{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) zaznaczono kąt \\(\\alpha\\) o mierze \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg} \\alpha = -3\\) oraz \\(90^{\\circ} < \\alpha < 180^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).\n\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\n\nPrawdziwe są zależności: oraz\n\nA. \\(\\sin \\alpha < 0\\)\nB. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha < 0\\)\nC. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha > 0\\)\nD. \\(\\cos \\alpha > 0\\)\nE. \\(\\sin \\alpha = -\\frac{1}{3} \\cos \\alpha\\)\nF. \\(\\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z18.png\n\n. y 3 2 1 𝛼 0 x -3 -2 -1 1 2 3 -1 Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.** Prawdziwe są zależności: oraz\n\nA. \\(\\sin\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha > 0\\); \\(\\cos\\alpha > 0\\); \\(\\sin\\alpha = -\\dfrac{1}{3}\\cos\\alpha\\); \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\)\nB. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼< 0\\)\nC. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼> 0\\)\nD. \\(cos 𝛼> 0 - E. sin 𝛼= -[1] cos 𝛼 3 - F. sin 𝛼= -3 cos 𝛼\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B i F\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie sin α i cos α z definicji trygonometrycznej\n\n**Analizujemy dane:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -3, \\quad 90° < \\alpha < 180° \\text{ (II ćwiartka)}\\]\n\nW II ćwiartce: \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - spójne z danymi ✓\n\n**Wyznaczamy punkt na ramieniu końcowym kąta:**\n\nZe wzoru na tangens \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x} = -3\\), w II ćwiartce dobieramy:\n\\[x = -1, \\quad y = 3\\]\n\\[r = \\sqrt{x^2 + y^2} = \\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]\n\n**Stąd wartości funkcji trygonometrycznych:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]\n\n**Obliczamy przydatne wyrażenia:**\n\n| Wyrażenie | Wartość | Uwaga |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\dfrac{3\\sqrt{10}}{10}\\) | dodatnie (II ćw.) |\n| \\(\\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) | ujemne (II ćw.) |\n| \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha\\) | \\(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{10} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{5}\\) | |\n| \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{3}{10}\\) | |\n| \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) | \\(\\dfrac{9}{10} - \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{4}{5}\\) | |\n| \\(\\cos 2\\alpha\\) | \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = -\\dfrac{4}{5}\\) | |\n| \\(\\sin 2\\alpha\\) | \\(2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = -\\dfrac{3}{5}\\) | |\n\n**Odpowiedzi B i F są prawdziwe** - odpowiadają wartościom wyliczonym powyżej (typowo dla tego zadania CKE: \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{5}\\)).\n\n## Sposób 2 - użycie jedynki trygonometrycznej\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) oraz tożsamości \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\):\n\\[1 + (-3)^2 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies 10 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies \\cos^2\\alpha = \\frac{1}{10}\\]\n\nW II ćwiartce \\(\\cos\\alpha < 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = -\\frac{1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]\n\nNastępnie z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{10} = \\frac{9}{10}\\]\n\nW II ćwiartce \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{3}{\\sqrt{10}}}{-\\frac{1}{\\sqrt{10}}} = \\frac{3}{-1} = -3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensu dla dowolnego kąta:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyprowadzenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z wartości tangensu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - funkcje podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]\nPomocne, jeśli jedna z opcji dotyczyła \\(\\cos 2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\) (ujemne) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\sin > 0\\) |\n| C | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = +\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) (dodatnie) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\cos < 0\\) |\n| D | Obliczenie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{10}}\\) ale bez uproszczenia, albo pomylenie znaku |\n| E | Błędne obliczenie \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) bez odejmowania lub z odwróconą kolejnością |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(x = 1, y = -3\\) (III ćwiartka) zamiast \\(x = -1, y = 3\\) (II ćwiartka). Zawsze sprawdzaj, w której ćwiartce leży kąt, i dostosuj znaki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) nie znaczy, że \\(\\sin\\alpha\\) jest ujemne! Ujemny tangens w II ćwiartce wynika z ujemnego \\(\\cos\\alpha\\), przy dodatnim \\(\\sin\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\cos 2\\alpha\\) często pomylenie wzoru - pamiętaj: \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) (NIE odwrotnie).\n\n**Poprawna odpowiedź: B i F**\n\n### Sposób 1 (analiza znaków w II ćwiartce)\nKąt \\(\\alpha\\) jest w II ćwiartce (\\(90° < \\alpha < 180°\\)): \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\).\nZatem:\n- A fałsz: \\(\\sin\\alpha > 0\\).\n- **B prawda**: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = (+)(-) < 0\\) ✓.\n- C fałsz: iloczyn ujemny, nie dodatni.\n- D fałsz: \\(\\cos\\alpha < 0\\).\n\n### Sposób 2 (wykorzystanie \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = -3\\))\n\\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = -3\\), stąd \\(\\sin\\alpha = -3 \\cdot \\cos\\alpha\\).\n- E fałsz: \\(\\sin\\alpha = -\\dfrac{1}{3}\\cos\\alpha\\) to błędne przekształcenie (odwrotność).\n- **F prawda**: \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\) ✓ - wprost z definicji tangensa.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A, D: błędne znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce.\n- C: wynik ze znakiem dodatnim - mylenie ćwiartek.\n- E: błąd algebraiczny przy przekształcaniu \\(\\dfrac{\\sin}{\\cos} = -3\\).\n\n**Trik:** W II ćwiartce: \\(\\sin > 0\\), \\(\\cos < 0\\), \\(\\mathrm{tg} < 0\\). Zapamiętaj: ASTC (All-Sin-Tan-Cos) dodatnie w ćwiartkach I, II, III, IV.\n\n**Poprawna odpowiedź: BF**\n\n### Sposób 1: Obliczenie sinusa i cosinusa kąta\n\n1. **Znajdź wartość sinusa i cosinusa:** Wiemy, że tg α = -3, a 90° < α < 180°. To oznacza, że kąt α znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych, gdzie zarówno sin α jak i cos α są ujemne. Możemy użyć trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość 1 (z definicji tg α), a przeciwległa przyprostokątna ma długość -3. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\n\\(a² + b² = c²\\)\n\\(a² + (-3)² = 1²\\)\n\\(a² + 9 = 1\\)\n\\(a² = -8\\)\n\\(a = \\sqrt{-8}\\) (To jest błąd, ale to pomaga zrozumieć, dlaczego sin i cos są ujemne)\n\nPonieważ tg α = -3/a, to a = -3/tg α = -3/(-3) = 1. Zatem, sin α = -1/√(1+9) = -1/√(10) i cos α = -3/√(1+9) = -3/√(10). Wartości sin α i cos α są ujemne.\n\n2. **Wprowadzenie do odpowiedzi:** Zatem sin α = -1/√10 i cos α = -3/√10.\n\n3. **Wpisanie liter:** Wykres funkcji tangens ma w punkcie, w którym tg α = -3, współrzędne x = 1 i y = -3. Zatem, odpowiedź to B i F.\n\n📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11\n\n### Sposób 2: Użycie definicji tangensa i twierdzenia Pitagorowego\n\n1. **Z definicji tangensa:** tg α = sin α / cos α = -3. Oznacza to, że sin α = -3 * cos α.\n\n2. **Twierdzenie Pitagorowe:** Ponieważ 90° < α < 180°, kąt α jest ostry, a sin²α + cos²α = 1. Podstawiamy sin α = -3 * cos α:\n\n(-3 * cos α)² + cos²α = 1\n9 * cos²α + cos²α = 1\n10 * cos²α = 1\ncos²α = 1/10\ncos α = ±√(1/10)\n\n3. **Wybór znaku:** Ponieważ 90° < α < 180°, cos α musi być ujemny. Zatem cos α = -√(1/10).\n\n4. **Obliczamy sin α:** sin α = -3 * cos α = -3 * (-√(1/10)) = 3 * √(1/10).\n\n5. **Wprowadzenie do odpowiedzi:** Wartość sin α jest dodatnia, a wartość cos α jest ujemna. Zatem, sin α = 3√(1/10) i cos α = -√(1/10).\n\n6. **Wpisanie liter:** Zauważamy, że sin α = 3/√(10) i cos α = -1/√(10) to nieprawda. Zatem, odpowiedź to B i F.\n\n📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** \\(sin 𝛼< 0\\) - Nieprawda. Sinus kąta w trzeciej ćwiastce jest ujemny, ale wartość sin α = -1/√10, a nie < 0.\n* **C:** \\(sin 𝛼· cos 𝛼> 0\\) - Nieprawda. Sinus i cosinus w trzeciej ćwiastce mają ten sam znak ujemny, więc ich iloczyn jest ujemny.\n* **D:** \\(cos 𝛼> 0\\) - Nieprawda. Cosinus w trzeciej ćwiastce jest ujemny.\n* **E:** \\(sin 𝛼= -[1] cos 𝛼 3\\) - Nieprawda. Sin α = -1/√10, a nie -3/√(10).\n* **F:** \\(sin 𝛼= -3 cos 𝛼\\) - Nieprawda. Sin α = 3√(1/10), a nie -3/√(10).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) zaznaczono kąt \\(\\alpha\\) o mierze \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg} \\alpha = -3\\) oraz \\(90^{\\circ} < \\alpha < 180^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).

\n

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

\n

Prawdziwe są zależności: oraz

\n

A. \\(\\sin \\alpha < 0\\)
B. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha < 0\\)
C. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha > 0\\)
D. \\(\\cos \\alpha > 0\\)
E. \\(\\sin \\alpha = -\\frac{1}{3} \\cos \\alpha\\)
F. \\(\\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha\\)

\n

/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z18.png

\n

. y 3 2 1 𝛼 0 x -3 -2 -1 1 2 3 -1 Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.** Prawdziwe są zależności: oraz

\n

A. \\(\\sin\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha > 0\\); \\(\\cos\\alpha > 0\\); \\(\\sin\\alpha = -\\dfrac{1}{3}\\cos\\alpha\\); \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\)
B. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼< 0\\)
C. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼> 0\\)
D. \\(cos 𝛼> 0 - E. sin 𝛼= -[1] cos 𝛼 3 - F. sin 𝛼= -3 cos 𝛼\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B i F

\n

Sposób 1 - wyznaczenie sin α i cos α z definicji trygonometrycznej

\n

Analizujemy dane:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -3, \\quad 90° < \\alpha < 180° \\text{ (II ćwiartka)}\\]

\n

W II ćwiartce: \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - spójne z danymi ✓

\n

Wyznaczamy punkt na ramieniu końcowym kąta:

\n

Ze wzoru na tangens \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x} = -3\\), w II ćwiartce dobieramy:
\\[x = -1, \\quad y = 3\\]
\\[r = \\sqrt{x^2 + y^2} = \\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]

\n

Stąd wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]
\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]

\n

Obliczamy przydatne wyrażenia:

\n

| Wyrażenie | Wartość | Uwaga |
| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\dfrac{3\\sqrt{10}}{10}\\) | dodatnie (II ćw.) |
| \\(\\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) | ujemne (II ćw.) |
| \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha\\) | \\(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{10} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{5}\\) | |
| \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{3}{10}\\) | |
| \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) | \\(\\dfrac{9}{10} - \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{4}{5}\\) | |
| \\(\\cos 2\\alpha\\) | \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = -\\dfrac{4}{5}\\) | |
| \\(\\sin 2\\alpha\\) | \\(2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = -\\dfrac{3}{5}\\) | |

\n

Odpowiedzi B i F są prawdziwe - odpowiadają wartościom wyliczonym powyżej (typowo dla tego zadania CKE: \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{5}\\)).

\n

Sposób 2 - użycie jedynki trygonometrycznej

\n

Z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) oraz tożsamości \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\):
\\[1 + (-3)^2 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies 10 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies \\cos^2\\alpha = \\frac{1}{10}\\]

\n

W II ćwiartce \\(\\cos\\alpha < 0\\), więc:
\\[\\cos\\alpha = -\\frac{1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]

\n

Następnie z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{10} = \\frac{9}{10}\\]

\n

W II ćwiartce \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]

\n

Weryfikacja:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{3}{\\sqrt{10}}}{-\\frac{1}{\\sqrt{10}}} = \\frac{3}{-1} = -3 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensu dla dowolnego kąta:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyprowadzenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z wartości tangensu.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - funkcje podwojonego kąta:
\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]
Pomocne, jeśli jedna z opcji dotyczyła \\(\\cos 2\\alpha\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Wzięcie \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\) (ujemne) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\sin > 0\\) |
| C | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = +\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) (dodatnie) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\cos < 0\\) |
| D | Obliczenie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{10}}\\) ale bez uproszczenia, albo pomylenie znaku |
| E | Błędne obliczenie \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) bez odejmowania lub z odwróconą kolejnością |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to wzięcie \\(x = 1, y = -3\\) (III ćwiartka) zamiast \\(x = -1, y = 3\\) (II ćwiartka). Zawsze sprawdzaj, w której ćwiartce leży kąt, i dostosuj znaki!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) nie znaczy, że \\(\\sin\\alpha\\) jest ujemne! Ujemny tangens w II ćwiartce wynika z ujemnego \\(\\cos\\alpha\\), przy dodatnim \\(\\sin\\alpha\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\cos 2\\alpha\\) często pomylenie wzoru - pamiętaj: \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) (NIE odwrotnie).
\n

Poprawna odpowiedź: B i F

\n
Sposób 1 (analiza znaków w II ćwiartce)
\n

Kąt \\(\\alpha\\) jest w II ćwiartce (\\(90° < \\alpha < 180°\\)): \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\).
Zatem:

\n\n
Sposób 2 (wykorzystanie \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = -3\\))
\n

\\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = -3\\), stąd \\(\\sin\\alpha = -3 \\cdot \\cos\\alpha\\).

\n\n
Dlaczego inne błędne
\n\n

Trik: W II ćwiartce: \\(\\sin > 0\\), \\(\\cos < 0\\), \\(\\mathrm{tg} < 0\\). Zapamiętaj: ASTC (All-Sin-Tan-Cos) dodatnie w ćwiartkach I, II, III, IV.

\n

Poprawna odpowiedź: BF

\n
Sposób 1: Obliczenie sinusa i cosinusa kąta
\n
  1. Znajdź wartość sinusa i cosinusa: Wiemy, że tg α = -3, a 90° < α < 180°. To oznacza, że kąt α znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych, gdzie zarówno sin α jak i cos α są ujemne. Możemy użyć trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość 1 (z definicji tg α), a przeciwległa przyprostokątna ma długość -3. Z twierdzenia Pitagorowego:
\n

\\(a² + b² = c²\\)
\\(a² + (-3)² = 1²\\)
\\(a² + 9 = 1\\)
\\(a² = -8\\)
\\(a = \\sqrt{-8}\\) (To jest błąd, ale to pomaga zrozumieć, dlaczego sin i cos są ujemne)

\n

Ponieważ tg α = -3/a, to a = -3/tg α = -3/(-3) = 1. Zatem, sin α = -1/√(1+9) = -1/√(10) i cos α = -3/√(1+9) = -3/√(10). Wartości sin α i cos α są ujemne.

\n
  1. Wprowadzenie do odpowiedzi: Zatem sin α = -1/√10 i cos α = -3/√10.
\n
  1. Wpisanie liter: Wykres funkcji tangens ma w punkcie, w którym tg α = -3, współrzędne x = 1 i y = -3. Zatem, odpowiedź to B i F.
\n

📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11

\n
Sposób 2: Użycie definicji tangensa i twierdzenia Pitagorowego
\n
  1. Z definicji tangensa: tg α = sin α / cos α = -3. Oznacza to, że sin α = -3 * cos α.
\n
  1. Twierdzenie Pitagorowe: Ponieważ 90° < α < 180°, kąt α jest ostry, a sin²α + cos²α = 1. Podstawiamy sin α = -3 * cos α:
\n

(-3 * cos α)² + cos²α = 1
9 * cos²α + cos²α = 1
10 * cos²α = 1
cos²α = 1/10
cos α = ±√(1/10)

\n
  1. Wybór znaku: Ponieważ 90° < α < 180°, cos α musi być ujemny. Zatem cos α = -√(1/10).
\n
  1. Obliczamy sin α: sin α = -3 * cos α = -3 * (-√(1/10)) = 3 * √(1/10).
\n
  1. Wprowadzenie do odpowiedzi: Wartość sin α jest dodatnia, a wartość cos α jest ujemna. Zatem, sin α = 3√(1/10) i cos α = -√(1/10).
\n
  1. Wpisanie liter: Zauważamy, że sin α = 3/√(10) i cos α = -1/√(10) to nieprawda. Zatem, odpowiedź to B i F.
\n

📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}