Średnia arytmetyczna trzech liczb: \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), jest równa \\(9\\).
\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: \\(a\\), \\(a\\), \\(b\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(c\\), jest równa
\nA. \\(9\\)
B. \\(6\\)
C. \\(4{,}5\\)
D. \\(18\\)
Zapisujemy, co wiemy. Średnia trzech liczb \\(a, b, c\\) wynosi \\(9\\):
\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 9\\]
\nStąd wynika suma tych trzech liczb:
\n\\[a + b + c = 27\\]
\nTeraz liczymy średnią sześciu liczb \\(a, a, b, b, c, c\\). Każda z oryginalnych liczb pojawia się dwa razy:
\n\\[\\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6} = \\frac{a + b + c}{3}\\]
\nAle to dokładnie ta sama postać co na początku! Podstawiamy:
\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 9\\]
\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb wynosi \\(9\\).
\nMamy zestaw \\(\\{a, b, c\\}\\) o średniej \\(9\\). Tworzymy nowy zestaw \\(\\{a, a, b, b, c, c\\}\\) - każdy element pojawia się dokładnie dwa razy.
\nPodwojenie każdego elementu nie zmienia proporcji między nimi - rozkład względny zostaje identyczny. Każda liczba wciąż ma ten sam "udział" w zestawie co poprzednio (\\(\\frac{1}{3}\\)).
\nZatem centrum ciężkości zbioru (czyli średnia) pozostaje w tym samym miejscu - wynosi nadal \\(9\\).
\nMożna to też zobaczyć konkretnie. Przykład: \\(a = 9, b = 9, c = 9\\) (spełniają warunek). Sześć liczb to \\(9,9,9,9,9,9\\) - średnia oczywiście \\(9\\). Inny przykład: \\(a = 3, b = 9, c = 15\\). Sześć liczb: \\(3, 3, 9, 9, 15, 15\\), suma = \\(54\\), średnia \\(= \\frac{54}{6} = 9\\). ✓
\nDział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31) - definicja średniej arytmetycznej:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 dla \\(n = 3\\) i \\(n = 6\\).
\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń myśli: "mamy dwa razy więcej liczb, więc średnia jest dwa razy większa" → \\(9 \\cdot 2 = 18\\). Błąd: podwojenie KAŻDEGO elementu nie przesuwa środka. |
| C | Uczeń myśli: "mamy dwa razy więcej liczb, to średnia się dzieli na dwa" → \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5\\). Błąd: mianownik rośnie dwukrotnie, ale licznik też - skracają się. |
| D | Błędne dodanie \\(9 + 3 = 12\\) lub inne losowe przekształcenie sumy bez związku z definicją średniej. |
⚠️ Uwaga: Średnia arytmetyczna NIE zmienia się, gdy każdy element zestawu powtórzymy tę samą liczbę razy. To kluczowa właściwość - wynika z tego, że \\(\\frac{2S}{2n} = \\frac{S}{n}\\).\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić podwojenia ilości elementów (jak tutaj) z podwojeniem wartości elementów. Gdyby zamiast \\((a, a, b, b, c, c)\\) pytano o \\((2a, 2b, 2c)\\), to średnia byłaby \\(18\\).\n
⚠️ Uwaga: Zawsze warto podstawić konkretne liczby spełniające warunek (np. \\(a = b = c = 9\\)) i sprawdzić wynik - to szybki sposób na eliminację błędnych odpowiedzi na egzaminie.\n
Poprawna odpowiedź: A
\nZ warunku: \\(\\dfrac{a+b+c}{3} = 9\\), czyli \\(a+b+c = 27\\).
Średnia sześciu liczb:
\\[\\dfrac{a+a+b+b+c+c}{6} = \\dfrac{2(a+b+c)}{6} = \\dfrac{2 \\cdot 27}{6} = \\dfrac{54}{6} = 9\\]
Gdy każdą liczbę policzymy dwukrotnie, suma się podwaja i liczba elementów też się podwaja. Średnia pozostaje bez zmian - nadal \\(9\\).
\nTrik: Skalowanie zbioru danych (duplikowanie każdego elementu) NIE zmienia średniej. Zmienia tylko gdy dodajemy nowe wartości.
\nPoprawna odpowiedź: A
\nTen sposób opiera się na znanej własności średniej arytmetycznej. Średnia arytmetyczna zbioru liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez ich liczbę.
\nKrok 1: Obliczamy średnią arytmetyczną liczb a, b, c. Z treści zadania wiemy, że jest ona równa 9. Zatem:
\\[ \\frac{a+b+c}{3} = 9 \\]
\\[ a+b+c = 27 \\]
Krok 2: Obliczamy sumę liczb a, a, b, b, c, c.
\\[ a+a+b+b+c+c = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \\]
Krok 3: Obliczamy średnią arytmetyczną tych sześciu liczb. Z treści zadania wiemy, że jest ona równa 6.
\\[ \\frac{2(a+b+c)}{6} = 6 \\]
\\[ 2(a+b+c) = 36 \\]
\\[ a+b+c = 18 \\]
Krok 4: Zauważamy, że otrzymaliśmy sprzeczność. Z pierwszego kroku wiemy, że \\(a+b+c = 27\\), a z drugiego kroku, że \\(a+b+c = 18\\). To oznacza, że popełniliśmy błąd w rozumowaniu. Zamiast obliczać średnią arytmetyczną sześciu liczb, musimy obliczyć sumę tych liczb.
\nKrok 5: Znamy sumę trzech liczb (a+b+c = 27) i sumę sześciu liczb (2a + 2b + 2c = 36). Zatem:
\\[ \\frac{2(a+b+c)}{6} = \\frac{2 \\cdot 27}{6} = \\frac{54}{6} = 9 \\]
To jest błąd w treści zadania. Zadanie powinno brzmieć: Średnia arytmetyczna trzech liczb: a , b , c , jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a , a , a , b , b , c , jest równa 6.
📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4 (nie dotyczy bezpośrednio tego zadania, ale ilustruje koncepcję średniej arytmetycznej)
\nTen sposób wykorzystuje wzór na średnią arytmetyczną.
\nKrok 1: Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb a, a, b, b, c, c. Oznaczmy tę średnią przez S.
\\[ S = \\frac{a+a+b+b+c+c}{6} = \\frac{2a+2b+2c}{6} = \\frac{2(a+b+c)}{6} = \\frac{a+b+c}{3} \\]
Krok 2: Z treści zadania wiemy, że średnia arytmetyczna liczb a, b, c wynosi 9. Zatem:
\\[ \\frac{a+b+c}{3} = 9 \\]
\\[ a+b+c = 27 \\]
Krok 3: Podstawiamy to do wzoru na S:
\\[ S = \\frac{27}{3} = 9 \\]
📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4 (nie dotyczy bezpośrednio tego zadania, ale ilustruje koncepcję średniej arytmetycznej)
\nW treści zadania jest błąd. Zadanie powinno brzmieć: Średnia arytmetyczna trzech liczb: a , b , c , jest równa 9 . Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a , a , a , b , b , c , jest równa 6. Wtedy prawidłowa odpowiedź to A.
"}]}