{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \\(1\\), \\(3\\), \\(6\\), \\(8\\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nLiczba wszystkich takich kodów jest równa\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(10\\)\nC. \\(24\\)\nD. \\(16\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 24\n\n## Sposób 1 - Permutacje (zliczanie miejsc)\n\n**Budujemy kod cyfra po cyfrze.** Mamy 4 pozycje i 4 różne cyfry: \\(1, 3, 6, 8\\). Każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz - czyli szukamy wszystkich **ustawień (permutacji)** tych 4 cyfr.\n\n- Na **1. pozycji** możemy wstawić dowolną z \\(4\\) cyfr → **4 możliwości**\n- Na **2. pozycji** pozostały \\(3\\) cyfry → **3 możliwości**\n- Na **3. pozycji** pozostały \\(2\\) cyfry → **2 możliwości**\n- Na **4. pozycji** pozostała \\(1\\) cyfra → **1 możliwość**\n\nNa mocy **reguły mnożenia**:\n\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4! = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na permutacje wprost\n\nChcemy ustawić \\(n = 4\\) **różnych** elementów w rzędzie. Liczba takich ustawień to:\n\\[P_4 = 4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Weryfikacja (kilka przykładów):**\nZaczynamy od cyfry \\(1\\): \\(1368, 1386, 1638, 1683, 1836, 1863\\) - to 6 kodów zaczynających się od \\(1\\).\nAnalogicznie dla \\(3, 6, 8\\) - po 6 kodów.\nRazem: \\(4 \\cdot 6 = 24\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - permutacje:\n\\[P_n = n!\\]\nLiczba sposobów ustawienia \\(n\\) różnych elementów w rzędzie wynosi \\(n!\\). Tutaj \\(n = 4\\), więc \\(4! = 24\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Policzono \\(4\\) - jakby był tylko 1 wybór cyfry (np. mylnie uznano, że kod jest jeden) |\n| B | Policzono \\(4 \\cdot 3 = 12\\) - zatrzymano się na 2 pozycjach, zapominając o pozostałych |\n| D | Policzono \\(4^4 = 256\\) - uznano, że każda cyfra **może się powtarzać** (wariacje z powtórzeniami), co zaprzecza treści zadania |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź D (\\(4^4 = 256\\)) - uczniowie liczą \"4 cyfry, 4 pozycje, na każdej 4 możliwości\". Ale warunek *„każda cyfra występuje dokładnie raz\"* **eliminuje powtórzenia** - po wybraniu cyfry na daną pozycję, już jej nie możemy użyć ponownie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd z odpowiedzią B (\\(12\\)) pojawia się, gdy ktoś liczy tylko \\(4 \\cdot 3\\) - jakby kod był dwucyfrowy, nie czterocyfrowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(n!\\) stosujemy tylko gdy ustawiamy **wszystkie** \\(n\\) elementów. Gdyby pytanie brzmiało \"kody 2-cyfrowe z 4 cyfr bez powtórzeń\", użylibyśmy wariacji bez powtórzeń: \\(\\frac{4!}{(4-2)!} = 12\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (reguła mnożenia)\nUstawiamy \\(4\\) różne cyfry w \\(4\\) miejscach:\n- na 1. miejsce: \\(4\\) wybory,\n- na 2. miejsce: \\(3\\) wybory (pozostałe),\n- na 3. miejsce: \\(2\\) wybory,\n- na 4. miejsce: \\(1\\) wybór.\n\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24\\]\n\n### Sposób 2 (permutacje)\nLiczba permutacji zbioru 4-elementowego: \\(4! = 24\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(4\\): tylko liczba cyfr.\n- B \\(10\\): błąd - może dodawanie \\(4+3+2+1 = 10\\).\n- D \\(16 = 4^{2}\\) lub \\(4 \\cdot 4\\): to kody z możliwymi powtórzeniami (tylko 2 pozycje).\n\n**Trik:** Permutacja \\(n\\) różnych elementów = \\(n!\\). Gdy każda cyfra ma pojawić się dokładnie raz, liczba ustawień = silnia z liczby cyfr.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Liczba permutacji\nTen sposób polega na obliczeniu liczby permutacji cyfr 1, 3, 6 i 8, a następnie podzieleniu przez 4!, ponieważ każda cyfra występuje dokładnie raz.\n\nKrok 1: Obliczamy liczbę wszystkich możliwych czterocyfrowych kodów, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. Mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kolejności. To jest problem permutacji. Liczba permutacji n różnych elementów to n! (n silnia). W naszym przypadku n = 4, więc liczba wszystkich możliwych kodów wynosi 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.\n\n\\[4! = 24\\]\n📖 Karta wzorów: s.28, strona 29\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na liczbę kombinacji\nMożemy również to obliczyć, używając wzoru na liczbę kombinacji, ponieważ kolejność cyfr w kodzie nie ma znaczenia. Chcemy wybrać 4 cyfry z 4 dostępnych, a kolejność nie ma znaczenia. Wzór na liczbę kombinacji \\(n\\) po \\(k\\) to \\(C(n, k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\). W naszym przypadku n = 4 i k = 4, więc:\n\n\\(C(4, 4) = \\frac{4!}{4!(4-4)!} = \\frac{4!}{4!0!} = \\frac{24}{24 * 1} = 1\\) To jest błędne. Musimy obliczyć liczbę sposobów, w których *każda* z cyfr występuje *dokładnie raz*.\n\nKrok 1: Zauważamy, że skoro każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz, to mamy 4 miejsca w kodzie, a do każdego z nich możemy przypisać jedną z 4 cyfr.\nKrok 2: Dla pierwszego miejsca mamy 4 możliwości.\nKrok 3: Dla drugiego miejsca mamy 3 możliwości (bo jedna cyfra już została użyta).\nKrok 4: Dla trzeciego miejsca mamy 2 możliwości.\nKrok 5: Dla czwartego miejsca mamy 1 możliwość.\nKrok 6: Zatem liczba wszystkich kodów wynosi 4 * 3 * 2 * 1 = 24.\n\n\\[4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 24\\]\n📖 Karta wzorów: s.28, strona 29\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** To jest liczba cyfr w kodzie, a nie liczba wszystkich możliwych kodów.\n* **B. 10:** To jest liczba cyfr, które mogą występować w kodzie (1, 3, 6, 8), a nie liczba kodów.\n* **D. 16:** To jest liczba cyfr, które mogą występować w kodzie, a nie liczba kodów.\n\nW obu sposobach obliczamy 24, ponieważ mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kodzie czterocyfrowym, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. To jest problem permutacji.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \\(1\\), \\(3\\), \\(6\\), \\(8\\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

\n

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

\n

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

\n

A. \\(4\\)
B. \\(10\\)
C. \\(24\\)
D. \\(16\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - 24

\n

Sposób 1 - Permutacje (zliczanie miejsc)

\n

Budujemy kod cyfra po cyfrze. Mamy 4 pozycje i 4 różne cyfry: \\(1, 3, 6, 8\\). Każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz - czyli szukamy wszystkich ustawień (permutacji) tych 4 cyfr.

\n\n

Na mocy reguły mnożenia:
\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4! = \\mathbf{24}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na permutacje wprost

\n

Chcemy ustawić \\(n = 4\\) różnych elementów w rzędzie. Liczba takich ustawień to:
\\[P_4 = 4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 24\\]

\n

Weryfikacja (kilka przykładów):
Zaczynamy od cyfry \\(1\\): \\(1368, 1386, 1638, 1683, 1836, 1863\\) - to 6 kodów zaczynających się od \\(1\\).
Analogicznie dla \\(3, 6, 8\\) - po 6 kodów.
Razem: \\(4 \\cdot 6 = 24\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - permutacje:
\\[P_n = n!\\]
Liczba sposobów ustawienia \\(n\\) różnych elementów w rzędzie wynosi \\(n!\\). Tutaj \\(n = 4\\), więc \\(4! = 24\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Policzono \\(4\\) - jakby był tylko 1 wybór cyfry (np. mylnie uznano, że kod jest jeden) |
| B | Policzono \\(4 \\cdot 3 = 12\\) - zatrzymano się na 2 pozycjach, zapominając o pozostałych |
| D | Policzono \\(4^4 = 256\\) - uznano, że każda cyfra może się powtarzać (wariacje z powtórzeniami), co zaprzecza treści zadania |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odpowiedź D (\\(4^4 = 256\\)) - uczniowie liczą "4 cyfry, 4 pozycje, na każdej 4 możliwości". Ale warunek „każda cyfra występuje dokładnie raz" eliminuje powtórzenia - po wybraniu cyfry na daną pozycję, już jej nie możemy użyć ponownie.
\n
⚠️ Uwaga: Błąd z odpowiedzią B (\\(12\\)) pojawia się, gdy ktoś liczy tylko \\(4 \\cdot 3\\) - jakby kod był dwucyfrowy, nie czterocyfrowy.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(n!\\) stosujemy tylko gdy ustawiamy wszystkie \\(n\\) elementów. Gdyby pytanie brzmiało "kody 2-cyfrowe z 4 cyfr bez powtórzeń", użylibyśmy wariacji bez powtórzeń: \\(\\frac{4!}{(4-2)!} = 12\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 (reguła mnożenia)
\n

Ustawiamy \\(4\\) różne cyfry w \\(4\\) miejscach:

\n\n

\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24\\]

\n
Sposób 2 (permutacje)
\n

Liczba permutacji zbioru 4-elementowego: \\(4! = 24\\).

\n
Dlaczego inne błędne
\n\n

Trik: Permutacja \\(n\\) różnych elementów = \\(n!\\). Gdy każda cyfra ma pojawić się dokładnie raz, liczba ustawień = silnia z liczby cyfr.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Liczba permutacji
\n

Ten sposób polega na obliczeniu liczby permutacji cyfr 1, 3, 6 i 8, a następnie podzieleniu przez 4!, ponieważ każda cyfra występuje dokładnie raz.

\n

Krok 1: Obliczamy liczbę wszystkich możliwych czterocyfrowych kodów, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. Mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kolejności. To jest problem permutacji. Liczba permutacji n różnych elementów to n! (n silnia). W naszym przypadku n = 4, więc liczba wszystkich możliwych kodów wynosi 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

\n

\\[4! = 24\\]
📖 Karta wzorów: s.28, strona 29

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na liczbę kombinacji
\n

Możemy również to obliczyć, używając wzoru na liczbę kombinacji, ponieważ kolejność cyfr w kodzie nie ma znaczenia. Chcemy wybrać 4 cyfry z 4 dostępnych, a kolejność nie ma znaczenia. Wzór na liczbę kombinacji \\(n\\) po \\(k\\) to \\(C(n, k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\). W naszym przypadku n = 4 i k = 4, więc:

\n

\\(C(4, 4) = \\frac{4!}{4!(4-4)!} = \\frac{4!}{4!0!} = \\frac{24}{24 * 1} = 1\\) To jest błędne. Musimy obliczyć liczbę sposobów, w których każda z cyfr występuje dokładnie raz.

\n

Krok 1: Zauważamy, że skoro każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz, to mamy 4 miejsca w kodzie, a do każdego z nich możemy przypisać jedną z 4 cyfr.
Krok 2: Dla pierwszego miejsca mamy 4 możliwości.
Krok 3: Dla drugiego miejsca mamy 3 możliwości (bo jedna cyfra już została użyta).
Krok 4: Dla trzeciego miejsca mamy 2 możliwości.
Krok 5: Dla czwartego miejsca mamy 1 możliwość.
Krok 6: Zatem liczba wszystkich kodów wynosi 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

\n

\\[4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 24\\]
📖 Karta wzorów: s.28, strona 29

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach obliczamy 24, ponieważ mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kodzie czterocyfrowym, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. To jest problem permutacji.

"}]}