{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \\(36\\) metrów bieżących siatki.\n\nOblicz wymiary \\(x\\) oraz \\(y\\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z31.png\n\n). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. y y y x wybieg 1. wybieg 2. wybieg 3. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m\n\n## Sposób 1 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)\n\n**Krok 1: Zapisujemy równanie na długość siatki.**\n\nTrzy wybiegi o wymiarach \\(x \\times y\\) ustawione są obok siebie (każdy ma szerokość \\(y\\) i głębokość \\(x\\)). Policzymy, ile odcinków siatki potrzebujemy:\n\n| Fragment ogrodzenia | Ilość | Długość | Razem |\n| Ściany zewnętrzne (lewa i prawa) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |\n| Ściany zewnętrzne (góra i dół) | 2 | \\(3y\\) | \\(6y\\) |\n| Ściany wewnętrzne (między wybiegami) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |\n\n\\[\n4x + 6y = 36\n\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2:\n\n\\[\n2x + 3y = 18\n\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy, co maksymalizujemy.**\n\nŁączna suma pól trzech wybiegów:\n\\[\nS = 3 \\cdot x \\cdot y\n\\]\n\nAby maksymalizować \\(3xy\\), wystarczy maksymalizować \\(xy\\).\n\n**Krok 3: Stosujemy nierówność AM-GM.**\n\nMamy dwa wyrażenia: \\(2x\\) i \\(3y\\), których suma jest stała i wynosi 18. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:\n\n\\[\n\\frac{2x + 3y}{2} \\geq \\sqrt{2x \\cdot 3y}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{18}{2} \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 9 \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 81 \\geq 6xy \\implies xy \\leq \\frac{81}{6} = \\frac{27}{2}\n\\]\n\n**Krok 4: Kiedy zachodzi równość?**\n\nNierówność AM-GM osiąga równość wtedy i tylko wtedy, gdy obie wartości są równe:\n\n\\[\n2x = 3y\n\\]\n\nŁączymy z równaniem wiązania:\n\n\\[\n\\begin{cases} 2x + 3y = 18 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}\n\\]\n\nZ drugiego równania: \\(2x = 3y\\), podstawiamy do pierwszego:\n\n\\[\n3y + 3y = 18 \\implies 6y = 18 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}\n\\]\n\n\\[\n2x = 3 \\cdot 3 = 9 \\implies \\boxed{x = 4{,}5 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Wynik:** Maksymalna suma pól podstaw wynosi:\n\\[\nS_{\\max} = 3 \\cdot 4{,}5 \\cdot 3 = \\mathbf{40{,}5 \\text{ m}^2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna funkcji jednej zmiennej\n\n**Krok 1: Wyrażamy \\(x\\) przez \\(y\\).**\n\nZ równania wiązania \\(2x + 3y = 18\\):\n\\[\nx = \\frac{18 - 3y}{2} = 9 - \\frac{3}{2}y\n\\]\n\nWarunek dziedziny: \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\), co daje \\(0 < y < 6\\).\n\n**Krok 2: Zapisujemy \\(S\\) jako funkcję jednej zmiennej \\(y\\).**\n\n\\[\nS(y) = 3xy = 3 \\cdot \\left(9 - \\frac{3}{2}y\\right) \\cdot y = 3\\left(9y - \\frac{3}{2}y^2\\right) = 27y - \\frac{9}{2}y^2\n\\]\n\n**Krok 3: Liczymy pochodną i przyrównujemy do zera.**\n\n\\[\nS'(y) = 27 - 9y\n\\]\n\n\\[\nS'(y) = 0 \\implies 27 - 9y = 0 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy, że to maksimum.**\n\n\\[\nS''(y) = -9 < 0\n\\]\n\nPochodna drugiego rzędu jest ujemna, więc \\(y = 3\\) daje **maksimum**.\n\n**Krok 5: Obliczamy \\(x\\).**\n\n\\[\nx = 9 - \\frac{3}{2} \\cdot 3 = 9 - \\frac{9}{2} = \\frac{9}{2} = \\boxed{4{,}5 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(4x + 6y = 4 \\cdot 4{,}5 + 6 \\cdot 3 = 18 + 18 = 36\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1 (AM-GM):**\nNierówność AM-GM nie figuruje wprost w karcie CKE jako wzór, ale jest wynikiem własności arytmetyczno-geometrycznych. **Alternatywnie** można ją zastąpić metodą pochodnej - patrz niżej.\n\n**Sposób 2:**\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna wielomianu:\n\\[\n(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\n\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia ekstremum funkcji \\(S(y) = 27y - \\frac{9}{2}y^2\\):\n\\[\nS'(y) = 27 - 9y, \\quad S''(y) = -9\n\\]\n\nWarunek \\(S'(y_0) = 0\\) wyznacza kandydata na ekstremum, a \\(S''(y_0) < 0\\) potwierdza, że jest to maksimum.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to niedoliczenie ścian wewnętrznych! Łatwo zapisać tylko obwód zewnętrzny \\(2x + 6y = 36\\) i pominąć dwie ściany wspólne między wybiegami. To zmienia całe równanie wiązania i daje błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosowaniu AM-GM pamiętaj, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy **oba wyrażenia są sobie równe**, tj. \\(2x = 3y\\) - nie \\(x = y\\)! Sumujemy wyrażenia \\(2x\\) i \\(3y\\), więc to one muszą być równe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić warunków dziedziny (\\(x > 0\\), \\(y > 0\\)) - w tym zadaniu \\(y \\in (0, 6)\\), więc \\(y = 3\\) leży wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym, a nie tylko lokalnym.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m**\n\n### Sposób 1 (funkcja jednej zmiennej - CKE Sposób I)\nZ rysunku: długość siatki = \\(4x + 6y = 36\\) (cztery odcinki pionowe o długości \\(x\\) i sześć poziomych po \\(y\\)).\nStąd: \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3}x\\).\nSuma pól trzech prostokątów: \\(P = 3xy\\).\nPodstawiamy \\(y\\):\n\\[P(x) = 3x\\left(6 - \\dfrac{2}{3}x\\right) = -2x^{2} + 18x\\]\nDziedzina: \\(x \\in (0, 9)\\).\nParabola w dół, wierzchołek:\n\\[p = -\\dfrac{18}{2 \\cdot (-2)} = \\dfrac{18}{4} = 4{,}5 \\in (0, 9)\\]\nWtedy \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 6 - 3 = 3\\).\nMaksimum pola: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m.\n\n### Sposób 2 (twierdzenie o prostokącie maksymalnym - CKE Sposób VI)\nRozpatrzmy duży prostokąt o bokach \\(2x\\) i \\(3y\\). Jego obwód: \\(4x + 6y = 36\\). Ze wszystkich prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat: \\(2x = 3y\\).\nUkład:\n\\[\\begin{cases} 4x + 6y = 36 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}\\]\nZ drugiego równania: \\(y = \\dfrac{2x}{3}\\). Podstawiamy: \\(4x + 4x = 36\\), \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).\n\n### Sposób 3 (pochodna - CKE Sposób V)\n\\(P(x) = -2x^{2} + 18x\\), \\(P'(x) = -4x + 18\\). \\(P'(x) = 0\\) dla \\(x = 4{,}5\\). Zmiana znaku z \\(+\\) na \\(-\\), więc to maksimum.\n\\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Błędna zależność obwodu (np. \\(3x + 4y = 36\\)) → możliwe \\(0\\) pkt, zależnie od konsekwencji.\n- Pomylenie funkcji pola \\(P\\) z sumą boków → \\(0\\) pkt.\n- Rozpatrywanie tylko wartości tabelarycznych bez analizy funkcji → \\(0\\) pkt.\n- Wierzchołek poza dziedziną ale nie uzasadnienie → ograniczenie do \\(2\\) pkt.\n\n**Trik:** Spośród prostokątów o danym obwodzie NAJWIĘKSZE pole ma KWADRAT. Tu traktuj duży prostokąt \\(2x \\times 3y\\) - z obwodem \\(36\\) dostajemy \\(2x = 3y\\), skąd \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \\(36\\) metrów bieżących siatki.

\n

Oblicz wymiary \\(x\\) oraz \\(y\\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

\n

/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z31.png

\n

). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. y y y x wybieg 1. wybieg 2. wybieg 3. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m

\n

Sposób 1 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)

\n

Krok 1: Zapisujemy równanie na długość siatki.

\n

Trzy wybiegi o wymiarach \\(x \\times y\\) ustawione są obok siebie (każdy ma szerokość \\(y\\) i głębokość \\(x\\)). Policzymy, ile odcinków siatki potrzebujemy:

\n

| Fragment ogrodzenia | Ilość | Długość | Razem |
| Ściany zewnętrzne (lewa i prawa) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |
| Ściany zewnętrzne (góra i dół) | 2 | \\(3y\\) | \\(6y\\) |
| Ściany wewnętrzne (między wybiegami) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |

\n

\\[
4x + 6y = 36
\\]

\n

Dzielimy obie strony przez 2:

\n

\\[
2x + 3y = 18
\\]

\n

Krok 2: Zapisujemy, co maksymalizujemy.

\n

Łączna suma pól trzech wybiegów:
\\[
S = 3 \\cdot x \\cdot y
\\]

\n

Aby maksymalizować \\(3xy\\), wystarczy maksymalizować \\(xy\\).

\n

Krok 3: Stosujemy nierówność AM-GM.

\n

Mamy dwa wyrażenia: \\(2x\\) i \\(3y\\), których suma jest stała i wynosi 18. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:

\n

\\[
\\frac{2x + 3y}{2} \\geq \\sqrt{2x \\cdot 3y}
\\]

\n

\\[
\\frac{18}{2} \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 9 \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 81 \\geq 6xy \\implies xy \\leq \\frac{81}{6} = \\frac{27}{2}
\\]

\n

Krok 4: Kiedy zachodzi równość?

\n

Nierówność AM-GM osiąga równość wtedy i tylko wtedy, gdy obie wartości są równe:

\n

\\[
2x = 3y
\\]

\n

Łączymy z równaniem wiązania:

\n

\\[
\\begin{cases} 2x + 3y = 18 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}
\\]

\n

Z drugiego równania: \\(2x = 3y\\), podstawiamy do pierwszego:

\n

\\[
3y + 3y = 18 \\implies 6y = 18 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}
\\]

\n

\\[
2x = 3 \\cdot 3 = 9 \\implies \\boxed{x = 4{,}5 \\text{ m}}
\\]

\n

Wynik: Maksymalna suma pól podstaw wynosi:
\\[
S_{\\max} = 3 \\cdot 4{,}5 \\cdot 3 = \\mathbf{40{,}5 \\text{ m}^2}
\\]

\n

Sposób 2 - Pochodna funkcji jednej zmiennej

\n

Krok 1: Wyrażamy \\(x\\) przez \\(y\\).

\n

Z równania wiązania \\(2x + 3y = 18\\):
\\[
x = \\frac{18 - 3y}{2} = 9 - \\frac{3}{2}y
\\]

\n

Warunek dziedziny: \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\), co daje \\(0 < y < 6\\).

\n

Krok 2: Zapisujemy \\(S\\) jako funkcję jednej zmiennej \\(y\\).

\n

\\[
S(y) = 3xy = 3 \\cdot \\left(9 - \\frac{3}{2}y\\right) \\cdot y = 3\\left(9y - \\frac{3}{2}y^2\\right) = 27y - \\frac{9}{2}y^2
\\]

\n

Krok 3: Liczymy pochodną i przyrównujemy do zera.

\n

\\[
S'(y) = 27 - 9y
\\]

\n

\\[
S'(y) = 0 \\implies 27 - 9y = 0 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}
\\]

\n

Krok 4: Sprawdzamy, że to maksimum.

\n

\\[
S''(y) = -9 < 0
\\]

\n

Pochodna drugiego rzędu jest ujemna, więc \\(y = 3\\) daje maksimum.

\n

Krok 5: Obliczamy \\(x\\).

\n

\\[
x = 9 - \\frac{3}{2} \\cdot 3 = 9 - \\frac{9}{2} = \\frac{9}{2} = \\boxed{4{,}5 \\text{ m}}
\\]

\n

Weryfikacja: \\(4x + 6y = 4 \\cdot 4{,}5 + 6 \\cdot 3 = 18 + 18 = 36\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Sposób 1 (AM-GM):
Nierówność AM-GM nie figuruje wprost w karcie CKE jako wzór, ale jest wynikiem własności arytmetyczno-geometrycznych. Alternatywnie można ją zastąpić metodą pochodnej - patrz niżej.

\n

Sposób 2:

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna wielomianu:
\\[
(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b
\\]
Użyliśmy tego do wyznaczenia ekstremum funkcji \\(S(y) = 27y - \\frac{9}{2}y^2\\):
\\[
S'(y) = 27 - 9y, \\quad S''(y) = -9
\\]

\n

Warunek \\(S'(y_0) = 0\\) wyznacza kandydata na ekstremum, a \\(S''(y_0) < 0\\) potwierdza, że jest to maksimum.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to niedoliczenie ścian wewnętrznych! Łatwo zapisać tylko obwód zewnętrzny \\(2x + 6y = 36\\) i pominąć dwie ściany wspólne między wybiegami. To zmienia całe równanie wiązania i daje błędny wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Przy stosowaniu AM-GM pamiętaj, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy oba wyrażenia są sobie równe, tj. \\(2x = 3y\\) - nie \\(x = y\\)! Sumujemy wyrażenia \\(2x\\) i \\(3y\\), więc to one muszą być równe.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij sprawdzić warunków dziedziny (\\(x > 0\\), \\(y > 0\\)) - w tym zadaniu \\(y \\in (0, 6)\\), więc \\(y = 3\\) leży wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym, a nie tylko lokalnym.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m

\n
Sposób 1 (funkcja jednej zmiennej - CKE Sposób I)
\n

Z rysunku: długość siatki = \\(4x + 6y = 36\\) (cztery odcinki pionowe o długości \\(x\\) i sześć poziomych po \\(y\\)).
Stąd: \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3}x\\).
Suma pól trzech prostokątów: \\(P = 3xy\\).
Podstawiamy \\(y\\):
\\[P(x) = 3x\\left(6 - \\dfrac{2}{3}x\\right) = -2x^{2} + 18x\\]
Dziedzina: \\(x \\in (0, 9)\\).
Parabola w dół, wierzchołek:
\\[p = -\\dfrac{18}{2 \\cdot (-2)} = \\dfrac{18}{4} = 4{,}5 \\in (0, 9)\\]
Wtedy \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 6 - 3 = 3\\).
Maksimum pola: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m.

\n
Sposób 2 (twierdzenie o prostokącie maksymalnym - CKE Sposób VI)
\n

Rozpatrzmy duży prostokąt o bokach \\(2x\\) i \\(3y\\). Jego obwód: \\(4x + 6y = 36\\). Ze wszystkich prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat: \\(2x = 3y\\).
Układ:
\\[\\begin{cases} 4x + 6y = 36 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}\\]
Z drugiego równania: \\(y = \\dfrac{2x}{3}\\). Podstawiamy: \\(4x + 4x = 36\\), \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).

\n
Sposób 3 (pochodna - CKE Sposób V)
\n

\\(P(x) = -2x^{2} + 18x\\), \\(P'(x) = -4x + 18\\). \\(P'(x) = 0\\) dla \\(x = 4{,}5\\). Zmiana znaku z \\(+\\) na \\(-\\), więc to maksimum.
\\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 3\\).

\n
Dlaczego inne podejścia błędne
\n\n

Trik: Spośród prostokątów o danym obwodzie NAJWIĘKSZE pole ma KWADRAT. Tu traktuj duży prostokąt \\(2x \\times 3y\\) - z obwodem \\(36\\) dostajemy \\(2x = 3y\\), skąd \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).

"}]}