{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest równoległobok o bokach długości \\(3\\) i \\(4\\) oraz o kącie między nimi o mierze \\(120^{\\circ}\\).\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nPole tego równoległoboku jest równe\n\nA. \\(12\\)\nB. \\(12\\sqrt{3}\\)\nC. \\(6\\)\nD. \\(6\\sqrt{3}\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole równoległoboku wynosi \\(6\\sqrt{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez dwa boki i kąt między nimi\n\nMamy boki \\(a = 3\\), \\(b = 4\\) i kąt między nimi \\(\\alpha = 120°\\).\n\nZe wzoru na pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]\n\nWyznaczamy \\(\\sin 120°\\) ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{6\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku (z trójkąta prostokątnego)\n\nOpuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka na bok \\(b = 4\\). Tworzy ona trójkąt prostokątny z bokiem \\(a = 3\\).\n\n**Uwaga:** kąt wewnętrzny przy podstawie to **nie** \\(120°\\), lecz kąt dopełniający:\n\\[\\beta = 180° - 120° = 60°\\]\n\n(bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\))\n\nZ trójkąta prostokątnego:\n\\[h = a \\cdot \\sin\\beta = 3 \\cdot \\sin 60° = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPole:\n\\[P = b \\cdot h = 4 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Użycie \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) zamiast sinusa - wychodzi liczba ujemna lub jej wartość bezwzględna \\(6\\) |\n| B | Użycie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (pomylenie \\(\\sin 60°\\) z \\(\\cos 60°\\)) - wychodzi \\(3 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 6\\) |\n| C | Użycie kąta \\(60°\\) zamiast \\(120°\\) - ale tu wynik byłby taki sam (\\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)), więc błąd C to najpewniej wzięcie \\(P = a \\cdot b = 12\\) bez mnożenia przez sinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąt rozwarty nie zmienia wartości sinusa (zmienia cosinus!). Nie wolno myśleć, że \"kąt rozwarty to trudniej\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kąt przy podstawie to \\(60°\\), **nie** \\(120°\\) - bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\). To częste źródło błędów przy rysowaniu wysokości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla dowolnego kąta między bokami - nie trzeba zamieniać na kąt ostry, bo wynik i tak wychodzi ten sam (sinus kąta i jego suplementu jest równy).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (wzór na pole równoległoboku z kąta)\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[P = 12 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n### Sposób 2 (z wysokości)\nWysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę (wzdłuż boku \\(4\\)): \\(h = 3 \\cdot \\sin 120° = 3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\nPole: \\(P = 4 \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(12\\): pomnożono tylko \\(3 \\cdot 4\\) bez sinusa kąta.\n- B \\(12\\sqrt{3}\\): pomylono, np. \\(a \\cdot b \\cdot \\sqrt{3}\\) zamiast \\(a \\cdot b \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n- C \\(6\\): bez \\(\\sqrt{3}\\) - niewłaściwe użycie \\(\\sin 30°\\) zamiast \\(\\sin 120°\\).\n\n**Trik:** Pole równoległoboku: \\(P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\). Zapamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola równoległoboku na podstawie dwóch boków i kąta między nimi\n1. **Zrozumienie wzoru:** Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru: `P = a * b * sin(α)`, gdzie `a` i `b` to długości dwóch sąsiednich boków, a `α` to miara kąta między nimi.\n2. **Zidentyfikowanie danych:** W zadaniu mamy: `a = 3`, `b = 4`, a `α = 120°`.\n3. **Obliczenie sinusa:** `sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2`.\n4. **Obliczenie pola:** `P = 3 * 4 * (√3 / 2) = 12 * (√3 / 2) = 6√3`.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole równoległoboku jest wyprowadzony z pola trójkąta.\n\n### Sposób 2: Podział równoległoboku na dwa trójkąty prostokątne\n1. **Podział:** Równoległobok można podzielić na dwa trójkąty prostokątne, gdzie kąt 120° jest kątem rozwartym.\n2. **Obliczenie pól trójkątów:** W każdym trójkącie mamy dwa boki i kąt między nimi. W trójkącie z bokami 3 i 4 oraz kątem 120° możemy obliczyć pole trójkąta ze wzoru: `P_trójkąta = (1/2) * a * b * sin(α)`. W naszym przypadku: `P_trójkąta = (1/2) * 3 * 4 * sin(120°) = (1/2) * 12 * (√3 / 2) = 3√3`.\n3. **Obliczenie pola równoległoboku:** Pole równoległoboku jest sumą pól dwóch trójkątów: `P = 2 * P_trójkąta = 2 * 3√3 = 6√3`.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole trójkąta jest używany do obliczenia pól trójkątów w podziale równoległoboku.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 12:** Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n* **B. \\(12\\sqrt{3}\\)**: Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n* **C. 6:** Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n\nW obu sposobach otrzymujemy to samo rozwiązanie, a różnica w metodach jest tylko kwestią wyboru, która jest bardziej intuicyjna. Kluczem jest prawidłowe zastosowanie wzoru na pole równoległoboku i uwzględnienie podanego kąta.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest równoległobok o bokach długości \\(3\\) i \\(4\\) oraz o kącie między nimi o mierze \\(120^{\\circ}\\).

\n

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

\n

Pole tego równoległoboku jest równe

\n

A. \\(12\\)
B. \\(12\\sqrt{3}\\)
C. \\(6\\)
D. \\(6\\sqrt{3}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Pole równoległoboku wynosi \\(6\\sqrt{3}\\).

\n

Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez dwa boki i kąt między nimi

\n

Mamy boki \\(a = 3\\), \\(b = 4\\) i kąt między nimi \\(\\alpha = 120°\\).

\n

Ze wzoru na pole równoległoboku:
\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]

\n

Podstawiamy:
\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]

\n

Wyznaczamy \\(\\sin 120°\\) ze wzoru redukcyjnego:
\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{6\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku (z trójkąta prostokątnego)

\n

Opuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka na bok \\(b = 4\\). Tworzy ona trójkąt prostokątny z bokiem \\(a = 3\\).

\n

Uwaga: kąt wewnętrzny przy podstawie to nie \\(120°\\), lecz kąt dopełniający:
\\[\\beta = 180° - 120° = 60°\\]

\n

(bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\))

\n

Z trójkąta prostokątnego:
\\[h = a \\cdot \\sin\\beta = 3 \\cdot \\sin 60° = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Pole:
\\[P = b \\cdot h = 4 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku:
\\[P = ab\\sin\\alpha\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 bezpośrednio.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzór redukcyjny:
\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - tabela wartości trygonometrycznych:
\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Użycie \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) zamiast sinusa - wychodzi liczba ujemna lub jej wartość bezwzględna \\(6\\) |
| B | Użycie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (pomylenie \\(\\sin 60°\\) z \\(\\cos 60°\\)) - wychodzi \\(3 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 6\\) |
| C | Użycie kąta \\(60°\\) zamiast \\(120°\\) - ale tu wynik byłby taki sam (\\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)), więc błąd C to najpewniej wzięcie \\(P = a \\cdot b = 12\\) bez mnożenia przez sinus |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąt rozwarty nie zmienia wartości sinusa (zmienia cosinus!). Nie wolno myśleć, że "kąt rozwarty to trudniej".
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 kąt przy podstawie to \\(60°\\), nie \\(120°\\) - bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\). To częste źródło błędów przy rysowaniu wysokości.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla dowolnego kąta między bokami - nie trzeba zamieniać na kąt ostry, bo wynik i tak wychodzi ten sam (sinus kąta i jego suplementu jest równy).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 (wzór na pole równoległoboku z kąta)
\n

\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]
\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[P = 12 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]

\n
Sposób 2 (z wysokości)
\n

Wysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę (wzdłuż boku \\(4\\)): \\(h = 3 \\cdot \\sin 120° = 3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).
Pole: \\(P = 4 \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne błędne
\n\n

Trik: Pole równoległoboku: \\(P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\). Zapamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie pola równoległoboku na podstawie dwóch boków i kąta między nimi
\n
  1. Zrozumienie wzoru: Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru: P = a * b * sin(α), gdzie a i b to długości dwóch sąsiednich boków, a α to miara kąta między nimi.
  2. Zidentyfikowanie danych: W zadaniu mamy: a = 3, b = 4, a α = 120°.
  3. Obliczenie sinusa: sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2.
  4. Obliczenie pola: P = 3 * 4 * (√3 / 2) = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
\n

📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole równoległoboku jest wyprowadzony z pola trójkąta.

\n
Sposób 2: Podział równoległoboku na dwa trójkąty prostokątne
\n
  1. Podział: Równoległobok można podzielić na dwa trójkąty prostokątne, gdzie kąt 120° jest kątem rozwartym.
  2. Obliczenie pól trójkątów: W każdym trójkącie mamy dwa boki i kąt między nimi. W trójkącie z bokami 3 i 4 oraz kątem 120° możemy obliczyć pole trójkąta ze wzoru: P_trójkąta = (1/2) * a * b * sin(α). W naszym przypadku: P_trójkąta = (1/2) * 3 * 4 * sin(120°) = (1/2) * 12 * (√3 / 2) = 3√3.
  3. Obliczenie pola równoległoboku: Pole równoległoboku jest sumą pól dwóch trójkątów: P = 2 * P_trójkąta = 2 * 3√3 = 6√3.
\n

📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole trójkąta jest używany do obliczenia pól trójkątów w podziale równoległoboku.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach otrzymujemy to samo rozwiązanie, a różnica w metodach jest tylko kwestią wyboru, która jest bardziej intuicyjna. Kluczem jest prawidłowe zastosowanie wzoru na pole równoległoboku i uwzględnienie podanego kąta.

"}]}