{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nLiczba \\(\\sin^{3} 20^{\\circ} + \\cos^{2} 20^{\\circ} \\cdot \\sin 20^{\\circ}\\) jest równa\n\nA. \\(\\cos 20°\\)\nB. \\(\\sin 20°\\)\nC. \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\)\nD. \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sin 20°\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nPatrzymy na wyrażenie i szukamy **wspólnego czynnika**:\n\n\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\]\n\nObie składowe zawierają \\(\\sin 20°\\) - wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[= \\sin 20° \\cdot \\left(\\sin^2 20° + \\cos^2 20°\\right)\\]\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nZatem wyrażenie w nawiasie równa się dokładnie \\(1\\):\n\n\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\boxed{\\sin 20°}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie zmiennej (ogólniejsze spojrzenie)\n\nZauważmy, że zadanie jest prawdziwe dla **dowolnego kąta** \\(\\alpha\\), nie tylko \\(20°\\). Oznaczmy \\(\\alpha = 20°\\) i zapiszmy ogólnie:\n\n\\[\\sin^3\\alpha + \\cos^2\\alpha \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\n\\[= \\sin\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\]\n\n\\[= \\sin\\alpha \\cdot 1 = \\sin\\alpha\\]\n\nDla \\(\\alpha = 20°\\) wynik to \\(\\sin 20°\\).\n\n**Weryfikacja liczbowa:** \\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\)\n\n\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}040 + 0{,}883 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}040 + 0{,}302 \\approx 0{,}342 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo jest serce całego rozwiązania - po wyłączeniu \\(\\sin 20°\\) przed nawias, wyrażenie w nawiasie to dokładnie lewa strona jedynki trygonometrycznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń „skraca\" błędnie i zostaje mu \\(\\cos^2 20°\\), albo myli wynik z \\(\\cos 20°\\) |\n| C | Próba zastosowania wzoru na \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\) bez wyłączenia czynnika - fałszywe uproszczenie do \\(\\sin 40°\\) |\n| D | Pomylenie jedynki trygonometrycznej z sumy \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) z innym wzorem - uczeń myśli, że wynik to stała (np. \\(\\frac{1}{2}\\) lub \\(1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj liczyć \\(\\sin^3 20°\\) ani \\(\\cos^2 20°\\) z osobna - to droga przez mękę. Kluczem jest **najpierw wyłączyć czynnik**, a dopiero potem rozpoznać jedynkę trygonometryczną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) działa dla **dowolnego** kąta \\(\\alpha\\) - nie musisz znać wartości \\(\\sin 20°\\) i \\(\\cos 20°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań - \\(\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\) oznacza \\((\\cos 20°)^2 \\cdot \\sin 20°\\), nie \\(\\cos^2(20° \\cdot \\sin 20°)\\). Czytaj uważnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (wyłączenie wspólnego czynnika + jedynka trygonometryczna)\n\\[\\sin^{3} 20° + \\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot (\\sin^{2} 20° + \\cos^{2} 20°)\\]\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°\\]\n\n### Sposób 2 (sprawdzenie numeryczne)\n\\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\), \\(\\cos 20° \\approx 0{,}940\\).\n\\(\\sin^{3} 20° \\approx 0{,}040\\), \\(\\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}884 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}302\\).\nSuma \\(\\approx 0{,}342 = \\sin 20°\\) ✓\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(\\cos 20°\\): nie ma czynnika \\(\\cos\\) wyciągniętego.\n- C \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\): pomylenie tożsamości.\n- D \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\): błędnie pozostawiono \\(\\cos\\) w wyniku.\n\n**Trik:** Szukaj wspólnego czynnika przed zastosowaniem jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^{3}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha \\cdot \\sin\\alpha = \\sin\\alpha \\cdot (\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = \\sin\\alpha\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i uproszczenie wyrażenia\n\n1. **Zauważmy, że \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)**. Wtedy wyrażenie przyjmuje postać:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n2. **Przekształćmy wyrażenie**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)\n\n3. **Użyjmy wzoru na \\(sin(3\\theta)\\):** \\(sin(3\\theta) = 3sin(\\theta) - 4sin^3(\\theta)\\). W naszym przypadku, \\(\\theta = 20^{\\circ}\\). Zatem:\n\\(sin(3 \\cdot 20^{\\circ}) = sin(60^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(3sin(20^{\\circ}) - 4sin^3(20^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n4. **Zauważmy, że wyrażenie, które chcemy obliczyć, jest równe \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\).** Możemy to zapisać jako:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - (sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin^2 20^{\\circ}\\)\n\n5. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ} + sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\).** To jest kluczowe spostrzeżenie, które pozwala na rozwiązanie.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)\n\n### Sposób 2: Użycie tożsamości i manipulacji algebraicznych\n\n1. **Zaczniemy od wyrażenia**: \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n2. **Wykorzystamy tożsamość \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n3. **Przekształćmy wyrażenie**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)\n\n4. **Próbujemy dopasować to do znanych tożsamości trygonometrycznych.** Zauważmy, że \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Możemy spróbować zauważyć, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)\n\n5. **Podstawmy \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\) do wyrażenia**: \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 < 20^{\\circ} < 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.\n\n6. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).** Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 < 20^{\\circ} < 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.\n\n7. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)**. Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(cos 20^{\\circ}\\)**: To nie jest wartość wyrażenia.\n* **C. \\(tg 20^{\\circ}\\)**: To nie jest wartość wyrażenia.\n* **D. \\(sin 20^{\\circ} \\cdot cos 20^{\\circ}\\)**: To jest wartość iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych, a nie całego wyrażenia.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Wyrażenie \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\). To wynika z odpowiedniego zastosowania tożsamości trygonometrycznych i manipulacji algebraicznych.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.</p>\n<p>Liczba \\(\\sin^{3} 20^{\\circ} + \\cos^{2} 20^{\\circ} \\cdot \\sin 20^{\\circ}\\) jest równa</p>\n<p>A. \\(\\cos 20°\\)<br>B. \\(\\sin 20°\\)<br>C. \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\)<br>D. \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sin 20°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika</h4>\n<p>Patrzymy na wyrażenie i szukamy <strong>wspólnego czynnika</strong>:</p>\n<p>\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\]</p>\n<p>Obie składowe zawierają \\(\\sin 20°\\) - wyłączamy go przed nawias:</p>\n<p>\\[= \\sin 20° \\cdot \\left(\\sin^2 20° + \\cos^2 20°\\right)\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Zatem wyrażenie w nawiasie równa się dokładnie \\(1\\):</p>\n<p>\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\boxed{\\sin 20°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawienie zmiennej (ogólniejsze spojrzenie)</h4>\n<p>Zauważmy, że zadanie jest prawdziwe dla <strong>dowolnego kąta</strong> \\(\\alpha\\), nie tylko \\(20°\\). Oznaczmy \\(\\alpha = 20°\\) i zapiszmy ogólnie:</p>\n<p>\\[\\sin^3\\alpha + \\cos^2\\alpha \\cdot \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>\\[= \\sin\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\]</p>\n<p>\\[= \\sin\\alpha \\cdot 1 = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Dla \\(\\alpha = 20°\\) wynik to \\(\\sin 20°\\).</p>\n<p><strong>Weryfikacja liczbowa:</strong> \\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\)</p>\n<p>\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}040 + 0{,}883 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}040 + 0{,}302 \\approx 0{,}342 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>To jest serce całego rozwiązania - po wyłączeniu \\(\\sin 20°\\) przed nawias, wyrażenie w nawiasie to dokładnie lewa strona jedynki trygonometrycznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń „skraca&quot; błędnie i zostaje mu \\(\\cos^2 20°\\), albo myli wynik z \\(\\cos 20°\\) |<br>| C | Próba zastosowania wzoru na \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\) bez wyłączenia czynnika - fałszywe uproszczenie do \\(\\sin 40°\\) |<br>| D | Pomylenie jedynki trygonometrycznej z sumy \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) z innym wzorem - uczeń myśli, że wynik to stała (np. \\(\\frac{1}{2}\\) lub \\(1\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie próbuj liczyć \\(\\sin^3 20°\\) ani \\(\\cos^2 20°\\) z osobna - to droga przez mękę. Kluczem jest <strong>najpierw wyłączyć czynnik</strong>, a dopiero potem rozpoznać jedynkę trygonometryczną.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) działa dla <strong>dowolnego</strong> kąta \\(\\alpha\\) - nie musisz znać wartości \\(\\sin 20°\\) i \\(\\cos 20°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność działań - \\(\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\) oznacza \\((\\cos 20°)^2 \\cdot \\sin 20°\\), nie \\(\\cos^2(20° \\cdot \\sin 20°)\\). Czytaj uważnie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (wyłączenie wspólnego czynnika + jedynka trygonometryczna)</h5>\n<p>\\[\\sin^{3} 20° + \\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot (\\sin^{2} 20° + \\cos^{2} 20°)\\]<br>Z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):<br>\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (sprawdzenie numeryczne)</h5>\n<p>\\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\), \\(\\cos 20° \\approx 0{,}940\\).<br>\\(\\sin^{3} 20° \\approx 0{,}040\\), \\(\\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}884 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}302\\).<br>Suma \\(\\approx 0{,}342 = \\sin 20°\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne błędne</h5>\n<ul><li>A \\(\\cos 20°\\): nie ma czynnika \\(\\cos\\) wyciągniętego.</li><li>C \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\): pomylenie tożsamości.</li><li>D \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\): błędnie pozostawiono \\(\\cos\\) w wyniku.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Szukaj wspólnego czynnika przed zastosowaniem jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^{3}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha \\cdot \\sin\\alpha = \\sin\\alpha \\cdot (\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = \\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i uproszczenie wyrażenia</h5>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)</strong>. Wtedy wyrażenie przyjmuje postać:</li></ol>\n<p>\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)</p>\n<ol><li><strong>Przekształćmy wyrażenie</strong>:</li></ol>\n<p>\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)</p>\n<ol><li><strong>Użyjmy wzoru na \\(sin(3\\theta)\\):</strong> \\(sin(3\\theta) = 3sin(\\theta) - 4sin^3(\\theta)\\). W naszym przypadku, \\(\\theta = 20^{\\circ}\\). Zatem:</li></ol>\n<p>\\(sin(3 \\cdot 20^{\\circ}) = sin(60^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<br>\\(3sin(20^{\\circ}) - 4sin^3(20^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że wyrażenie, które chcemy obliczyć, jest równe \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\).</strong> Możemy to zapisać jako:</li></ol>\n<p>\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - (sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin^2 20^{\\circ}\\)</p>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ} + sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\).</strong> To jest kluczowe spostrzeżenie, które pozwala na rozwiązanie.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie tożsamości i manipulacji algebraicznych</h5>\n<ol><li><strong>Zaczniemy od wyrażenia</strong>: \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)</li></ol>\n<ol><li><strong>Wykorzystamy tożsamość \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)</strong>:</li></ol>\n<p>\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)</p>\n<ol><li><strong>Przekształćmy wyrażenie</strong>:</li></ol>\n<p>\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)</p>\n<ol><li><strong>Próbujemy dopasować to do znanych tożsamości trygonometrycznych.</strong> Zauważmy, że \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Możemy spróbować zauważyć, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)</li></ol>\n<ol><li><strong>Podstawmy \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\) do wyrażenia</strong>: \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 &lt; 20^{\\circ} &lt; 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.</li></ol>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).</strong> Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 &lt; 20^{\\circ} &lt; 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.</li></ol>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)</strong>. Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(cos 20^{\\circ}\\)</strong>: To nie jest wartość wyrażenia.</li><li><strong>C. \\(tg 20^{\\circ}\\)</strong>: To nie jest wartość wyrażenia.</li><li><strong>D. \\(sin 20^{\\circ} \\cdot cos 20^{\\circ}\\)</strong>: To jest wartość iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych, a nie całego wyrażenia.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> Wyrażenie \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\). To wynika z odpowiedniego zastosowania tożsamości trygonometrycznych i manipulacji algebraicznych.</p>"}]}