{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"26","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Ostrosłup \\(F_{1}\\) jest podobny do ostrosłupa \\(F_{2}\\).\n\nObjętość ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równa \\(64\\).\n\nObjętość ostrosłupa \\(F_{2}\\) jest równa \\(512\\).\n\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.\n\nStosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{2}\\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 4\n\n## Sposób 1 - współczynnik podobieństwa z objętości\n\n**Kluczowy fakt:** Jeśli dwie bryły są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to ich objętości mają stosunek \\(k^3\\), a pola powierzchni - stosunek \\(k^2\\).\n\n**Krok 1: Znajdź stosunek objętości.**\n\n\\[\\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \\frac{512}{64} = 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik podobieństwa \\(k\\).**\n\nSkoro \\(k^3 = 8\\), to:\n\\[k = \\sqrt[3]{8} = 2\\]\n\nOznacza to, że ostrosłup \\(F_2\\) jest **2 razy większy** (liniowo) od \\(F_1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych.**\n\nPola powierzchni rosną jak \\(k^2\\):\n\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = k^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]\n\n**Odpowiedź: stosunek pola powierzchni całkowitej \\(F_2\\) do pola \\(F_1\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - przez wymiar liniowy\n\nWyobraźmy sobie, że oba ostrosłupy są np. czworościanami prawidłowymi o bokach podstawy \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\nObjętość ostrosłupa jest proporcjonalna do sześcianu wymiaru liniowego:\n\\[V \\sim l^3\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{l_2^3}{l_1^3} = \\frac{512}{64} = 8 \\implies \\frac{l_2}{l_1} = \\sqrt[3]{8} = 2\\]\n\nPole powierzchni jest proporcjonalne do kwadratu wymiaru liniowego:\n\\[P_c \\sim l^2\\]\n\nStąd:\n\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = \\left(\\frac{l_2}{l_1}\\right)^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]\n\n**Weryfikacja intuicyjna:** jeśli każdy wymiar liniowy rośnie 2-krotnie, to powierzchnia (2D) rośnie \\(2^2 = 4\\) razy, a objętość (3D) rośnie \\(2^3 = 8\\) razy. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy faktu, że objętość skaluje się jak \\(k^3\\) przy podobieństwie.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\nTo jest bezpośredni wzór z karty, który mówi, że przy współczynniku podobieństwa \\(k\\), pola powierzchni mają stosunek \\(k^2\\). Dla brył analogicznie - stosunek objętości to \\(k^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **podzielenie pól tak jak objętości**, czyli wpisanie \\(\\frac{512}{64} = 8\\). Pamiętaj: objętość ~ \\(k^3\\), pole ~ \\(k^2\\) - to różne potęgi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać konkretnego kształtu ostrosłupów - zadanie dotyczy **dowolnych podobnych brył**. Zależność \\(V \\sim k^3\\) i \\(P \\sim k^2\\) działa dla każdej bryły podobnej, niezależnie od liczby ścian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kierunku stosunku - zadanie pyta o \\(\\frac{P_c(F_2)}{P_c(F_1)}\\), nie odwrotnie. Gdyby pytano o stosunek \\(F_1\\) do \\(F_2\\), odpowiedź byłaby \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(4\\)**\n\n### Sposób 1 (stosunki podobieństwa brył)\nJeśli skala podobieństwa wynosi \\(k\\), to:\n- Stosunek objętości: \\(\\dfrac{V_{2}}{V_{1}} = k^{3}\\)\n- Stosunek pól powierzchni: \\(\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2}\\)\n\nObliczamy \\(k\\):\n\\[\\dfrac{V_{2}}{V_{1}} = \\dfrac{512}{64} = 8 = k^{3} \\Rightarrow k = 2\\]\n\nZatem stosunek pól:\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2} = 2^{2} = 4\\]\n\n### Sposób 2 (bezpośrednio)\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \\left(\\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Odpowiedź \\(8\\): pomylono stosunek pól z objętości.\n- Odpowiedź \\(2\\): podano skalę podobieństwa zamiast pól.\n- Odpowiedź \\(64\\): niezrozumienie związku.\n\n**Trik:** Dla brył podobnych w skali \\(k\\): długości rosną \\(k\\)-krotnie, pola \\(k^{2}\\)-krotnie, objętości \\(k^{3}\\)-krotnie. Pierwiastek sześcienny z ilorazu objętości daje \\(k\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Ostrosłup \\(F_{1}\\) jest podobny do ostrosłupa \\(F_{2}\\).

\n

Objętość ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równa \\(64\\).

\n

Objętość ostrosłupa \\(F_{2}\\) jest równa \\(512\\).

\n

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

\n

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{2}\\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równy

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 4

\n

Sposób 1 - współczynnik podobieństwa z objętości

\n

Kluczowy fakt: Jeśli dwie bryły są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to ich objętości mają stosunek \\(k^3\\), a pola powierzchni - stosunek \\(k^2\\).

\n

Krok 1: Znajdź stosunek objętości.

\n

\\[\\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \\frac{512}{64} = 8\\]

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik podobieństwa \\(k\\).

\n

Skoro \\(k^3 = 8\\), to:
\\[k = \\sqrt[3]{8} = 2\\]

\n

Oznacza to, że ostrosłup \\(F_2\\) jest 2 razy większy (liniowo) od \\(F_1\\).

\n

Krok 3: Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych.

\n

Pola powierzchni rosną jak \\(k^2\\):
\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = k^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]

\n

Odpowiedź: stosunek pola powierzchni całkowitej \\(F_2\\) do pola \\(F_1\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).

\n

Sposób 2 - przez wymiar liniowy

\n

Wyobraźmy sobie, że oba ostrosłupy są np. czworościanami prawidłowymi o bokach podstawy \\(a_1\\) i \\(a_2\\).

\n

Objętość ostrosłupa jest proporcjonalna do sześcianu wymiaru liniowego:
\\[V \\sim l^3\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{l_2^3}{l_1^3} = \\frac{512}{64} = 8 \\implies \\frac{l_2}{l_1} = \\sqrt[3]{8} = 2\\]

\n

Pole powierzchni jest proporcjonalne do kwadratu wymiaru liniowego:
\\[P_c \\sim l^2\\]

\n

Stąd:
\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = \\left(\\frac{l_2}{l_1}\\right)^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]

\n

Weryfikacja intuicyjna: jeśli każdy wymiar liniowy rośnie 2-krotnie, to powierzchnia (2D) rośnie \\(2^2 = 4\\) razy, a objętość (3D) rośnie \\(2^3 = 8\\) razy. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - ostrosłup:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy faktu, że objętość skaluje się jak \\(k^3\\) przy podobieństwie.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
To jest bezpośredni wzór z karty, który mówi, że przy współczynniku podobieństwa \\(k\\), pola powierzchni mają stosunek \\(k^2\\). Dla brył analogicznie - stosunek objętości to \\(k^3\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to podzielenie pól tak jak objętości, czyli wpisanie \\(\\frac{512}{64} = 8\\). Pamiętaj: objętość ~ \\(k^3\\), pole ~ \\(k^2\\) - to różne potęgi!
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz znać konkretnego kształtu ostrosłupów - zadanie dotyczy dowolnych podobnych brył. Zależność \\(V \\sim k^3\\) i \\(P \\sim k^2\\) działa dla każdej bryły podobnej, niezależnie od liczby ścian.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o kierunku stosunku - zadanie pyta o \\(\\frac{P_c(F_2)}{P_c(F_1)}\\), nie odwrotnie. Gdyby pytano o stosunek \\(F_1\\) do \\(F_2\\), odpowiedź byłaby \\(\\frac{1}{4}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(4\\)

\n
Sposób 1 (stosunki podobieństwa brył)
\n

Jeśli skala podobieństwa wynosi \\(k\\), to:

\n\n

Obliczamy \\(k\\):
\\[\\dfrac{V_{2}}{V_{1}} = \\dfrac{512}{64} = 8 = k^{3} \\Rightarrow k = 2\\]

\n

Zatem stosunek pól:
\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2} = 2^{2} = 4\\]

\n
Sposób 2 (bezpośrednio)
\n

\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \\left(\\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4\\]

\n
Dlaczego inne podejścia błędne
\n\n

Trik: Dla brył podobnych w skali \\(k\\): długości rosną \\(k\\)-krotnie, pola \\(k^{2}\\)-krotnie, objętości \\(k^{3}\\)-krotnie. Pierwiastek sześcienny z ilorazu objętości daje \\(k\\).

"}]}