{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2\nZapisz obliczenia.\n2.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim_{x→2^-} x³-8 / (x-2)²","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym\njednostronne).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-∞).\n1 pkt - zapisanie wyrażenia 𝑥3-8\n(𝑥-2)2 w postaci 𝑥2+2𝑥+4\n𝑥-2\n(lub w postaci 𝑥+ 4 + 12\n𝑥-2)\nALBO\n- zapisanie równości\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = lim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑥3-8\n(𝑥-2)2 , korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów:\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = (𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 4)\n(𝑥-2)2\n= 𝑥2 + 2𝑥+ 4\n𝑥-2\ndla każdego 𝑥≠2.\nPonieważ lim\n𝑥→2-(𝑥2 + 2𝑥+ 4) = 12 oraz lim\n𝑥→2-(𝑥-2) = 0-, więc\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = -∞\nSposób II\nZauważmy, że lim\n𝑥→2-(𝑥3 -8) = 0 oraz lim\n𝑥→2-(𝑥-2)2 = 0.\nFunkcje 𝑓(𝑥) = 𝑥3 -8 oraz 𝑔(𝑥) = (𝑥-2)2 są różniczkowalne w zbiorze (-∞, 2).\nPonadto 𝑔′(𝑥) = 2(𝑥-2) ≠0 dla każdego 𝑥∈(-∞, 2) oraz\nlim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4 = -∞\nZatem na podstawie reguły de l’Hospitala otrzymujemy\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = lim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4 = -∞\nSposób III\nNiech 𝑀 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿=\n12\n7+𝑀 . Wtedy 𝛿> 0.\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿< 𝑥-2 < 0.\nWówczas\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 =\n𝑥3 -8\n𝑥2 -4𝑥+ 4 = 𝑥+ 4 + 12(𝑥-2)\n(𝑥-2)2 = 𝑥+ 4 +\n12\n𝑥-2 < 6 -12\n𝛿=\n= 6 -(7 + 𝑀) = -1 -𝑀< -𝑀\nZatem dla każdego 𝑀> 0 istnieje 𝛿> 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek\n-𝛿< 𝑥-2 < 0 zachodzi\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 < -𝑀\nTo oznacza, że\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = -∞\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Granica jest równa −∞.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nPierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \\to 2$?\n\nLicznik: $x^3 - 8 \\to 8 - 8 = 0$.\n\nMianownik: $(x - 2)^2 \\to 0$.\n\nSymbolicznie: $\\tfrac{0}{0}$ — nieoznaczoność. Musimy uprościć wyrażenie albo użyć reguły de l'Hospitala.\n\nTrik — różnica sześcianów\n\nZauważ, że $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ — to różnica sześcianów. Wzór skróconego mnożenia:\n\n$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$\n\nDla $a = x$, $b = 2$:\n\n$$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$\n\nPodstaw rozkład do ułamka i skróć $(x - 2)$.\n\n$$\\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)^2} = \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$$\n\n(skracanie jest dozwolone, bo $x \\neq 2$ — granica nie sprawdza wartości w punkcie, tylko zachowanie blisko niego).\n\nZbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno, gdy $x \\to 2^-$ (czyli $x \\to 2$ z lewej strony, więc $x < 2$).\n\nLicznik: $x^2 + 2x + 4 \\to 4 + 4 + 4 = 12$ (skończona, dodatnia).\n\nMianownik: $x - 2 \\to 0$, ale od strony ujemnej (bo $x < 2$ → $x - 2 < 0$). Symbolicznie: $0^-$.\n\nWyciągnij wniosek. Liczba dodatnia (12) podzielona przez „zero od strony ujemnej\" daje minus nieskończoność:\n\n$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$\n\nSposób alternatywny — reguła de l'Hospitala (R3)\n\nSkoro mamy $\\tfrac{0}{0}$, możemy zastosować regułę de l'Hospitala:\n\n$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\lim_{x \\to 2^-} \\frac{3x^2}{2(x - 2)} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$\n\nDziała, ale wymaga znajomości pochodnych. Sposób przez różnicę sześcianów jest bardziej elementarny i też pełny za 2 punkty.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie wyrażenia w postaci $\\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$ (lub równoważnej, np. $x + 4 + \\dfrac{12}{x-2}$).\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik $-\\infty$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to próba obliczenia granicy w punkcie x = 2 (czyli policzenie 0/0 i napisanie \"nieoznaczoność\"). To granica JEDNOSTRONNA — z lewej strony, więc x < 2. Druga pułapka: zapomnienie znaku — (x − 2)² jest zawsze ≥ 0, ale ze znakiem 0⁺, nie 0⁻ (kwadrat dowolnej liczby ≠ 0 jest dodatni).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice funkcji, granice jednostronne, granice","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-2)<br>Oblicz granicę<br>lim<br>𝑥→2- 𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2<br>Zapisz obliczenia.<br>2.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Oblicz granicę lim_{x→2^-} x³-8 / (x-2)²</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>XIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym<br>jednostronne).<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-∞).<br>1 pkt - zapisanie wyrażenia 𝑥3-8<br>(𝑥-2)2 w postaci 𝑥2+2𝑥+4<br>𝑥-2<br>(lub w postaci 𝑥+ 4 + 12<br>𝑥-2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości</li></ul>\n<p>lim<br>𝑥→2- 𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 = lim<br>𝑥→2- 3𝑥2<br>2𝑥-4<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy wyrażenie 𝑥3-8<br>(𝑥-2)2 , korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów:<br>𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 = (𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 4)<br>(𝑥-2)2<br>= 𝑥2 + 2𝑥+ 4<br>𝑥-2<br>dla każdego 𝑥≠2.<br>Ponieważ lim<br>𝑥→2-(𝑥2 + 2𝑥+ 4) = 12 oraz lim<br>𝑥→2-(𝑥-2) = 0-, więc<br>lim<br>𝑥→2- 𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 = -∞<br>Sposób II<br>Zauważmy, że lim<br>𝑥→2-(𝑥3 -8) = 0 oraz lim<br>𝑥→2-(𝑥-2)2 = 0.<br>Funkcje 𝑓(𝑥) = 𝑥3 -8 oraz 𝑔(𝑥) = (𝑥-2)2 są różniczkowalne w zbiorze (-∞, 2).<br>Ponadto 𝑔′(𝑥) = 2(𝑥-2) ≠0 dla każdego 𝑥∈(-∞, 2) oraz<br>lim<br>𝑥→2- 3𝑥2<br>2𝑥-4 = -∞<br>Zatem na podstawie reguły de l’Hospitala otrzymujemy<br>lim<br>𝑥→2- 𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 = lim<br>𝑥→2- 3𝑥2<br>2𝑥-4 = -∞<br>Sposób III<br>Niech 𝑀 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿=<br>12<br>7+𝑀 . Wtedy 𝛿&gt; 0.<br>Niech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿&lt; 𝑥-2 &lt; 0.<br>Wówczas<br>𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 =<br>𝑥3 -8<br>𝑥2 -4𝑥+ 4 = 𝑥+ 4 + 12(𝑥-2)<br>(𝑥-2)2 = 𝑥+ 4 +<br>12<br>𝑥-2 &lt; 6 -12<br>𝛿=<br>= 6 -(7 + 𝑀) = -1 -𝑀&lt; -𝑀<br>Zatem dla każdego 𝑀&gt; 0 istnieje 𝛿&gt; 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek<br>-𝛿&lt; 𝑥-2 &lt; 0 zachodzi<br>𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 &lt; -𝑀<br>To oznacza, że<br>lim<br>𝑥→2- 𝑥3 -8<br>(𝑥-2)2 = -∞<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: Granica jest równa −∞.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \\to 2$?</p>\n<p>Licznik: $x^3 - 8 \\to 8 - 8 = 0$.</p>\n<p>Mianownik: $(x - 2)^2 \\to 0$.</p>\n<p>Symbolicznie: $\\tfrac{0}{0}$ — nieoznaczoność. Musimy uprościć wyrażenie albo użyć reguły de l&#x27;Hospitala.</p>\n<p>Trik — różnica sześcianów</p>\n<p>Zauważ, że $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ — to różnica sześcianów. Wzór skróconego mnożenia:</p>\n<p>$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$</p>\n<p>Dla $a = x$, $b = 2$:</p>\n<p>$$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$</p>\n<p>Podstaw rozkład do ułamka i skróć $(x - 2)$.</p>\n<p>$$\\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)^2} = \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$$</p>\n<p>(skracanie jest dozwolone, bo $x \\neq 2$ — granica nie sprawdza wartości w punkcie, tylko zachowanie blisko niego).</p>\n<p>Zbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno, gdy $x \\to 2^-$ (czyli $x \\to 2$ z lewej strony, więc $x &lt; 2$).</p>\n<p>Licznik: $x^2 + 2x + 4 \\to 4 + 4 + 4 = 12$ (skończona, dodatnia).</p>\n<p>Mianownik: $x - 2 \\to 0$, ale od strony ujemnej (bo $x &lt; 2$ → $x - 2 &lt; 0$). Symbolicznie: $0^-$.</p>\n<p>Wyciągnij wniosek. Liczba dodatnia (12) podzielona przez „zero od strony ujemnej&quot; daje minus nieskończoność:</p>\n<p>$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$</p>\n<p>Sposób alternatywny — reguła de l&#x27;Hospitala (R3)</p>\n<p>Skoro mamy $\\tfrac{0}{0}$, możemy zastosować regułę de l&#x27;Hospitala:</p>\n<p>$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\lim_{x \\to 2^-} \\frac{3x^2}{2(x - 2)} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$</p>\n<p>Działa, ale wymaga znajomości pochodnych. Sposób przez różnicę sześcianów jest bardziej elementarny i też pełny za 2 punkty.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zapisanie wyrażenia w postaci $\\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$ (lub równoważnej, np. $x + 4 + \\dfrac{12}{x-2}$).</li><li>2 pkt — pełna metoda + wynik $-\\infty$.</li></ul>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to próba obliczenia granicy w punkcie x = 2 (czyli policzenie 0/0 i napisanie &quot;nieoznaczoność&quot;). To granica JEDNOSTRONNA — z lewej strony, więc x &lt; 2. Druga pułapka: zapomnienie znaku — (x − 2)² jest zawsze ≥ 0, ale ze znakiem 0⁺, nie 0⁻ (kwadrat dowolnej liczby ≠ 0 jest dodatni).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(-\\infty\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozłożenie na czynniki i analiza znaku</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> licznik \\(x^3 - 8\\) to różnica sześcianów - da się rozłożyć.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Rozkład licznika:</strong></p>\n<p>\\[x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\]</p>\n<p>(wzór \\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\) dla \\(a = x\\), \\(b = 2\\))</p>\n<p><strong>Krok 2 - Uproszczenie wyrażenia:</strong></p>\n<p>\\[\\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2} = \\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2} = \\frac{x^2+2x+4}{x-2}\\]</p>\n<p>(Skracamy jeden czynnik \\((x-2)\\) - dopuszczalne, bo \\(x \\to 2\\), czyli \\(x \\neq 2\\).)</p>\n<p><strong>Krok 3 - Analiza zachowania przy \\(x \\to 2^-\\):</strong></p>\n<p>Badamy <strong>osobno</strong> licznik i mianownik po uproszczeniu:</p>\n<ul><li><strong>Licznik:</strong> \\(x^2 + 2x + 4 \\;\\xrightarrow{x \\to 2}\\; 4 + 4 + 4 = 12 &gt; 0\\) ✔</li><li><strong>Mianownik:</strong> \\(x - 2 \\;\\xrightarrow{x \\to 2^-}\\; 0^-\\) (zbliżamy się od lewej, więc \\(x &lt; 2\\), czyli \\(x - 2 &lt; 0\\))</li></ul>\n<p><strong>Krok 4 - Wynik:</strong></p>\n<p>\\[\\frac{x^2+2x+4}{x-2} \\xrightarrow{x\\to 2^-} \\frac{12}{0^-} = -\\infty\\]</p>\n<p>Licznik dąży do liczby dodatniej \\((12)\\), mianownik dąży do zera od strony ujemnej - cały ułamek dąży do \\(-\\infty\\).</p>\n<p>\\[\\boxed{\\lim_{x\\to 2^{-}}\\dfrac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}} = -\\infty}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawienie i tabela znaków</h4>\n<p>Zamiast algebry, możemy <strong>sprawdzić numerycznie</strong>, co dzieje się z wyrażeniem dla \\(x\\) bliskiego \\(2\\) od lewej:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(x^3 - 8\\) | \\((x-2)^2\\) | iloraz |<br>| \\(1{,}9\\) | \\(1{,}9^3 - 8 = 6{,}859 - 8 = -1{,}141\\) | \\(0{,}01\\) | \\(-114{,}1\\) |<br>| \\(1{,}99\\) | \\(\\approx -0{,}1194\\) | \\(0{,}0001\\) | \\(\\approx -1194\\) |<br>| \\(1{,}999\\) | \\(\\approx -0{,}0120\\) | \\(0{,}000001\\) | \\(\\approx -11988\\) |</p>\n<p>Iloraz maleje bez ograniczeń - potwierdza to wynik \\(-\\infty\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego mianownik jest zawsze dodatni, a iloraz ujemny?</strong></p>\n<ul><li>\\((x-2)^2 &gt; 0\\) dla \\(x \\neq 2\\) - zawsze dodatni (kwadrat!)</li><li>\\(x^3 - 8 &lt; 0\\) dla \\(x &lt; 2\\) - bo \\(x^3 &lt; 8\\)</li></ul>\n<p>Zatem dla \\(x \\in (1, 2)\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2} = \\frac{\\text{ujemny}}{\\text{dodatni}} &lt; 0\\]</p>\n<p>i wartość bezwzględna rośnie do nieskończoności, gdy \\(x \\to 2^-\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - wzór na różnicę sześcianów:<br>\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do rozłożenia licznika \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\).</p>\n<p>W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - reszta to analiza znaku i granice nieoznaczone.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Granica jednostronna \\(x \\to 2^-\\) jest tu kluczowa! Gdyby pytanie dotyczyło \\(x \\to 2^+\\), wynik byłby też \\(-\\infty\\) (bo mianownik jest kwadratem, zawsze \\(\\geq 0\\)), ale to trzeba sprawdzić, a nie zakładać. Przy granicy \\(x \\to 2\\) (dwustronnej) też \\(-\\infty\\), ale zawsze analizuj kierunek!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno skrócić \\(\\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}\\) do \\(\\frac{x^2+2x+4}{x-2}\\) i potem wstawić \\(x = 2\\) wprost - to nadal forma \\(\\frac{12}{0}\\), czyli <strong>nieskończoność</strong>, nie błąd rachunkowy. Skracanie jest tu legalne (bo \\(x \\neq 2\\)), ale i tak musimy zbadać znak.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik \\((x-2)^2\\) jest <strong>kwadratem</strong> - zawsze nieujemny. Nie pomyl z sytuacją, gdy mianownik jest pierwszej potęgi \\((x-2)\\), gdzie znak zależy od kierunku dążenia!</blockquote>\n<h5>Analiza zadania</h5>\n<p>Granica jednostronna lewostronna. Licznik: \\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\\). Mianownik: \\((x-2)^2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 (rozkład na czynniki)</h5>\n<p>Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów: \\[\\dfrac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}=\\dfrac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{(x-2)^{2}}=\\dfrac{x^{2}+2x+4}{x-2}\\]</p>\n<p>dla każdego \\(x\\neq 2\\). Ponieważ \\(\\lim_{x\\to 2^{-}}(x^2+2x+4)=12&gt;0\\) oraz \\(\\lim_{x\\to 2^{-}}(x-2)=0^{-}\\), więc \\[\\lim_{x\\to 2^{-}}\\dfrac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}=-\\infty\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (reguła de l&#x27;Hospitala)</h5>\n<p>Oba wyrażenia dążą do 0 (granica typu \\(\\tfrac{0}{0}\\)). Pochodne: licznika \\(3x^2\\), mianownika \\(2(x-2)\\). Zatem \\[\\lim_{x\\to 2^{-}}\\dfrac{3x^{2}}{2x-4}=\\dfrac{12}{0^{-}}=-\\infty\\]</p>\n<h5>Odniesienie do karty wzorów CKE</h5>\n<p>Dział: Granice funkcji, reguła de l&#x27;Hospitala (XIII.R2). Wzór skróconego mnożenia: \\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt: poprawna metoda i wynik \\(-\\infty\\)</li><li>1 pkt: uproszczenie do \\(\\tfrac{x^2+2x+4}{x-2}\\) lub do \\(\\tfrac{3x^2}{2x-4}\\)</li><li>0 pkt: niepoprawna metoda</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Kluczowe jest zauważenie, że mianownik \\((x-2)^2\\to 0^{+}\\), natomiast w uproszczonej postaci \\(x-2\\to 0^{-}\\) przy \\(x\\to 2^{-}\\). Dlatego granica to \\(-\\infty\\), nie \\(+\\infty\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$-\\infty$</p>"}]}