W trójkącie \\(ABC\\), wpisanym w okrąg o środku \\(S\\), kąt \\(ACB\\) ma miarę \\(42^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).
\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\nMiara kąta ostrego \\(BAS\\) jest równa
\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z22.png
\n. C \\(42^{\\circ}\\) S A B ** Miara kąta ostrego BAS jest równa
\nA. \\(42°\\)
B. \\(45°\\)
C. \\(48°\\)
D. \\(69°\\)
Krok 1: Wyznacz kąt środkowy \\(BSA\\)
\nKąt \\(ACB = 42°\\) to kąt wpisany w okrąg - opiera się na tym samym łuku \\(AB\\) co kąt środkowy \\(BSA\\).
\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:
\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]
Krok 2: Zbadaj trójkąt \\(SAB\\)
\nPunkt \\(S\\) jest środkiem okręgu, więc:
\\[|SA| = |SB| = r \\quad \\text{(promienie tego samego okręgu)}\\]
Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny (ramiona \\(SA = SB\\)), więc kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:
\\[\\angle BAS = \\angle ABS\\]
Krok 3: Oblicz kąt \\(BAS\\)
\nSuma kątów w trójkącie:
\\[\\angle BAS + \\angle ABS + \\angle BSA = 180°\\]
\\[2 \\cdot \\angle BAS + 84° = 180°\\]
\\[2 \\cdot \\angle BAS = 96°\\]
\\[\\boxed{\\angle BAS = 48°}\\]
Kąt \\(48°\\) jest ostry - warunek z treści zadania jest spełniony.
\nSprawdźmy wynik, analizując pełny obrót wokół \\(S\\).
\nOznaczmy kąt środkowy \\(\\angle BSA = 84°\\). Kąt środkowy \\(\\angle ASC\\) odpowiada kątowi wpisanemu \\(\\angle ABC\\) (opartemu na łuku \\(AC\\)). Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\) odpowiada kątowi wpisanemu \\(\\angle BAC\\).
\nTrójkąt \\(SBC\\): \\(|SB| = |SC| = r\\), więc \\(\\angle SBC = \\angle SCB\\).
Trójkąt \\(SAC\\): \\(|SA| = |SC| = r\\), więc \\(\\angle SAC = \\angle SCA\\).
Z perspektywy kąta \\(BAS\\) - otrzymaliśmy \\(48°\\) Sposobem 1 i można potwierdzić:
\nW trójkącie \\(SAB\\):
\nWynik zgodny.
\nDział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt wpisany i kąt środkowy:
\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n
Czyli jeśli kąt wpisany \\(\\angle ACB = 42°\\), to kąt środkowy:
\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]
To jest kluczowy wzór użyty w Kroku 1.
\nNastępnie korzystamy z własności trójkąta równoramiennego (Dział 10, s. 15) - kąty przy podstawie są równe, co pozwala obliczyć \\(\\angle BAS\\).
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A | Przyjęcie \\(\\angle BAS = 42°\\) - uczeń myli kąt wpisany \\(ACB\\) z szukanym kątem \\(BAS\\), zapominając o kroku z kątem środkowym |
| B | Obliczenie kąta środkowego \\(\\angle BSA = 84°\\) i przyjęcie go za odpowiedź - uczeń zatrzymuje się o jeden krok za wcześnie |
| D | Obliczenie \\(\\frac{180° - 42°}{2} = 69°\\) - uczeń błędnie stosuje wzór na trójkąt równoramienny do trójkąta \\(ACB\\) zamiast \\(SAB\\) |
⚠️ Uwaga: Kąt środkowy to dwa razy kąt wpisany - nie odwrotnie! Częsty błąd to podzielenie przez 2 zamiast pomnożenia przez 2 w pierwszym kroku.\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, bo \\(S\\) jest środkiem okręgu - obie przyprostokątne \\(SA\\) i \\(SB\\) to promienie. To nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, ale kluczowe do rozwiązania.\n
⚠️ Uwaga: Treść pyta o kąt ostry \\(BAS\\) - to wskazówka, że wynik musi być mniejszy od \\(90°\\). Jeśli wyjdzie ci liczba powyżej \\(90°\\), szukaj błędu!\n
Poprawna odpowiedź: C
\nKąt \\(\\angle ACB = 42°\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\). Kąt środkowy \\(\\angle ASB\\) oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:
\\[\\angle ASB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]
Trójkąt \\(ASB\\) jest równoramienny (\\(|SA| = |SB|\\) - promienie okręgu). Kąty przy podstawie są równe:
\\[\\angle BAS = \\angle ABS = \\dfrac{180° - 84°}{2} = \\dfrac{96°}{2} = 48°\\]
Dla trójkąta równoramiennego z kątem wierzchołkowym \\(2\\alpha\\) kąt przy podstawie wynosi \\(90° - \\alpha\\). Tu \\(\\alpha = 42°\\), więc \\(\\angle BAS = 90° - 42° = 48°\\).
\nTrik: Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku). Trójkąt z dwoma promieniami jest równoramienny, więc kąt przy podstawie = \\(90° - \\dfrac{\\text{kąt środkowy}}{2} = 90° - \\alpha_{\\text{wpisany}}\\).
\nPoprawna odpowiedź: C
\n\\[
\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle BAC
\\]
\\[
\\frac{AB}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BAC)} = \\frac{AC}{\\sin(\\angle ABC)}
\\]
Ponieważ znamy \\(\\angle ACB = 42^\\circ\\), możemy napisać:
\\[
\\frac{AB}{\\sin(42^\\circ)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BAC)}
\\]
\\[
\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC = \\frac{1}{2} \\cdot 84^\\circ = 42^\\circ
\\]
To jest błędne. Musimy obliczyć kąt BAC.
\\[
\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ
\\]
Ponieważ S jest środkiem okręgu, to \\(\\angle BAS\\) jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku BC. Zatem:
\\[
\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC = \\frac{1}{2} \\cdot 84^\\circ = 42^\\circ
\\]
To jest błędne.
\\[
\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC
\\]
Ponieważ \\(\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle BAC\\), to:
\\[
\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot \\angle BAC = \\angle BAC
\\]
Zatem, \\(\\angle BAS = \\angle BAC\\). W trójkącie ABC, \\(\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle ACB = 180^\\circ\\).
Zatem, \\(\\angle ABC + \\angle BAC + 42^\\circ = 180^\\circ\\), co oznacza, że \\(\\angle ABC + \\angle BAC = 138^\\circ\\).
Ponieważ \\(\\angle BAS = \\angle BAC\\), to \\(\\angle BAS = \\angle BAC = x\\). Zatem, \\(\\angle ABC + x = 138^\\circ\\).
\\[
\\frac{AB}{\\sin(42^\\circ)} = \\frac{BC}{\\sin(x)} = \\frac{AC}{\\sin(138^\\circ - x)}
\\]
Ponieważ kąt BAS jest ostry, to \\(\\angle BAS = x\\). Zatem, \\(\\angle BAC = x\\).
\\[
2x = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ
\\]
\\[
x = 42^\\circ
\\]
W tym przypadku, \\(\\angle BAC = 42^\\circ\\), a \\(\\angle BAS = 42^\\circ\\).
\\[
\\angle BAS = 84^\\circ
\\]
📖 Karta wzorów: [Twierdzenie sinusów] strona 15
"}]}