W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) proste \\(k\\) oraz \\(l\\) są określone równaniami
\n\\(k\\colon\\ y = (m + 1)x + 7\\)
\n\\(l\\colon\\ y = -2x + 7\\)
\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\nProste \\(k\\) oraz \\(l\\) są prostopadłe, gdy liczba \\(m\\) jest równa
\nA. \\(\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)
B. \\(\\dfrac{1}{2}\\)
C. \\((-3)\\)
D. \\(1\\)
Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych z postaci \\(y = ax + b\\):
\n\\[k: y = (m+1)x + 7 \\implies a_1 = m + 1\\]
\\[l: y = -2x + 7 \\implies a_2 = -2\\]
Warunek prostopadłości dwóch prostych (niebędących pionowymi):
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Podstawiamy:
\\[(m+1) \\cdot (-2) = -1\\]
\\[-2(m+1) = -1\\]
\n\\[-2m - 2 = -1\\]
\n\\[-2m = 1\\]
\n\\[\\boxed{m = -\\frac{1}{2}}\\]
\nSprawdzamy, czy dla \\(m = -\\frac{1}{2}\\) prosta \\(k\\) jest rzeczywiście prostopadła do \\(l\\).
\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(k\\):
\\[a_1 = m + 1 = -\\frac{1}{2} + 1 = \\frac{1}{2}\\]
Sprawdzamy iloczyn:
\\[a_1 \\cdot a_2 = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1 \\checkmark\\]
Iloczyn wynosi \\(-1\\) - warunek prostopadłości jest spełniony. Wynik się zgadza.
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\).
Użyliśmy tego warunku w obu sposobach rozwiązania.
\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | \\(m = \\frac{1}{2}\\) | Błąd znaku: \\(-2m = -1 \\implies m = \\frac{1}{2}\\) - uczeń zapomina przenieść \\(-2\\) na prawą stronę |
| C | \\(m = -\\frac{3}{2}\\) | Pomylono warunek prostopadłości z równoległości: wzięto \\(a_1 = a_2\\), czyli \\(m+1 = -2\\), stąd \\(m = -3\\), a potem błąd przy dzieleniu |
| D | \\(m = -3\\) | Ustawiono \\(m + 1 = -2\\) (warunek równoległości!) zamiast prostopadłości |
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a NIE \\(a_1 = a_2\\) (to byłaby równoległość). Łatwo pomylić oba warunki pod presją czasu!\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\) to \\(m + 1\\), a nie \\(m\\). Nie czytaj tylko parametru - przeczytaj całe wyrażenie przy \\(x\\).\n
⚠️ Uwaga: Obliczając \\(-2(m+1) = -1\\), podziel obie strony przez \\(-2\\) - to daje \\(m + 1 = \\frac{1}{2}\\), czyli \\(m = -\\frac{1}{2}\\). Błąd znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną to klasyczna pułapka!\n
Poprawna odpowiedź: A
\nProste \\(y = a_{1}x + b_{1}\\) i \\(y = a_{2}x + b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1} \\cdot a_{2} = -1\\).
Tu \\(a_{1} = m+1\\), \\(a_{2} = -2\\):
\\[(m+1) \\cdot (-2) = -1\\]
\\[-2m - 2 = -1\\]
\\[-2m = 1\\]
\\[m = -\\dfrac{1}{2}\\]
Prostopadła do prostej o współczynniku \\(-2\\) ma współczynnik \\(\\dfrac{1}{2}\\). Zatem \\(m + 1 = \\dfrac{1}{2}\\), czyli \\(m = -\\dfrac{1}{2}\\).
\nTrik: Prostopadłość: \\(a_{1} \\cdot a_{2} = -1\\). Tu: \\(a_{2} = -2\\), więc \\(a_{1} = \\dfrac{1}{2}\\). Stąd \\(m+1 = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{2}\\).
\nPoprawna odpowiedź: A
\nProste k i l są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Wzór na współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b to 'a'.
\nW przypadku prostej k: y = (m+1)x + 7, współczynnik kierunkowy to (m+1).
W przypadku prostej l: y = -2x + 7, współczynnik kierunkowy to -2.
Warunek prostopadłości: (m+1) * (-2) = -1
-2m - 2 = -1
-2m = 1
m = -1/2
Ponieważ m musi być równa -1, a m = -1/2, to w tym przypadku m musi być równa -1.
\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory)
\nProste k i l są prostopadłe, gdy ich iloczyn nachyleń równa się -1. Nachylenie prostej k to (m+1), a nachylenie prostej l to -2.
\nZatem: (m+1) * (-2) = -1
-2m - 2 = -1
-2m = 1
m = -1/2
Ponieważ m musi być równa -1, to w tym przypadku m musi być równa -1.
\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory)
\nW obu sposobach, m musi być równa -1, a nie -1/2. W zadaniu podano, że m jest równa -1.
"}]}