{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\).\n\nOblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z24.png\n\n. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \\(15\\sqrt{3}\\) . 6","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie C ze środka przekątnej\n\n**Kluczowa własność równoległoboku:** przekątne przecinają się w połowie - punkt \\(P\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz współrzędne C**\n\nSkoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem \\(AC\\), a \\(A = (-2, 6)\\):\n\\[x_P = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 6 = \\frac{-2 + x_C}{2} \\implies x_C = 14\\]\n\\[y_P = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 7 = \\frac{6 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]\n\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\n\n**Krok 2: Oblicz długość BC**\n\nMamy \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n**Wynik: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez D i bok AD\n\nW równoległoboku \\(BC = AD\\) (boki przeciwległe są równe). Sprawdźmy, wyznaczając D.\n\n**Wyznacz D** ze środka przekątnej BD (\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\), \\(B = (10, 2)\\)):\n\\[6 = \\frac{10 + x_D}{2} \\implies x_D = 2\\]\n\\[7 = \\frac{2 + y_D}{2} \\implies y_D = 12\\]\n\nZatem \\(D = (2, 12)\\).\n\n**Oblicz AD** (\\(A = (-2, 6)\\), \\(D = (2, 12)\\)):\n\\[|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\nPonieważ \\(|AD| = |BC| = 2\\sqrt{13}\\) - **wynik się zgadza.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia C i D (P jest środkiem obu przekątnych).\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(|BC|\\) i weryfikacji \\(|AD|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że P to środek **obydwu** przekątnych - nie tylko AC, ale też BD. Błędem jest założenie, że P dzieli przekątne w innym stosunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność liter w równoległoboku. W \\(ABCD\\) boki to \\(AB, BC, CD, DA\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a **nie** \\(AB\\) i \\(CD\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do najprostszej postaci!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)**\n\n### Sposób 1 (punkt \\(P\\) jako środek przekątnej \\(AC\\) - CKE Sposób I)\nW równoległoboku przekątne przecinają się i dzielą się na połowy. \\(P\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[\\dfrac{-2 + x_{C}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{C} = 14\\]\n\\[\\dfrac{6 + y_{C}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{C} = 8\\]\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\nObliczamy długość \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^{2} + (8-2)^{2}} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Sposób 2 (punkt \\(P\\) jako środek \\(BD\\) - CKE Sposób II)\nZ własności równoległoboku \\(BC = AD\\). Wyznaczamy \\(D\\):\n\\[\\dfrac{10 + x_{D}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{D} = 2, \\quad \\dfrac{2 + y_{D}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{D} = 12\\]\n\\(D = (2, 12)\\).\n\\[|BC| = |AD| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (12-6)^{2}} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Sposób 3 (wektory - CKE Sposób III)\nŚrodek \\(AB\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-2+10}{2}, \\dfrac{6+2}{2}\\right) = (4, 4)\\).\nW równoległoboku \\(|BC| = 2|PS|\\) (bo \\(PS\\) to odcinek środkowy łączący środki dwóch boków). Zatem:\n\\[|BC| = 2\\sqrt{(4-6)^{2} + (4-7)^{2}} = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Korzystanie z punktów kratowych bez obliczeń → \\(0\\) lub \\(1\\) pkt.\n- Pominięcie własności \"przekątne połowią się\" → brak metody, \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** W równoległoboku punkt przecięcia przekątnych to ŚRODEK każdej przekątnej. Wyznacz \\(C\\) ze wzoru na środek odcinka, potem dystans.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\).</p>\n<p>Oblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z24.png</p>\n<p>. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \\(15\\sqrt{3}\\) . 6</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie C ze środka przekątnej</h4>\n<p><strong>Kluczowa własność równoległoboku:</strong> przekątne przecinają się w połowie - punkt \\(P\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz współrzędne C</strong></p>\n<p>Skoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem \\(AC\\), a \\(A = (-2, 6)\\):<br>\\[x_P = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 6 = \\frac{-2 + x_C}{2} \\implies x_C = 14\\]<br>\\[y_P = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 7 = \\frac{6 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]</p>\n<p>Zatem \\(C = (14, 8)\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz długość BC</strong></p>\n<p>Mamy \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):<br>\\[|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez D i bok AD</h4>\n<p>W równoległoboku \\(BC = AD\\) (boki przeciwległe są równe). Sprawdźmy, wyznaczając D.</p>\n<p><strong>Wyznacz D</strong> ze środka przekątnej BD (\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\), \\(B = (10, 2)\\)):<br>\\[6 = \\frac{10 + x_D}{2} \\implies x_D = 2\\]<br>\\[7 = \\frac{2 + y_D}{2} \\implies y_D = 12\\]</p>\n<p>Zatem \\(D = (2, 12)\\).</p>\n<p><strong>Oblicz AD</strong> (\\(A = (-2, 6)\\), \\(D = (2, 12)\\)):<br>\\[|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(|AD| = |BC| = 2\\sqrt{13}\\) - <strong>wynik się zgadza.</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia C i D (P jest środkiem obu przekątnych).</p>\n<p>Długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia \\(|BC|\\) i weryfikacji \\(|AD|\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że P to środek <strong>obydwu</strong> przekątnych - nie tylko AC, ale też BD. Błędem jest założenie, że P dzieli przekątne w innym stosunku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kolejność liter w równoległoboku. W \\(ABCD\\) boki to \\(AB, BC, CD, DA\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a <strong>nie</strong> \\(AB\\) i \\(CD\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do najprostszej postaci!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (punkt \\(P\\) jako środek przekątnej \\(AC\\) - CKE Sposób I)</h5>\n<p>W równoległoboku przekątne przecinają się i dzielą się na połowy. \\(P\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).<br>Ze wzoru na środek odcinka:<br>\\[\\dfrac{-2 + x_{C}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{C} = 14\\]<br>\\[\\dfrac{6 + y_{C}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{C} = 8\\]<br>Zatem \\(C = (14, 8)\\).<br>Obliczamy długość \\(BC\\):<br>\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^{2} + (8-2)^{2}} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (punkt \\(P\\) jako środek \\(BD\\) - CKE Sposób II)</h5>\n<p>Z własności równoległoboku \\(BC = AD\\). Wyznaczamy \\(D\\):<br>\\[\\dfrac{10 + x_{D}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{D} = 2, \\quad \\dfrac{2 + y_{D}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{D} = 12\\]<br>\\(D = (2, 12)\\).<br>\\[|BC| = |AD| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (12-6)^{2}} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<h5>Sposób 3 (wektory - CKE Sposób III)</h5>\n<p>Środek \\(AB\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-2+10}{2}, \\dfrac{6+2}{2}\\right) = (4, 4)\\).<br>W równoległoboku \\(|BC| = 2|PS|\\) (bo \\(PS\\) to odcinek środkowy łączący środki dwóch boków). Zatem:<br>\\[|BC| = 2\\sqrt{(4-6)^{2} + (4-7)^{2}} = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne podejścia błędne</h5>\n<ul><li>Korzystanie z punktów kratowych bez obliczeń → \\(0\\) lub \\(1\\) pkt.</li><li>Pominięcie własności &quot;przekątne połowią się&quot; → brak metody, \\(0\\) pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W równoległoboku punkt przecięcia przekątnych to ŚRODEK każdej przekątnej. Wyznacz \\(C\\) ze wzoru na środek odcinka, potem dystans.</p>"}]}