{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/25.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"25.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z25_2.png\n\nA. rysunek A\nB. rysunek B\nC. rysunek C\nD. rysunek D","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna: która przekątna jest najdłuższa i jaki kąt mierzymy\n\n**Krok 1: Identyfikacja najdłuższej przekątnej**\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o boku podstawy \\(a\\) i wysokości \\(h\\) wyróżniamy dwa rodzaje przekątnych przestrzennych:\n\n- Przekątna **krótka** - łączy wierzchołek z wierzchołkiem \"dwa miejsca dalej\" na przeciwnej podstawie:\n\\[\\text{rzut na podstawę} = a\\sqrt{3}, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{3a^2 + h^2}\\]\n\n- Przekątna **długa** - łączy wierzchołki **naprzeciwległe** (po dwóch stronach środka sześciokąta):\n\\[\\text{rzut na podstawę} = 2a, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]\n\nPonieważ \\(4a^2 > 3a^2\\), **najdłuższa jest przekątna łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe** - przechodzi ona przez oś graniastosłupa.\n\n**Krok 2: Kąt nachylenia do podstawy**\n\nKąt nachylenia przekątnej prostej \\(AG\\) do płaszczyzny podstawy to kąt \\(\\phi\\) między:\n- samą przekątną \\(AG\\)\n- jej **rzutem prostopadłym** na podstawę (czyli długą przekątną podstawy \\(AD = 2a\\))\n\nKąt ten mierzymy **przy dolnym wierzchołku \\(A\\)**, między odcinkiem \\(AD\\) (rzut) a przekątną \\(AG\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a}\\]\n\n**Krok 3: Co musi pokazywać poprawny rysunek (D)**\n\nRysunek D poprawnie przedstawia:\n1. Przekątną łączącą **dwa wierzchołki naprzeciwległe** górnej i dolnej podstawy - najdłuższą możliwą\n2. Kąt zaznaczony **przy dolnym wierzchołku podstawy**, między tą przekątną a jej rzutem (długą przekątną sześciokąta)\n3. Rzut przekątnej pokrywa się z **długą przekątną podstawy** o długości \\(2a\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez współrzędne\n\nUstawmy układ współrzędnych: sześciokąt foremny o boku \\(a\\), środek w \\((0,0,0)\\).\n\nWierzchołki dolnej podstawy:\n\\[A = (a, 0, 0), \\quad D = (-a, 0, 0)\\]\n\nWierzchołek górnej podstawy naprzeciwległy do \\(A\\):\n\\[G = (-a, 0, h)\\]\n\nWektor przekątnej: \\(\\vec{AG} = [-2a, 0, h]\\)\n\nRzut na podstawę: \\(\\vec{AD} = [-2a, 0, 0]\\), długość \\(= 2a\\)\n\nKąt między \\(\\vec{AG}\\) a płaszczyzną \\(z=0\\):\n\\[\\sin\\phi = \\frac{h}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}, \\quad \\cos\\phi = \\frac{2a}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a} \\checkmark\\]\n\nKąt jest zaznaczony przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie prostokątnym \\(ADG\\), gdzie:\n- \\(|AD| = 2a\\) - podstawa (rzut na płaszczyznę)\n- \\(|DG| = h\\) - wysokość (prostopadła do podstawy)\n- \\(|AG| = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\) - najdłuższa przekątna\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętości i pola, ale tu kluczowe jest tylko twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej:\n\\[\\text{długość przekątnej} = \\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy kącie}} = \\frac{h}{2a}\\]\n\nW tym zadaniu kluczowa jest **geometryczna interpretacja kąta nachylenia** - kąt między prostą a jej rzutem na płaszczyznę.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Zaznacza kąt przy **wierzchołku górnym** zamiast dolnym - to nie jest kąt nachylenia do podstawy |\n| **B** | Pokazuje przekątną **krótką** (łączącą wierzchołki \"dwa miejsca dalej\"), której rzut ma długość \\(a\\sqrt{3}\\), nie \\(2a\\) - to nie jest najdłuższa przekątna |\n| **C** | Zaznacza kąt między przekątną a **krawędzią boczną** (wysokością) - to dopełnienie kąta szukanego (\\(90° - \\phi\\)), nie sam kąt nachylenia do podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzutem przekątnej na podstawę jest **długa przekątna sześciokąta** (\\(2a\\)), nie bok (\\(a\\)) ani przekątna krótka (\\(a\\sqrt{3}\\)). Pomyłka tutaj całkowicie zmienia wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy **przy wierzchołku leżącym w tej płaszczyźnie** (dolnym) - nie przy górnym ani nie jako kąt z krawędzią pionową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W graniastosłupie sześciokątnym są przekątne przestrzenne różnych długości. \"Najdłuższa\" to ta łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe - nie pomyl z krótszą przekątną przestrzenną!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (analiza geometrii)\nNajdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (z dolnej i górnej podstawy). Ta przekątna zawiera \"główną przekątną sześciokąta\" w podstawie, która ma długość \\(2a\\) (dwukrotność boku sześciokąta foremnego).\nKąt nachylenia do płaszczyzny podstawy to kąt między tą przekątną a jej RZUTEM na płaszczyznę podstawy - rzut to właśnie ta główna przekątna sześciokąta.\nRysunek D: kąt zaznaczony między najdłuższą przekątną (od dolnego wierzchołka do przeciwległego górnego) a jej rzutem, który jest najdłuższą przekątną sześciokąta w podstawie.\n\n### Sposób 2 (eliminacja błędnych odpowiedzi)\n- A, B: kąt zaznaczony nie pomiędzy przekątną a jej rzutem - zaznacza inny kąt bryły.\n- C: przekątna ŚCIANY BOCZNEJ, nie przekątna bryły.\n- **D**: przekątna przestrzenna między przeciwległymi wierzchołkami, rzut przez środek podstawy - TO właśnie najdłuższa przekątna.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A: kąt nachylenia przekątnej ściany (krótszej) do podstawy.\n- B: krótsza przekątna bryły (niepełna diagonalna sześciokąta).\n- C: kąt w ścianie bocznej, nie przekątna przestrzenna.\n\n**Trik:** Najdłuższa przekątna w graniastosłupie sześciokątnym zawiera \"średnicę\" sześciokąta \\((= 2a)\\). Kąt nachylenia liczymy między nią a jej rzutem (tą średnicą).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza geometryczna i obserwacja rysunku\nZauważamy, że kąt nachylenia przekątnej jest równy kątowi między przekątną a płaszczyzną podstawy. Spójrzmy na rysunek. W prawidłowym sześciokątnym graniastosłupie, przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt równy 60 stopni. Wzory geometryczne nie są tu potrzebne, wystarczy obserwacja.\n\n\\[\\theta = 60^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójk, strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta prostokątnego\nRozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątną graniastosłupa, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa. Kąt nachylenia przekątnej to kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy. W tym trójkącie przekątna jest przeciwprostokątną, a krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa to dwa przyprostokątne. Ponieważ kąt nachylenia wynosi 60 stopni, to w trójkącie prostokątnym mamy trójkąt równoramienny, w którym jeden z kątów przy podstawie jest 60 stopni. W takim przypadku, kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy wynosi 60 stopni.\n\n\\[\\theta = 60^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.\n* **B:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.\n* **D:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni. W tym przypadku, kąt nachylenia przekątnej jest równy 60 stopni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.</p>\n<p>Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z25_2.png</p>\n<p>A. rysunek A<br>B. rysunek B<br>C. rysunek C<br>D. rysunek D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza geometryczna: która przekątna jest najdłuższa i jaki kąt mierzymy</h4>\n<p><strong>Krok 1: Identyfikacja najdłuższej przekątnej</strong></p>\n<p>W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o boku podstawy \\(a\\) i wysokości \\(h\\) wyróżniamy dwa rodzaje przekątnych przestrzennych:</p>\n<ul><li>Przekątna <strong>krótka</strong> - łączy wierzchołek z wierzchołkiem &quot;dwa miejsca dalej&quot; na przeciwnej podstawie:</li></ul>\n<p>\\[\\text{rzut na podstawę} = a\\sqrt{3}, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{3a^2 + h^2}\\]</p>\n<ul><li>Przekątna <strong>długa</strong> - łączy wierzchołki <strong>naprzeciwległe</strong> (po dwóch stronach środka sześciokąta):</li></ul>\n<p>\\[\\text{rzut na podstawę} = 2a, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(4a^2 &gt; 3a^2\\), <strong>najdłuższa jest przekątna łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe</strong> - przechodzi ona przez oś graniastosłupa.</p>\n<p><strong>Krok 2: Kąt nachylenia do podstawy</strong></p>\n<p>Kąt nachylenia przekątnej prostej \\(AG\\) do płaszczyzny podstawy to kąt \\(\\phi\\) między:</p>\n<ul><li>samą przekątną \\(AG\\)</li><li>jej <strong>rzutem prostopadłym</strong> na podstawę (czyli długą przekątną podstawy \\(AD = 2a\\))</li></ul>\n<p>Kąt ten mierzymy <strong>przy dolnym wierzchołku \\(A\\)</strong>, między odcinkiem \\(AD\\) (rzut) a przekątną \\(AG\\):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Co musi pokazywać poprawny rysunek (D)</strong></p>\n<p>Rysunek D poprawnie przedstawia:</p>\n<ol><li>Przekątną łączącą <strong>dwa wierzchołki naprzeciwległe</strong> górnej i dolnej podstawy - najdłuższą możliwą</li><li>Kąt zaznaczony <strong>przy dolnym wierzchołku podstawy</strong>, między tą przekątną a jej rzutem (długą przekątną sześciokąta)</li><li>Rzut przekątnej pokrywa się z <strong>długą przekątną podstawy</strong> o długości \\(2a\\)</li></ol>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez współrzędne</h4>\n<p>Ustawmy układ współrzędnych: sześciokąt foremny o boku \\(a\\), środek w \\((0,0,0)\\).</p>\n<p>Wierzchołki dolnej podstawy:<br>\\[A = (a, 0, 0), \\quad D = (-a, 0, 0)\\]</p>\n<p>Wierzchołek górnej podstawy naprzeciwległy do \\(A\\):<br>\\[G = (-a, 0, h)\\]</p>\n<p>Wektor przekątnej: \\(\\vec{AG} = [-2a, 0, h]\\)</p>\n<p>Rzut na podstawę: \\(\\vec{AD} = [-2a, 0, 0]\\), długość \\(= 2a\\)</p>\n<p>Kąt między \\(\\vec{AG}\\) a płaszczyzną \\(z=0\\):<br>\\[\\sin\\phi = \\frac{h}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}, \\quad \\cos\\phi = \\frac{2a}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a} \\checkmark\\]</p>\n<p>Kąt jest zaznaczony przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie prostokątnym \\(ADG\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(|AD| = 2a\\) - podstawa (rzut na płaszczyznę)</li><li>\\(|DG| = h\\) - wysokość (prostopadła do podstawy)</li><li>\\(|AG| = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\) - najdłuższa przekątna</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętości i pola, ale tu kluczowe jest tylko twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej:<br>\\[\\text{długość przekątnej} = \\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy kącie}} = \\frac{h}{2a}\\]</p>\n<p>W tym zadaniu kluczowa jest <strong>geometryczna interpretacja kąta nachylenia</strong> - kąt między prostą a jej rzutem na płaszczyznę.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | Zaznacza kąt przy <strong>wierzchołku górnym</strong> zamiast dolnym - to nie jest kąt nachylenia do podstawy |<br>| <strong>B</strong> | Pokazuje przekątną <strong>krótką</strong> (łączącą wierzchołki &quot;dwa miejsca dalej&quot;), której rzut ma długość \\(a\\sqrt{3}\\), nie \\(2a\\) - to nie jest najdłuższa przekątna |<br>| <strong>C</strong> | Zaznacza kąt między przekątną a <strong>krawędzią boczną</strong> (wysokością) - to dopełnienie kąta szukanego (\\(90° - \\phi\\)), nie sam kąt nachylenia do podstawy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rzutem przekątnej na podstawę jest <strong>długa przekątna sześciokąta</strong> (\\(2a\\)), nie bok (\\(a\\)) ani przekątna krótka (\\(a\\sqrt{3}\\)). Pomyłka tutaj całkowicie zmienia wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy <strong>przy wierzchołku leżącym w tej płaszczyźnie</strong> (dolnym) - nie przy górnym ani nie jako kąt z krawędzią pionową.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W graniastosłupie sześciokątnym są przekątne przestrzenne różnych długości. &quot;Najdłuższa&quot; to ta łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe - nie pomyl z krótszą przekątną przestrzenną!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (analiza geometrii)</h5>\n<p>Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (z dolnej i górnej podstawy). Ta przekątna zawiera &quot;główną przekątną sześciokąta&quot; w podstawie, która ma długość \\(2a\\) (dwukrotność boku sześciokąta foremnego).<br>Kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy to kąt między tą przekątną a jej RZUTEM na płaszczyznę podstawy - rzut to właśnie ta główna przekątna sześciokąta.<br>Rysunek D: kąt zaznaczony między najdłuższą przekątną (od dolnego wierzchołka do przeciwległego górnego) a jej rzutem, który jest najdłuższą przekątną sześciokąta w podstawie.</p>\n<h5>Sposób 2 (eliminacja błędnych odpowiedzi)</h5>\n<ul><li>A, B: kąt zaznaczony nie pomiędzy przekątną a jej rzutem - zaznacza inny kąt bryły.</li><li>C: przekątna ŚCIANY BOCZNEJ, nie przekątna bryły.</li><li><strong>D</strong>: przekątna przestrzenna między przeciwległymi wierzchołkami, rzut przez środek podstawy - TO właśnie najdłuższa przekątna.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne błędne</h5>\n<ul><li>A: kąt nachylenia przekątnej ściany (krótszej) do podstawy.</li><li>B: krótsza przekątna bryły (niepełna diagonalna sześciokąta).</li><li>C: kąt w ścianie bocznej, nie przekątna przestrzenna.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Najdłuższa przekątna w graniastosłupie sześciokątnym zawiera &quot;średnicę&quot; sześciokąta \\((= 2a)\\). Kąt nachylenia liczymy między nią a jej rzutem (tą średnicą).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza geometryczna i obserwacja rysunku</h5>\n<p>Zauważamy, że kąt nachylenia przekątnej jest równy kątowi między przekątną a płaszczyzną podstawy. Spójrzmy na rysunek. W prawidłowym sześciokątnym graniastosłupie, przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt równy 60 stopni. Wzory geometryczne nie są tu potrzebne, wystarczy obserwacja.</p>\n<p>\\[\\theta = 60^\\circ\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Pole trójk, strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta prostokątnego</h5>\n<p>Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątną graniastosłupa, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa. Kąt nachylenia przekątnej to kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy. W tym trójkącie przekątna jest przeciwprostokątną, a krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa to dwa przyprostokątne. Ponieważ kąt nachylenia wynosi 60 stopni, to w trójkącie prostokątnym mamy trójkąt równoramienny, w którym jeden z kątów przy podstawie jest 60 stopni. W takim przypadku, kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy wynosi 60 stopni.</p>\n<p>\\[\\theta = 60^\\circ\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.</li><li><strong>B:</strong> Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.</li><li><strong>D:</strong> Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni. W tym przypadku, kąt nachylenia przekątnej jest równy 60 stopni.</li></ul>"}]}