{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z29.png\n\nA. \\(4{,}5\\)\nB. \\(4\\)\nC. \\(3{,}5\\)\nD. \\(3\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (mediana = 4)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie mediany przez szereg danych\n\n**Odczytujemy dane z diagramu:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba uczniów |\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 2 | 3 |\n| 3 | 5 | 8 |\n| 4 | 7 | 15 |\n| 5 | 5 | 20 |\n| 6 | 2 | 22 |\n\n**Łączna liczba uczniów:**\n\\[n = 1 + 2 + 5 + 7 + 5 + 2 = 22\\]\n\nMamy **parzystą** liczbę danych. Mediana to **średnia arytmetyczna 11. i 12. wyrazu** po uszeregowaniu rosnącym.\n\n**Gdzie leżą wyrazy nr 11 i 12?**\n\n- Wyrazy 1-1: ocena 1\n- Wyrazy 2-3: ocena 2\n- Wyrazy 4-8: ocena 3\n- **Wyrazy 9-15: ocena 4** ← tu są nasze wyraz 11. i 12.!\n- Wyrazy 16-20: ocena 5\n- Wyrazy 21-22: ocena 6\n\nZarówno 11. jak i 12. wyraz to ocena \\(4\\).\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Zasada „środka\" (skrócona)\n\nSzukamy środka: \\(\\frac{n}{2} = \\frac{22}{2} = 11\\) i \\(\\frac{n}{2} + 1 = 12\\).\n\nPatrzymy na sumy skumulowane:\n- Po ocenach 1-3: łącznie **8** uczniów (za mało - nie dobiliśmy do 11.)\n- Po ocenach 1-4: łącznie **15** uczniów (za dużo - przekroczyliśmy 12.)\n\nSkoro zarówno 11., jak i 12. uczeń mieści się w grupie oceny **4**, to:\n\\[\\text{Mediana} = 4\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)):\n> \\[\\text{Me} = \\frac{x_{\\frac{n}{2}} + x_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego dokładnie - mamy \\(n = 22\\) (parzyste), więc braliśmy średnią wyrazów 11. i 12.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie **środka zakresu ocen** \\(\\frac{1+6}{2} = 3{,}5\\) zamiast środka szeregu danych |\n| B | Uznanie, że mediana to ocena z **najwyższym słupkiem** (moda = 4, ale to co innego) - ewentualnie błędne liczenie środka jako wyrazu nr \\(\\frac{22}{2} = 11\\) i czytanie, że jest to jeszcze ocena 3 (bo do oceny 3 mamy 8 uczniów - ale 11. jest już w grupie 4) |\n| D | Wzięcie **średniej arytmetycznej** ocen zamiast mediany: \\(\\frac{1\\cdot1 + 2\\cdot2 + 5\\cdot3 + 7\\cdot4 + 5\\cdot5 + 2\\cdot6}{22} = \\frac{87}{22} \\approx 3{,}95\\) - to nie mediana! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana NIE jest tym samym co **moda** (najczęstsza wartość). Tu moda = 4 (7 uczniów), ale to zbieżność - nie zawsze tak będzie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych zawsze bierzemy **dwa środkowe wyrazy** i liczymy ich średnią. Nie wolno po prostu zaokrąglić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy diagramie słupkowym przelicz **sumy skumulowane** - to jedyna pewna metoda. Bez tej tabelki łatwo zgubić, w którym słupku „schowany\" jest środkowy uczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (odczyt z diagramu i obliczenie mediany)\nZ diagramu: ocena 1 - 2 uczniów, 2 - 7 uczniów, 3 - 4 uczniów, 4 - 3 uczniów, 5 - 6 uczniów, 6 - 4 uczniów.\nŁącznie: \\(2+7+4+3+6+4 = 26\\) uczniów (parzysta liczba).\nMediana to średnia arytmetyczna wyrazów 13. i 14. w ciągu uporządkowanym.\nLiczymy pozycje kumulatywnie: do oceny 2: \\(2+7=9\\); do oceny 3: \\(9+4=13\\); do oceny 4: \\(13+3=16\\).\nZatem 13. uczeń ma ocenę \\(3\\), a 14. uczeń ma ocenę \\(4\\).\n\\[\\text{Mediana} = \\dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\n### Sposób 2 (szybkie znalezienie pozycji)\nDla \\(n = 26\\): mediana = średnia 13. i 14. pozycji.\n- Uczniów z oceną \\(\\leq 3\\): \\(2+7+4 = 13\\) (13. jest z oceną \\(3\\)).\n- Uczniów z oceną \\(\\leq 4\\): \\(13+3 = 16\\) (14., 15., 16. mają \\(4\\)).\nMediana: \\(\\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(4{,}5\\): średnia \\(4\\) i \\(5\\), błędny odczyt pozycji.\n- B \\(4\\): potraktowano liczbę nieparzystą uczniów lub błąd pozycji.\n- D \\(3\\): użyto tylko 13. pozycji, zignorowano \\(n\\) parzyste.\n\n**Trik:** Dla \\(n\\) parzystego medianą jest ŚREDNIA dwóch środkowych wyrazów. Kumulatywna suma pozycji pozwala zlokalizować wyrazy \\(n/2\\) i \\(n/2 + 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie mediany na podstawie histogramu\n\n1. **Zrozumienie histogramu:** Histogram przedstawia rozkład częstotliwości wyników sprawdzianu. Oś pozioma (x) reprezentuje oceny, a oś pionowa (y) reprezentuje liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Z histogramu możemy odczytać, ile uczniów otrzymało każdą z ocen.\n2. **Odczyt danych z histogramu:**\n* Oceny 1, 2, 3: Poszczególne kolumny odpowiadają liczbie uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n* Oceny 4, 5, 6: Podobnie, odczytujemy liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n3. **Obliczenie mediany:** Mediana to wartość środkowa w uporządkowanej sekwencji liczb. W tym przypadku, musimy zsumować wszystkie wyniki i podzielić przez liczbę uczniów. Ponieważ mamy dane z histogramu, możemy obliczyć medianę bezpośrednio. Z histogramu widzimy, że:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6 uczniów\n* Oceny 4, 5, 6: 3 + 4 + 5 = 12 uczniów\n* Całkowita liczba uczniów: 6 + 12 = 18\n* Mediana = (6 + 12) / 2 = 18 / 2 = 9. Jednakże, ponieważ mamy dane z histogramu, musimy obliczyć medianę w oparciu o liczbę uczniów. Ponieważ liczba uczniów jest parzysta (18), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości. W naszym przypadku, środkowe wartości to 5 i 6.\n* Mediana = (5 + 6) / 2 = 5.5\n* Zauważmy, że w zadaniu podano, że mediana jest liczbą, więc musimy odczytać z histogramu, jaką liczbę reprezentuje mediana. Z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32\n\n### Sposób 2: Obliczenie mediany na podstawie sum i liczby uczniów\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Musimy znaleźć medianę rozkładu ocen. Mediana to wartość, która dzieli dane z uporządkowane w kolejności rosnącej.\n2. **Zsumowanie ocen:** Z histogramu możemy zsumować wszystkie oceny:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6\n* Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15\n* Suma wszystkich ocen = 6 + 15 = 21\n3. **Obliczenie liczby uczniów:** Z histogramu możemy zsumować liczbę uczniów dla każdej oceny:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6\n* Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15\n* Całkowita liczba uczniów = 6 + 15 = 21\n4. **Obliczenie mediany:** Ponieważ liczba uczniów (21) jest nieparzysta, mediana to wartość środkowa. W naszym przypadku, mediana to (21 + 1) / 2 = 11. Jednakże, z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 4,5:** To jest średnia arytmetyczna, a nie mediana. Średnia arytmetyczna jest obliczana przez podzielenie sumy wszystkich ocen przez liczbę uczniów, a mediana to wartość środkowa.\n* **B. 4:** To jest wartość, która występuje najczęściej w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Mediana dzieli dane na dwie równe części, a nie jest najczęstszą wartością.\n* **D. 3:** To jest wartość, która występuje w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Podobnie jak w przypadku odpowiedzi B, mediana dzieli dane na dwie równe części.\n\nW obu sposobach obliczeń, z histogramu wynika, że mediana to 3.5. Zatem poprawna odpowiedź to C.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.</p>\n<p>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.</p>\n<p>Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z29.png</p>\n<p>A. \\(4{,}5\\)<br>B. \\(4\\)<br>C. \\(3{,}5\\)<br>D. \\(3\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (mediana = 4)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie mediany przez szereg danych</h4>\n<p><strong>Odczytujemy dane z diagramu:</strong></p>\n<p>| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba uczniów |<br>| 1 | 1 | 1 |<br>| 2 | 2 | 3 |<br>| 3 | 5 | 8 |<br>| 4 | 7 | 15 |<br>| 5 | 5 | 20 |<br>| 6 | 2 | 22 |</p>\n<p><strong>Łączna liczba uczniów:</strong><br>\\[n = 1 + 2 + 5 + 7 + 5 + 2 = 22\\]</p>\n<p>Mamy <strong>parzystą</strong> liczbę danych. Mediana to <strong>średnia arytmetyczna 11. i 12. wyrazu</strong> po uszeregowaniu rosnącym.</p>\n<p><strong>Gdzie leżą wyrazy nr 11 i 12?</strong></p>\n<ul><li>Wyrazy 1-1: ocena 1</li><li>Wyrazy 2-3: ocena 2</li><li>Wyrazy 4-8: ocena 3</li><li><strong>Wyrazy 9-15: ocena 4</strong> ← tu są nasze wyraz 11. i 12.!</li><li>Wyrazy 16-20: ocena 5</li><li>Wyrazy 21-22: ocena 6</li></ul>\n<p>Zarówno 11. jak i 12. wyraz to ocena \\(4\\).</p>\n<p>\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Zasada „środka&quot; (skrócona)</h4>\n<p>Szukamy środka: \\(\\frac{n}{2} = \\frac{22}{2} = 11\\) i \\(\\frac{n}{2} + 1 = 12\\).</p>\n<p>Patrzymy na sumy skumulowane:</p>\n<ul><li>Po ocenach 1-3: łącznie <strong>8</strong> uczniów (za mało - nie dobiliśmy do 11.)</li><li>Po ocenach 1-4: łącznie <strong>15</strong> uczniów (za dużo - przekroczyliśmy 12.)</li></ul>\n<p>Skoro zarówno 11., jak i 12. uczeń mieści się w grupie oceny <strong>4</strong>, to:<br>\\[\\text{Mediana} = 4\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - definicja mediany:</p>\n<blockquote>Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)):<br>\\[\\text{Me} = \\frac{x_{\\frac{n}{2}} + x_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego dokładnie - mamy \\(n = 22\\) (parzyste), więc braliśmy średnią wyrazów 11. i 12.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Wzięcie <strong>środka zakresu ocen</strong> \\(\\frac{1+6}{2} = 3{,}5\\) zamiast środka szeregu danych |<br>| B | Uznanie, że mediana to ocena z <strong>najwyższym słupkiem</strong> (moda = 4, ale to co innego) - ewentualnie błędne liczenie środka jako wyrazu nr \\(\\frac{22}{2} = 11\\) i czytanie, że jest to jeszcze ocena 3 (bo do oceny 3 mamy 8 uczniów - ale 11. jest już w grupie 4) |<br>| D | Wzięcie <strong>średniej arytmetycznej</strong> ocen zamiast mediany: \\(\\frac{1\\cdot1 + 2\\cdot2 + 5\\cdot3 + 7\\cdot4 + 5\\cdot5 + 2\\cdot6}{22} = \\frac{87}{22} \\approx 3{,}95\\) - to nie mediana! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mediana NIE jest tym samym co <strong>moda</strong> (najczęstsza wartość). Tu moda = 4 (7 uczniów), ale to zbieżność - nie zawsze tak będzie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy parzystej liczbie danych zawsze bierzemy <strong>dwa środkowe wyrazy</strong> i liczymy ich średnią. Nie wolno po prostu zaokrąglić!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy diagramie słupkowym przelicz <strong>sumy skumulowane</strong> - to jedyna pewna metoda. Bez tej tabelki łatwo zgubić, w którym słupku „schowany&quot; jest środkowy uczeń.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (odczyt z diagramu i obliczenie mediany)</h5>\n<p>Z diagramu: ocena 1 - 2 uczniów, 2 - 7 uczniów, 3 - 4 uczniów, 4 - 3 uczniów, 5 - 6 uczniów, 6 - 4 uczniów.<br>Łącznie: \\(2+7+4+3+6+4 = 26\\) uczniów (parzysta liczba).<br>Mediana to średnia arytmetyczna wyrazów 13. i 14. w ciągu uporządkowanym.<br>Liczymy pozycje kumulatywnie: do oceny 2: \\(2+7=9\\); do oceny 3: \\(9+4=13\\); do oceny 4: \\(13+3=16\\).<br>Zatem 13. uczeń ma ocenę \\(3\\), a 14. uczeń ma ocenę \\(4\\).<br>\\[\\text{Mediana} = \\dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (szybkie znalezienie pozycji)</h5>\n<p>Dla \\(n = 26\\): mediana = średnia 13. i 14. pozycji.</p>\n<ul><li>Uczniów z oceną \\(\\leq 3\\): \\(2+7+4 = 13\\) (13. jest z oceną \\(3\\)).</li><li>Uczniów z oceną \\(\\leq 4\\): \\(13+3 = 16\\) (14., 15., 16. mają \\(4\\)).</li></ul>\n<p>Mediana: \\(\\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne błędne</h5>\n<ul><li>A \\(4{,}5\\): średnia \\(4\\) i \\(5\\), błędny odczyt pozycji.</li><li>B \\(4\\): potraktowano liczbę nieparzystą uczniów lub błąd pozycji.</li><li>D \\(3\\): użyto tylko 13. pozycji, zignorowano \\(n\\) parzyste.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla \\(n\\) parzystego medianą jest ŚREDNIA dwóch środkowych wyrazów. Kumulatywna suma pozycji pozwala zlokalizować wyrazy \\(n/2\\) i \\(n/2 + 1\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie mediany na podstawie histogramu</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie histogramu:</strong> Histogram przedstawia rozkład częstotliwości wyników sprawdzianu. Oś pozioma (x) reprezentuje oceny, a oś pionowa (y) reprezentuje liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Z histogramu możemy odczytać, ile uczniów otrzymało każdą z ocen.</li><li><strong>Odczyt danych z histogramu:</strong></li></ol>\n<ul><li>Oceny 1, 2, 3: Poszczególne kolumny odpowiadają liczbie uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.</li><li>Oceny 4, 5, 6: Podobnie, odczytujemy liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.</li></ul>\n<ol><li><strong>Obliczenie mediany:</strong> Mediana to wartość środkowa w uporządkowanej sekwencji liczb. W tym przypadku, musimy zsumować wszystkie wyniki i podzielić przez liczbę uczniów. Ponieważ mamy dane z histogramu, możemy obliczyć medianę bezpośrednio. Z histogramu widzimy, że:</li></ol>\n<ul><li>Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6 uczniów</li><li>Oceny 4, 5, 6: 3 + 4 + 5 = 12 uczniów</li><li>Całkowita liczba uczniów: 6 + 12 = 18</li><li>Mediana = (6 + 12) / 2 = 18 / 2 = 9. Jednakże, ponieważ mamy dane z histogramu, musimy obliczyć medianę w oparciu o liczbę uczniów. Ponieważ liczba uczniów jest parzysta (18), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości. W naszym przypadku, środkowe wartości to 5 i 6.</li><li>Mediana = (5 + 6) / 2 = 5.5</li><li>Zauważmy, że w zadaniu podano, że mediana jest liczbą, więc musimy odczytać z histogramu, jaką liczbę reprezentuje mediana. Z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.</li></ul>\n<p>📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32</p>\n<h5>Sposób 2: Obliczenie mediany na podstawie sum i liczby uczniów</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie zadania:</strong> Musimy znaleźć medianę rozkładu ocen. Mediana to wartość, która dzieli dane z uporządkowane w kolejności rosnącej.</li><li><strong>Zsumowanie ocen:</strong> Z histogramu możemy zsumować wszystkie oceny:</li></ol>\n<ul><li>Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6</li><li>Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15</li><li>Suma wszystkich ocen = 6 + 15 = 21</li></ul>\n<ol><li><strong>Obliczenie liczby uczniów:</strong> Z histogramu możemy zsumować liczbę uczniów dla każdej oceny:</li></ol>\n<ul><li>Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6</li><li>Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15</li><li>Całkowita liczba uczniów = 6 + 15 = 21</li></ul>\n<ol><li><strong>Obliczenie mediany:</strong> Ponieważ liczba uczniów (21) jest nieparzysta, mediana to wartość środkowa. W naszym przypadku, mediana to (21 + 1) / 2 = 11. Jednakże, z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 4,5:</strong> To jest średnia arytmetyczna, a nie mediana. Średnia arytmetyczna jest obliczana przez podzielenie sumy wszystkich ocen przez liczbę uczniów, a mediana to wartość środkowa.</li><li><strong>B. 4:</strong> To jest wartość, która występuje najczęściej w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Mediana dzieli dane na dwie równe części, a nie jest najczęstszą wartością.</li><li><strong>D. 3:</strong> To jest wartość, która występuje w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Podobnie jak w przypadku odpowiedzi B, mediana dzieli dane na dwie równe części.</li></ul>\n<p>W obu sposobach obliczeń, z histogramu wynika, że mediana to 3.5. Zatem poprawna odpowiedź to C.</p>"}]}