.
\n\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]
\nDzielimy przez 15:
\n\\[a_1 + 7r = -11\\]
\nKrok 3: Rozwiąż układ równań.
\n\\[\\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\\\ a_1 + 7r = -11 \\end{cases}\\]
\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
\n\\[(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1)\\]
\n\\[5r = -10\\]
\n\\[\\boxed{r = -2}\\]
\nKrok 4: Wyznacz \\(a_1\\) (dla porządku).
\n\\[a_1 = -1 - 2r = -1 - 2\\cdot(-2) = -1 + 4 = 3\\]
\nZamiast wyznaczać \\(a_1\\), skorzystamy z tego, że środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy średniej arytmetycznej całego ciągu.
\nKrok 1: Znajdź środkowy wyraz sumy 15 wyrazów.
\n15 wyrazów → środkowy to wyraz numer 8, czyli \\(a_8\\).
\nDla ciągu arytmetycznego:
\\[S_{15} = 15 \\cdot a_8\\]
Stąd:
\\[a_8 = \\frac{S_{15}}{15} = \\frac{-165}{15} = -11\\]
Krok 2: Wyznacz różnicę.
\nMamy \\(a_3\\) i \\(a_8\\). Odległość między nimi to \\(8 - 3 = 5\\) kroków, więc:
\n\\[a_8 = a_3 + 5r\\]
\n\\[-11 = -1 + 5r\\]
\n\\[5r = -10\\]
\n\\[\\boxed{r = -2}\\]
\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba w ogóle liczyć \\(a_1\\).
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10)
\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_3\\) oraz w Sposobie 2 do przejścia od \\(a_3\\) do \\(a_8\\).
Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 dla \\(n = 15\\).
Własność środkowego wyrazu (wynika z definicji):
\\[S_n = n \\cdot a_{\\frac{n+1}{2}} \\quad \\text{(dla nieparzystego } n\\text{)}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\).
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 łatwo pomylić indeksy - \\(a_3 = a_1 + 2r\\), bo wzór to \\(a_1 + (n-1)r\\), czyli dla \\(n=3\\) mamy \\((3-1) = 2\\), nie 3!\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu równań pilnuj znaków - \\(-11 - (-1) = -11 + 1 = -10\\), nie \\(-12\\). To najczęstsze miejsce pomyłki.\n
⚠️ Uwaga: Środkowy wyraz 15-elementowego ciągu to \\(a_8\\) (nie \\(a_7\\) ani \\(a_{8.5}\\)) - bo \\(\\frac{15+1}{2} = 8\\).\n
Poprawna odpowiedź: \\(r = -2\\)
\nZ własności ciągu arytmetycznego:
\\[\\begin{cases} a_{3} = a_{1} + 2r = -1 \\\\ S_{15} = \\dfrac{2a_{1} + 14r}{2} \\cdot 15 = -165 \\end{cases}\\]
Drugie równanie: \\((2a_{1} + 14r) \\cdot \\dfrac{15}{2} = -165 \\Rightarrow 2a_{1} + 14r = -22 \\Rightarrow a_{1} + 7r = -11\\).
Układ: \\(\\begin{cases} a_{1} + 2r = -1 \\\\ a_{1} + 7r = -11 \\end{cases}\\). Odejmując: \\(5r = -10\\), czyli \\(r = -2\\).
Dla ciągu arytmetycznego o nieparzystej liczbie wyrazów suma jest równa iloczynowi liczby wyrazów i wyrazu środkowego:
\\[S_{15} = 15 \\cdot a_{8} = -165\\]
\\[a_{8} = -11\\]
Z własności: \\(a_{8} = a_{3} + 5r\\), czyli \\(-11 = -1 + 5r\\), stąd \\(5r = -10\\), \\(r = -2\\).
Trik: Dla \\(S_{n}\\) z nieparzystym \\(n\\): \\(S_{n} = n \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). Tu od razu \\(a_{8} = -11\\) i z \\(a_{3}\\) wyliczamy \\(r\\).
"}]}