{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\n\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza parzystości i reguła mnożenia\n\n**Kluczowa obserwacja:** Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość (parzysta + parzysta lub nieparzysta + nieparzysta).\n\n**Krok 1. Podziel zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\) na liczby parzyste i nieparzyste.**\n\n\\[\n\\text{Nieparzyste: } \\{5, 7, 9\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ liczby}\n\\]\n\\[\n\\text{Parzyste: } \\{6, 8\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}\n\\]\n\nLosujemy ze zwracaniem, więc każde losowanie jest niezależne i za każdym razem prawdopodobieństwo wynosi odpowiednio:\n\\[\nP(\\text{nieparzysta}) = \\frac{3}{5}, \\qquad P(\\text{parzysta}) = \\frac{2}{5}\n\\]\n\n**Krok 2. Zdarzenie A = suma parzysta = dwa trafienia tej samej parzystości.**\n\nDefiniujemy zdarzenia rozłączne:\n- \\(B\\) - obie liczby nieparzyste\n- \\(C\\) - obie liczby parzyste\n\nPonieważ \\(B\\) i \\(C\\) są rozłączne i wyczerpują zdarzenie \\(A\\):\n\\[P(A) = P(B) + P(C)\\]\n\n**Krok 3. Oblicz \\(P(B)\\) - obie nieparzyste.**\n\nLosowania są niezależne (zwracanie!), więc:\n\\[\nP(B) = P(\\text{niec. za 1 razem}) \\cdot P(\\text{niec. za 2 razem}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\n\\]\n\n**Krok 4. Oblicz \\(P(C)\\) - obie parzyste.**\n\n\\[\nP(C) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\n\\]\n\n**Krok 5. Wynik końcowy.**\n\n\\[\n\\boxed{P(A) = P(B) + P(C) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zliczanie sprzyjających par (przestrzeń zdarzeń elementarnych)\n\n**Krok 1. Wyznacz przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\).**\n\nLosujemy kolejno dwa razy, ze zwracaniem - wynikiem jest para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in K\\). Liczba wszystkich możliwych par:\n\\[\n|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\n\\]\n\n**Krok 2. Policz pary sprzyjające zdarzeniu A (suma parzysta).**\n\n*Para nieparzysta-nieparzysta (N-N):*\nLiczba sprzyjających par = \\(3 \\cdot 3 = 9\\)\n(pierwsza z \\(\\{5,7,9\\}\\), druga z \\(\\{5,7,9\\}\\))\n\n*Para parzysta-parzysta (P-P):*\nLiczba sprzyjających par = \\(2 \\cdot 2 = 4\\)\n(pierwsza z \\(\\{6,8\\}\\), druga z \\(\\{6,8\\}\\))\n\nŁącznie zdarzeń sprzyjających:\n\\[\n|A| = 9 + 4 = 13\n\\]\n\n**Krok 3. Wynik.**\n\n\\[\n\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}}\n\\]\n\nWyniki obu sposobów się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa z definicji.\n\nPrawdopodobieństwo zdarzenia sumy (zdarzenia rozłączne):\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\nUżyte w Sposobie 1 przy sumowaniu \\(P(B) + P(C)\\).\n\nNiezależność zdarzeń - reguła mnożenia (wynika z definicji prawdopodobieństwa warunkowego):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(P(B)\\) i \\(P(C)\\) - losowania ze zwracaniem są niezależne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy **obie są parzyste LUB obie są nieparzyste** - nie wystarczy, że jedna jest parzysta! Częsty błąd to myślenie „parzysta suma wymaga parzystej liczby\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie ze **zwracaniem** oznacza, że przy drugim losowaniu znowu mamy 5 liczb do wyboru. Gdyby było bez zwracania, prawdopodobieństwa by się zmieniły (np. \\(P(\\text{niec. po niec.}) = \\frac{2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki zapisujemy w kolejności losowania - para \\((5, 7)\\) to co innego niż \\((7, 5)\\). Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), a nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\). Gdybyśmy zignorowali kolejność, przestrzeń byłaby inna i trzeba by uważać na wielokrotne liczenie par.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)**\n\n### Sposób 1 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - CKE Sposób I)\n\\(|\\Omega|\\): liczba par uporządkowanych z \\(5\\) elementów ze zwracaniem: \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\).\n\nSuma parzysta, gdy oba losowania dają liczby tej samej parzystości:\n- Parzyste w \\(K\\): \\(6, 8\\) - liczba \\(2\\). Par: \\(2 \\cdot 2 = 4\\).\n- Nieparzyste w \\(K\\): \\(5, 7, 9\\) - liczba \\(3\\). Par: \\(3 \\cdot 3 = 9\\).\nŁącznie: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}\\]\n\n### Sposób 2 (tabela 5×5 - CKE Sposób II)\nTworzymy tabelę par \\((x,y)\\), \\(x, y \\in \\{5,6,7,8,9\\}\\). Zaznaczamy litera \\(A\\) pary, gdzie suma parzysta. Zliczamy: \\(13\\) par sprzyjających. Stąd \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).\n\n### Sposób 3 (drzewo stochastyczne - CKE Sposób III)\nPierwsze losowanie: parzysta z prawdopodobieństwem \\(\\dfrac{2}{5}\\), nieparzysta z \\(\\dfrac{3}{5}\\).\nSuma parzysta: P+P lub N+N.\n\\[P(A) = \\dfrac{2}{5} \\cdot \\dfrac{2}{5} + \\dfrac{3}{5} \\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{4}{25} + \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{13}{25}\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Rozważanie losowania bez zwracania → \\(0\\) pkt.\n- Tylko zapisanie \\(13\\) lub \\(25\\) bez wyjaśnienia → \\(0\\) pkt.\n- Pomylenie liczby parzystych i nieparzystych w \\(K\\) (np. \\(3\\) parzyste) → błąd metody.\n\n**Trik:** Suma dwóch liczb PARZYSTA ⇔ obie tej samej parzystości (P+P lub N+N). Zastosuj regułę mnożenia na każdą grupę i dodaj.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

\n

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)

\n

Sposób 1 - Analiza parzystości i reguła mnożenia

\n

Kluczowa obserwacja: Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość (parzysta + parzysta lub nieparzysta + nieparzysta).

\n

Krok 1. Podziel zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\) na liczby parzyste i nieparzyste.

\n

\\[
\\text{Nieparzyste: } \\{5, 7, 9\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ liczby}
\\]
\\[
\\text{Parzyste: } \\{6, 8\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}
\\]

\n

Losujemy ze zwracaniem, więc każde losowanie jest niezależne i za każdym razem prawdopodobieństwo wynosi odpowiednio:
\\[
P(\\text{nieparzysta}) = \\frac{3}{5}, \\qquad P(\\text{parzysta}) = \\frac{2}{5}
\\]

\n

Krok 2. Zdarzenie A = suma parzysta = dwa trafienia tej samej parzystości.

\n

Definiujemy zdarzenia rozłączne:

\n\n

Ponieważ \\(B\\) i \\(C\\) są rozłączne i wyczerpują zdarzenie \\(A\\):
\\[P(A) = P(B) + P(C)\\]

\n

Krok 3. Oblicz \\(P(B)\\) - obie nieparzyste.

\n

Losowania są niezależne (zwracanie!), więc:
\\[
P(B) = P(\\text{niec. za 1 razem}) \\cdot P(\\text{niec. za 2 razem}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}
\\]

\n

Krok 4. Oblicz \\(P(C)\\) - obie parzyste.

\n

\\[
P(C) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}
\\]

\n

Krok 5. Wynik końcowy.

\n

\\[
\\boxed{P(A) = P(B) + P(C) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}}
\\]

\n

Sposób 2 - Zliczanie sprzyjających par (przestrzeń zdarzeń elementarnych)

\n

Krok 1. Wyznacz przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\).

\n

Losujemy kolejno dwa razy, ze zwracaniem - wynikiem jest para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in K\\). Liczba wszystkich możliwych par:
\\[
|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25
\\]

\n

Krok 2. Policz pary sprzyjające zdarzeniu A (suma parzysta).

\n

Para nieparzysta-nieparzysta (N-N):
Liczba sprzyjających par = \\(3 \\cdot 3 = 9\\)
(pierwsza z \\(\\{5,7,9\\}\\), druga z \\(\\{5,7,9\\}\\))

\n

Para parzysta-parzysta (P-P):
Liczba sprzyjających par = \\(2 \\cdot 2 = 4\\)
(pierwsza z \\(\\{6,8\\}\\), druga z \\(\\{6,8\\}\\))

\n

Łącznie zdarzeń sprzyjających:
\\[
|A| = 9 + 4 = 13
\\]

\n

Krok 3. Wynik.

\n

\\[
\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}}
\\]

\n

Wyniki obu sposobów się zgadzają. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa z definicji.

\n

Prawdopodobieństwo zdarzenia sumy (zdarzenia rozłączne):
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]
Użyte w Sposobie 1 przy sumowaniu \\(P(B) + P(C)\\).

\n

Niezależność zdarzeń - reguła mnożenia (wynika z definicji prawdopodobieństwa warunkowego):
\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]
Użyte przy obliczaniu \\(P(B)\\) i \\(P(C)\\) - losowania ze zwracaniem są niezależne.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste LUB obie są nieparzyste - nie wystarczy, że jedna jest parzysta! Częsty błąd to myślenie „parzysta suma wymaga parzystej liczby".
\n
⚠️ Uwaga: Losowanie ze zwracaniem oznacza, że przy drugim losowaniu znowu mamy 5 liczb do wyboru. Gdyby było bez zwracania, prawdopodobieństwa by się zmieniły (np. \\(P(\\text{niec. po niec.}) = \\frac{2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Wyniki zapisujemy w kolejności losowania - para \\((5, 7)\\) to co innego niż \\((7, 5)\\). Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), a nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\). Gdybyśmy zignorowali kolejność, przestrzeń byłaby inna i trzeba by uważać na wielokrotne liczenie par.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)

\n
Sposób 1 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - CKE Sposób I)
\n

\\(|\\Omega|\\): liczba par uporządkowanych z \\(5\\) elementów ze zwracaniem: \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\).

\n

Suma parzysta, gdy oba losowania dają liczby tej samej parzystości:

\n\n

Łącznie: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).
\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}\\]

\n
Sposób 2 (tabela 5×5 - CKE Sposób II)
\n

Tworzymy tabelę par \\((x,y)\\), \\(x, y \\in \\{5,6,7,8,9\\}\\). Zaznaczamy litera \\(A\\) pary, gdzie suma parzysta. Zliczamy: \\(13\\) par sprzyjających. Stąd \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).

\n
Sposób 3 (drzewo stochastyczne - CKE Sposób III)
\n

Pierwsze losowanie: parzysta z prawdopodobieństwem \\(\\dfrac{2}{5}\\), nieparzysta z \\(\\dfrac{3}{5}\\).
Suma parzysta: P+P lub N+N.
\\[P(A) = \\dfrac{2}{5} \\cdot \\dfrac{2}{5} + \\dfrac{3}{5} \\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{4}{25} + \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{13}{25}\\]

\n
Dlaczego inne podejścia błędne
\n\n

Trik: Suma dwóch liczb PARZYSTA ⇔ obie tej samej parzystości (P+P lub N+N). Zastosuj regułę mnożenia na każdą grupę i dodaj.

"}]}