Dany jest trójkąt \\(KLM\\), w którym \\(|KM| = a\\), \\(|LM| = b\\) oraz \\(a \\neq b\\). Dwusieczna kąta \\(KML\\) przecina bok \\(KL\\) w punkcie \\(N\\) takim, że \\(|KN| = c\\), \\(|NL| = d\\) oraz \\(|MN| = e\\) (zobacz rysunek).
\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\nW trójkącie \\(KLM\\) prawdziwa jest równość
\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z20.png
\n. M a e b K c N d L ** W trójkącie KLM prawdziwa jest równość
\nA. \\(a \\cdot b = c \\cdot d\\)
B. \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\)
C. \\(a \\cdot c = b \\cdot d\\)
D. \\(a \\cdot b = e \\cdot e\\)
Odpowiedź B to równość \\(\\mathbf{bc = ad}\\), wynikająca z twierdzenia o dwusiecznej.
\nOd czego zaczynamy: \\(MN\\) jest dwusieczną kąta \\(KML\\), czyli dzieli kąt przy wierzchołku \\(M\\) na dwie równe części i przecina bok \\(KL\\) w punkcie \\(N\\).
\nDokładnie tę sytuację opisuje twierdzenie o dwusiecznej z karty CKE (Dział 10, s. 18):
\nDwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi sąsiednich boków.\n
Stosując to twierdzenie do trójkąta \\(KLM\\) i dwusiecznej \\(MN\\):
\n\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}\\]
\nPodstawiamy oznaczenia z zadania:
\n\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}\\]
\nMnożymy na krzyż:
\n\\[\\boxed{bc = ad}\\]
\nTo jest właśnie równość B.
\nPrzyjmijmy konkretne wartości spełniające twierdzenie, żeby sprawdzić, czy równość \\(bc = ad\\) ma sens.
\nNiech: \\(a = 3\\), \\(b = 6\\), a \\(KL = 9\\).
\nZ twierdzenia o dwusiecznej:
\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\]
Skoro \\(c + d = 9\\) i \\(\\frac{c}{d} = \\frac{1}{2}\\), to:
\\[c = 3, \\quad d = 6\\]
Sprawdzamy równość B:
\\[bc = 6 \\cdot 3 = 18, \\quad ad = 3 \\cdot 6 = 18 \\checkmark\\]
Równość \\(bc = ad\\) jest spełniona.
\nSprawdzamy równość A (gdyby brzmiała \\(ac = bd\\)):
\\[ac = 3 \\cdot 3 = 9, \\quad bd = 6 \\cdot 6 = 36 \\neq 9 \\times\\]
To potwierdza, że tylko \\(bc = ad\\) jest prawdziwe.
\nDział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie o dwusiecznej:
\nJeśli \\(MN\\) jest dwusieczną kąta \\(M\\) w trójkącie \\(KLM\\), to:
\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}\\]
To jest kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 - bezpośrednio z karty wzorów, którą masz na egzaminie. Znajdziesz go w sekcji o trójkątach.
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń pisze \\(ac = bd\\), czyli podstawia wartości w złej kolejności - myli którą parę boków (z \\(K\\) i z \\(L\\)) z którą częścią odcinka \\(KL\\) |
| C | Uczeń próbuje zastosować twierdzenie Pitagorasa do trójkąta \\(KMN\\) i miesza boki: \\(ae = cd\\) lub podobne - ale to nie jest trójkąt prostokątny |
| D | Błędne przekształcenie proporcji: zamiast iloczynu na krzyż \\(\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}\\) uczeń np. tworzy \\(a + c = b + d\\) (analog twierdzenia o wpisanym okręgu - zupełnie inne twierdzenie!) |
⚠️ Uwaga: Twierdzenie o dwusiecznej mówi o stosunku boków SĄSIEDNICH do kąta, nie naprzeciwległych. Przy kącie \\(M\\): boki wychodzące z \\(M\\) to \\(KM = a\\) i \\(LM = b\\). Stosunek \\(\\frac{KN}{NL} = \\frac{a}{b}\\), NIE \\(\\frac{b}{a}\\) - ważna jest kolejność: bok \\(a\\) jest przy wierzchołku \\(K\\), więc \\(c\\) (odcinek przy \\(K\\)) idzie z \\(a\\).\n
⚠️ Uwaga: Odcinek \\(e = |MN|\\) w tym zadaniu NIE jest potrzebny do wyznaczenia równości B. Jego obecność w zadaniu może zmylić - wiele osób próbuje na siłę użyć \\(e\\) w odpowiedzi.\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(a \\neq b\\) gwarantuje, że \\(N\\) nie jest środkiem \\(KL\\) (bo gdyby \\(a = b\\), to \\(c = d\\)). Twierdzenie działa też dla \\(a = b\\), ale wtedy zadanie byłoby trywialnie symetryczne - stąd ten warunek, by odpowiedź była jednoznaczna.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nDwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do dwóch pozostałych boków:
\\[\\dfrac{|KN|}{|NL|} = \\dfrac{|KM|}{|LM|}\\]
\\[\\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b}\\]
Stąd: \\(c \\cdot b = d \\cdot a\\), czyli \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\).
Z proporcji \\(\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{c}{d}\\) (bok sąsiadujący z odcinkiem / bok sąsiadujący z drugim odcinkiem):
mnożymy "na krzyż": \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\) ✓
Trik: Twierdzenie o dwusiecznej: odcinki na boku dzielą się jak sąsiednie boki. \\(\\dfrac{\\text{odcinek blisko K}}{\\text{odcinek blisko L}} = \\dfrac{\\text{bok przy K}}{\\text{bok przy L}}\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nKroki:
\nKL/KN = KM/ML. Zatem, KL / (KL - KN) = KM / LM.KL = a, LM = b, KN = c, NL = d, MN = e. Wstawiamy to do równania: a / (a - c) = a / b.a ≠ b, możemy podzielić obie strony równania przez a: 1 / (a - c) = 1 / b.a - c = b, czyli a = c + b.KN = c, NL = d i MN = e. Szukamy równości, która wynika z tych danych. Z równania a = c + b możemy zapisać a * b = (c + b) * b = cb + b². Zatem, a * b = cb + b². Wybieramy odpowiedź B, ponieważ a * b = c*b + b².📖 Karta wzorów: [s.29] (Wzory na odcinki)
\nKroki:
\nKM² = KN² + MN² (to jest twierdzenie Pitagorowe). Z treści zadania wiemy, że KM = a, KN = c, MN = e. Wstawiamy to do równania: a² = c² + e².ML² = MN² + NL² (to również jest twierdzenie Pitagorowe). Z treści zadania wiemy, że ML = b, MN = e, NL = d. Wstawiamy to do równania: b² = e² + d².a² = c² + e² i b² = e² + d² możemy spróbować znaleźć związek między a i b. Zauważmy, że a² - b² = c² + e² - (e² + d²) = c² - d². Czyli a² - b² = c² - d².a² - b² = (a - b)(a + b) = c² - d². Aby uzyskać równość a * b = c * d, musimy jeszcze coś obliczyć. Zauważmy, że a * b = (c + b) * b = cb + b² i cd = cd. Zatem, cb + b² = c*d. To nie prowadzi bezpośrednio do odpowiedzi B.a * b = cb + b² i b² = e² + d². Zatem, a * b = cb + e² + d². To nie jest równoważne odpowiedzi B.📖 Karta wzorów: [s.15] (Pitagoras)
\n