{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 - 3𝑥 + 2\n𝑥\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) punkt 𝑃, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji 𝑓.\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.\nOblicz współczynniki 𝒂 oraz 𝒃 w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = x^3-3x+2 / x dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.","answer":"a = 7/2, b = −5","answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.\n2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2 .\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(3𝑥2-3)⋅𝑥-(𝑥3-3𝑥+2)⋅1\n𝑥2\n,\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥+ 2 ⋅(-1\n𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy\npochodną funkcji 𝑦= 𝑥3 -3𝑥+ 2, lub 𝑦= 𝑥, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika 𝑎 oraz 𝑏.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 -3) ⋅𝑥-(𝑥3 -3𝑥+ 2) ⋅1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 -2\n𝑥2\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n𝑓(2) = 7\n2 ∙2 + 𝑏\n2 = 7 + 𝑏\n𝑏= -5\nWspółczynniki w równaniu stycznej są równe: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.","solution":"Odpowiedź: a = 7/2, b = −5\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nGeometryczna interpretacja pochodnej\n\nJeśli prosta $y = ax + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P = (x_0, f(x_0))$, to:\n\n- $a = f'(x_0)$ — współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie styczności\n- styczna przechodzi przez $P$ — czyli $f(x_0) = a \\cdot x_0 + b$\n\nDwa warunki, dwie niewiadome ($a$ i $b$).\n\nOblicz $f(2)$ — drugą współrzędną punktu $P$.\n\n$$f(2) = \\frac{2^3 - 3 \\cdot 2 + 2}{2} = \\frac{8 - 6 + 2}{2} = \\frac{4}{2} = 2$$\n\nCzyli $P = (2, 2)$.\n\nUprość wzór funkcji — dla $x \\neq 0$:\n\n$$f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x} = \\frac{x^3}{x} - \\frac{3x}{x} + \\frac{2}{x} = x^2 - 3 + \\frac{2}{x}$$\n\nTak jest znacznie łatwiej różniczkować (dwa składniki potęgowe + jeden ilorazowy z prostym wzorem) niż brać pochodną pierwotnego ułamka.\n\nOblicz pochodną. Pamiętaj: $\\tfrac{2}{x} = 2x^{-1}$, więc $\\left(\\tfrac{2}{x}\\right)' = -2x^{-2} = -\\tfrac{2}{x^2}$.\n\n$$f'(x) = 2x - 0 - \\frac{2}{x^2} = 2x - \\frac{2}{x^2}$$\n\nWstaw $x = 2$ żeby znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej:\n\n$$a = f'(2) = 2 \\cdot 2 - \\frac{2}{4} = 4 - \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}$$\n\nWyznacz $b$ z warunku przejścia stycznej przez $P = (2, 2)$:\n\n$$2 = \\frac{7}{2} \\cdot 2 + b$$\n\n$$2 = 7 + b \\quad\\Rightarrow\\quad b = -5$$\n\nSposób alternatywny — pochodna ilorazu\n\nMożna policzyć $f'(x)$ od razu ze wzoru na pochodną ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:\n\n$$f'(x) = \\frac{(3x^2 - 3) \\cdot x - (x^3 - 3x + 2) \\cdot 1}{x^2} = \\frac{3x^3 - 3x - x^3 + 3x - 2}{x^2} = \\frac{2x^3 - 2}{x^2}$$\n\nDla $x = 2$: $f'(2) = \\tfrac{16 - 2}{4} = \\tfrac{14}{4} = \\tfrac{7}{2}$ ✓\n\nTa sama odpowiedź, ale o wiele więcej rachunku — i więcej okazji do pomyłki znaku. Uproszczenie wzoru na początku to lepsza droga.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — wyznaczenie pochodnej $f'(x)$ w jakiejkolwiek postaci.\n- 2 pkt — obliczenie $a = f'(2) = \\tfrac{7}{2}$.\n- 3 pkt — dodatkowo obliczenie $b = -5$.\n\nKlucz — równanie stycznej\n\nProcedura uniwersalna dla zadań „styczna w punkcie $P$\":\n\n1. Oblicz $f(x_0)$ — drugą współrzędną punktu styczności.\n2. Oblicz $f'(x_0)$ — to twój $a$.\n3. Podstaw do $f(x_0) = a \\cdot x_0 + b$ i znajdź $b$.\n\nEwentualna postać alternatywna: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ — to równanie stycznej „w postaci punkt-kierunek\", można rozwinąć do postaci kierunkowej.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie uproszczenia f(x) = x² − 3 + 2/x i liczenie pochodnej ilorazu w pierwotnej formie (działa, ale prowadzi do błędów rachunkowych). Drugi błąd: zapomnienie, że styczna przechodzi przez P — i b liczone bez warunku f(P_x) = a · P_x + b.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"pochodna, styczna do wykresu funkcji, funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem
𝑓(𝑥) = 𝑥3 - 3𝑥 + 2
𝑥
dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych
(𝑥, 𝑦) punkt 𝑃, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji 𝑓.
Prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.
Oblicz współczynniki 𝒂 oraz 𝒃 w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
4.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x^3-3x+2 / x dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,
podaje interpretację geometryczną
pochodnej;
XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 7
2 oraz 𝑏= -5.
2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃:
𝑎= 𝑓′(2) = 7
2 .
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =
(3𝑥2-3)⋅𝑥-(𝑥3-3𝑥+2)⋅1
𝑥2
,
𝑓′(𝑥) = 2𝑥+ 2 ⋅(-1
𝑥2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy
pochodną funkcji 𝑦= 𝑥3 -3𝑥+ 2, lub 𝑦= 𝑥, to może otrzymać 1 punkt za całe
rozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika 𝑎 oraz 𝑏.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 -3) ⋅𝑥-(𝑥3 -3𝑥+ 2) ⋅1
𝑥2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 -2
𝑥2
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:
𝑎= 𝑓′(2) = 7
2
Obliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:
𝑓(2) = 7
2 ∙2 + 𝑏
2 = 7 + 𝑏
𝑏= -5
Współczynniki w równaniu stycznej są równe: 𝑎= 7
2 oraz 𝑏= -5.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: a = 7/2, b = −5

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Geometryczna interpretacja pochodnej

\n

Jeśli prosta $y = ax + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P = (x_0, f(x_0))$, to:

\n\n

Dwa warunki, dwie niewiadome ($a$ i $b$).

\n

Oblicz $f(2)$ — drugą współrzędną punktu $P$.

\n

$$f(2) = \\frac{2^3 - 3 \\cdot 2 + 2}{2} = \\frac{8 - 6 + 2}{2} = \\frac{4}{2} = 2$$

\n

Czyli $P = (2, 2)$.

\n

Uprość wzór funkcji — dla $x \\neq 0$:

\n

$$f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x} = \\frac{x^3}{x} - \\frac{3x}{x} + \\frac{2}{x} = x^2 - 3 + \\frac{2}{x}$$

\n

Tak jest znacznie łatwiej różniczkować (dwa składniki potęgowe + jeden ilorazowy z prostym wzorem) niż brać pochodną pierwotnego ułamka.

\n

Oblicz pochodną. Pamiętaj: $\\tfrac{2}{x} = 2x^{-1}$, więc $\\left(\\tfrac{2}{x}\\right)' = -2x^{-2} = -\\tfrac{2}{x^2}$.

\n

$$f'(x) = 2x - 0 - \\frac{2}{x^2} = 2x - \\frac{2}{x^2}$$

\n

Wstaw $x = 2$ żeby znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej:

\n

$$a = f'(2) = 2 \\cdot 2 - \\frac{2}{4} = 4 - \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}$$

\n

Wyznacz $b$ z warunku przejścia stycznej przez $P = (2, 2)$:

\n

$$2 = \\frac{7}{2} \\cdot 2 + b$$

\n

$$2 = 7 + b \\quad\\Rightarrow\\quad b = -5$$

\n

Sposób alternatywny — pochodna ilorazu

\n

Można policzyć $f'(x)$ od razu ze wzoru na pochodną ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:

\n

$$f'(x) = \\frac{(3x^2 - 3) \\cdot x - (x^3 - 3x + 2) \\cdot 1}{x^2} = \\frac{3x^3 - 3x - x^3 + 3x - 2}{x^2} = \\frac{2x^3 - 2}{x^2}$$

\n

Dla $x = 2$: $f'(2) = \\tfrac{16 - 2}{4} = \\tfrac{14}{4} = \\tfrac{7}{2}$ ✓

\n

Ta sama odpowiedź, ale o wiele więcej rachunku — i więcej okazji do pomyłki znaku. Uproszczenie wzoru na początku to lepsza droga.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz — równanie stycznej

\n

Procedura uniwersalna dla zadań „styczna w punkcie $P$":

\n
  1. Oblicz $f(x_0)$ — drugą współrzędną punktu styczności.
  2. Oblicz $f'(x_0)$ — to twój $a$.
  3. Podstaw do $f(x_0) = a \\cdot x_0 + b$ i znajdź $b$.
\n

Ewentualna postać alternatywna: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ — to równanie stycznej „w postaci punkt-kierunek", można rozwinąć do postaci kierunkowej.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie uproszczenia f(x) = x² − 3 + 2/x i liczenie pochodnej ilorazu w pierwotnej formie (działa, ale prowadzi do błędów rachunkowych). Drugi błąd: zapomnienie, że styczna przechodzi przez P — i b liczone bez warunku f(P_x) = a · P_x + b.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a = \\dfrac{7}{2}\\), \\(b = -5\\)

\n

Styczna: \\(y = \\dfrac{7}{2}x - 5\\)

\n

Sposób 1 - uproszczenie funkcji, potem pochodna

\n

Krok 1. Uprość wzór funkcji.

\n

Dzielimy każdy składnik licznika przez \\(x\\):
\\[f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x} = \\frac{x^3}{x} - \\frac{3x}{x} + \\frac{2}{x} = x^2 - 3 + \\frac{2}{x}\\]

\n

Zapisujemy wygodniej:
\\[f(x) = x^2 - 3 + 2x^{-1}\\]

\n

Krok 2. Wyznacz współrzędne punktu P.

\n

Pierwsza współrzędna: \\(x_0 = 2\\). Obliczamy \\(f(2)\\):
\\[f(2) = 2^2 - 3 + \\frac{2}{2} = 4 - 3 + 1 = 2\\]

\n

Punkt \\(P = (2,\\ 2)\\).

\n

Krok 3. Oblicz pochodną \\(f'(x)\\).

\n

\\[f'(x) = \\left(x^2 - 3 + 2x^{-1}\\right)' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \\frac{2}{x^2}\\]

\n

Krok 4. Oblicz nachylenie stycznej w punkcie P.

\n

\\[f'(2) = 2 \\cdot 2 - \\frac{2}{2^2} = 4 - \\frac{2}{4} = 4 - \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Zatem \\(a = \\dfrac{7}{2}\\).

\n

Krok 5. Wyznacz równanie stycznej.

\n

Styczna przechodzi przez \\(P = (2,\\ 2)\\) z nachyleniem \\(a = \\dfrac{7}{2}\\):
\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
\\[y = \\frac{7}{2}(x - 2) + 2 = \\frac{7}{2}x - 7 + 2 = \\frac{7}{2}x - 5\\]

\n

Wynik: \\(a = \\dfrac{7}{2}\\), \\(b = -5\\).

\n

Sposób 2 - iloraz (reguła na pochodną ułamka, bez upraszczania)

\n

Liczymy pochodną bezpośrednio ze wzoru na pochodną ilorazu, nie upraszczając funkcji:

\n

\\[f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x}\\]

\n

Niech \\(u = x^3 - 3x + 2\\), \\(v = x\\). Wtedy \\(u' = 3x^2 - 3\\), \\(v' = 1\\).

\n

\\[f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2} = \\frac{(3x^2 - 3)\\cdot x - (x^3 - 3x + 2)\\cdot 1}{x^2}\\]

\n

Licznik:
\\[(3x^3 - 3x) - (x^3 - 3x + 2) = 3x^3 - 3x - x^3 + 3x - 2 = 2x^3 - 2\\]

\n

Zatem:
\\[f'(x) = \\frac{2x^3 - 2}{x^2}\\]

\n

W punkcie \\(x_0 = 2\\):
\\[f'(2) = \\frac{2 \\cdot 8 - 2}{4} = \\frac{16 - 2}{4} = \\frac{14}{4} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Ten sam wynik co w Sposobie 1. Równanie stycznej identyczne:
\\[y = \\frac{7}{2}x - 5\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)

\n

Użyliśmy dwóch wzorów:

\n
  1. Pochodna potęgi:
\n

\\[\\left(x^r\\right)' = r \\cdot x^{r-1}\\]
Zastosowanie: \\((x^2)' = 2x\\) oraz \\((2x^{-1})' = -2x^{-2}\\) w Sposobie 1.

\n
  1. Reguła na pochodną ilorazu:
\n

\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Zastosowanie w Sposobie 2.

\n
  1. Równanie stycznej do wykresu \\(f\\) w punkcie \\((x_0,\\, f(x_0))\\):
\n

\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
Zastosowanie: podstawiamy \\(x_0 = 2\\), \\(f(2) = 2\\), \\(f'(2) = \\frac{7}{2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wylicz \\(f(2)\\) z uproszczonego wzoru - wiele uczniów zapomina uprościć i liczy \\(\\frac{2^3 - 3 \\cdot 2 + 2}{2}\\) poprawnie, ale potknięcia zdarzają się przy rozwinięciu. Sprawdź: \\(8 - 6 + 2 = 4\\), \\(\\frac{4}{2} = 2\\) ✓
\n
⚠️ Uwaga: Przy pochodnej \\(2x^{-1}\\) łatwo o błąd znaku - pochodna to \\(-2x^{-2}\\), czyli minus. Uczniowie często piszą \\(+2x^{-2}\\). Pamiętaj: \\((x^{-1})' = -1 \\cdot x^{-2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Styczna to nie wykres \\(f\\) - to nowa prosta. Jej równanie to \\(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\), a nie po prostu \\(y = f'(x)\\). Podstawiamy konkretne liczby, nie zostawiamy zmiennych.
\n
Analiza zadania
\n

Styczna w punkcie \\(P=(2,f(2))\\), \\(a=f'(2)\\), \\(b\\) z warunku przechodzenia przez \\(P\\).

\n
Sposób 1 (wzór na pochodną ilorazu)
\n

\\[f'(x)=\\dfrac{(3x^{2}-3)\\cdot x-(x^{3}-3x+2)\\cdot 1}{x^{2}}=\\dfrac{2x^{3}-2}{x^{2}}\\]

\n

Stąd \\(a=f'(2)=\\dfrac{2\\cdot 8-2}{4}=\\dfrac{14}{4}=\\dfrac{7}{2}\\).

\n

Obliczamy \\(f(2)=\\dfrac{8-6+2}{2}=\\dfrac{4}{2}=2\\). Z warunku \\(2=\\dfrac{7}{2}\\cdot 2+b\\Rightarrow b=2-7=-5\\).

\n
Sposób 2 (uproszczenie funkcji)
\n

Można zapisać \\(f(x)=x^{2}-3+\\dfrac{2}{x}\\) i różniczkować każdy składnik: \\[f'(x)=2x-\\dfrac{2}{x^{2}}\\]

\n

\\(f'(2)=4-\\dfrac{2}{4}=4-\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{7}{2}\\) (zgodnie).

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział XIII (R): \\((f/g)'=\\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\\); interpretacja geometryczna pochodnej - współczynnik kierunkowy stycznej \\(a=f'(x_0)\\); równanie stycznej: \\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Uproszczenie \\(f(x)=x^2-3+\\tfrac{2}{x}\\) daje znacznie szybsze rachunki niż stosowanie wzoru na pochodną ilorazu.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = \\dfrac{7}{2}, b = -5$

"}]}