{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że jeżeli 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟒= 𝒂 oraz 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟑= 𝒃, to 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟖𝟎=\n𝟐𝒂 + 𝟏\n𝒂 ⋅ (𝟏 + 𝒃) .\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że jeżeli log_5 4 = a oraz log_4 3 = b, to log_12 80 = 2a+1/a⋅(1+b).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43\nlog54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych\nwyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na\nlogarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi\noraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać\ntezę\nALBO\n- zapisanie jednego równania wymiernego z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 5 w postaci 4\n1\n𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.\nlog12 80 = log4 80\nlog4 12 , log12 80 = log5 80\nlog5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),\n1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)\nALBO\n- zapisanie dwóch spośród liczb 3, 4, 5 jako potęgi, której podstawą jest trzecia\nz nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4\n1\n𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie\nrównania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzór na logarytm iloczynu:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlog12 80 = log4(16 ⋅5)\nlog4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5\nlog4 4 + log4 3 = 2 + log4 5\n1 + log4 3\nKorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy\nlog4 5 = log5 5\nlog5 4 =\n1\nlog5 4 = 1\n𝑎\nZatem\nlog12 80 = 2 + log4 5\n1 + log4 3 =\n2 + 1\n𝑎\n1 + 𝑏=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm\nsumy:\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏) =\n2 ⋅log5 4 + 1\nlog5 4 ⋅(1 + log4 3) =\nlog5(4 ⋅4 ⋅5)\nlog5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12\nKorzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12 = log4 80\nlog4 12 = log12 80\nZatem log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏.\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy\n3𝑥⋅4𝑥= 80\n(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4\n1\n𝑎 ⋅42\n4𝑏𝑥+𝑥= 4\n1\n𝑎+2\nStąd\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2\n𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1\n𝑎\n𝑥=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nZatem log12 80 = 𝑥=\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd\n12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12\n1\n1+𝑏\n.Zatem\n80 = 5 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 +2\n= (12\n1\n1+𝑏\n)\n1\n𝑎 +2\n= 12\n2𝑎+1\n𝑎⋅(1+𝑏)\nczyli log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (najprostszy, przez zamianę podstawy na 4).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nTrzeba pokazać równość $\\log_{12} 80 = \\dfrac{2a + 1}{a(1 + b)}$, gdzie $a = \\log_5 4$, $b = \\log_4 3$.\n\nIdea: sprowadzić $\\log_{12} 80$ do podstawy $4$ (bo wyrażenia $a$ i $b$ łatwo dają się wyrazić w bazie $4$), potem przekształcać dopóki nie wyjdzie żądana postać.\n\nTrzy fakty, na których stoi cały dowód:\n\n- Zamiana podstawy: $\\log_c d = \\dfrac{\\log_e d}{\\log_e c}$ dla dowolnej dozwolonej podstawy $e$\n- Logarytm iloczynu: $\\log_c (de) = \\log_c d + \\log_c e$\n- Logarytm odwrotności: $\\log_c d = \\dfrac{1}{\\log_d c}$ (specjalny przypadek zamiany podstawy)\n\nSposób I — przez bazę 4\n\nSprowadź $\\log_{12} 80$ do bazy 4 (zamiana podstawy):\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_4 80}{\\log_4 12}$$\n\nRozłóż licznik: $80 = 16 \\cdot 5 = 4^2 \\cdot 5$.\n\n$$\\log_4 80 = \\log_4 (4^2 \\cdot 5) = \\log_4 4^2 + \\log_4 5 = 2 + \\log_4 5$$\n\nRozłóż mianownik: $12 = 4 \\cdot 3$.\n\n$$\\log_4 12 = \\log_4 (4 \\cdot 3) = \\log_4 4 + \\log_4 3 = 1 + b$$\n\n(bo $\\log_4 3 = b$ z założenia).\n\nWyraź $\\log_4 5$ przez $a$. Z definicji odwrotności logarytmu:\n\n$$\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}$$\n\nZłóż wszystko.\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{2 + \\log_4 5}{1 + b} = \\frac{2 + \\frac{1}{a}}{1 + b}$$\n\nSprowadź licznik do wspólnego mianownika $a$:\n\n$$2 + \\frac{1}{a} = \\frac{2a + 1}{a}$$\n\nZatem:\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\frac{2a + 1}{a}}{1 + b} = \\frac{2a + 1}{a \\cdot (1 + b)}$$\n\nTo należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — przekształcenie odwrotne (od prawej do lewej)\n\nCzasem łatwiej zacząć od wyrażenia docelowego i pokazać, że redukuje się do $\\log_{12} 80$.\n\n$$\\frac{2a + 1}{a(1 + b)} = \\frac{2 \\log_5 4 + 1}{\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3)}$$\n\nZ wzoru $\\log_c (xy) = \\log_c x + \\log_c y$: $2 \\log_5 4 + 1 = \\log_5 16 + \\log_5 5 = \\log_5(16 \\cdot 5) = \\log_5 80$.\n\nA $\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot (\\log_4 4 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot \\log_4 12$.\n\nZ zamiany podstawy: $\\log_5 4 \\cdot \\log_4 12 = \\log_5 12$.\n\nStąd:\n\n$$\\frac{2a + 1}{a(1+b)} = \\frac{\\log_5 80}{\\log_5 12} = \\log_{12} 80$$\n\n(ostatnia równość znów ze wzoru na zamianę podstawy, w drugą stronę).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zastosowanie wzoru na zamianę podstawy LUB wzoru na logarytm iloczynu (np. $1 + \\log_4 3 = \\log_4(4 \\cdot 3) = \\log_4 12$).\n- 2 pkt — przekształcenie $\\log_{12} 80$ do postaci $\\dfrac{2 + \\log_4 5}{1 + \\log_4 3}$ ALBO wyrażenia $\\dfrac{2a+1}{a(1+b)}$ do postaci, z której prowadzi już bezpośrednio do tezy.\n- 3 pkt — pełne rozumowanie, oba kierunki zamknięte.\n\nKlucz — logarytmy z parametrami\n\nW zadaniach z parametrami $a, b, \\ldots$ jako logarytmami, najszybsza droga to zwykle:\n\n1. Wybierz bazę docelową — tę, w której parametry mają najprostszą formę (tu: baza $4$, bo $a$ wprost staje się $\\tfrac{1}{a}$, a $b$ pojawia się literalnie).\n2. Rozłóż argumenty na czynniki — 12 = 4 · 3, 80 = 16 · 5. Tak żeby pojawiły się znane wartości i potęgi bazy.\n3. Skleciaj wszystko z poznanych elementów — $\\log_4 4 = 1$, $\\log_4 4^2 = 2$, $\\log_4 3 = b$, $\\log_4 5 = \\tfrac{1}{a}$.\n\nPowyższy schemat działa praktycznie zawsze, gdy widzisz „wykaż, że $\\log_x y = \\text{coś z } a, b$\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomieszanie wzoru na zamianę podstawy (log_a b = log_c b / log_c a — uważaj który jest licznikiem, który mianownikiem). Drugi błąd: pomylenie log_5 4 z log_4 5 (są wzajemnie odwrotne, ale to NIE TO SAMO).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"logarytmy, zmiana podstawy","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że jeżeli 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟒= 𝒂 oraz 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟑= 𝒃, to 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟖𝟎=
𝟐𝒂 + 𝟏
𝒂 ⋅ (𝟏 + 𝒃) .
5.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Wykaż, że jeżeli log_5 4 = a oraz log_4 3 = b, to log_12 80 = 2a+1/a⋅(1+b).

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.9) stosuje związek logarytmowania
z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi.
I.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy
logarytmu.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43
log54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych
wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na
logarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi
oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać
tezę
ALBO

\n\n

𝑏𝑥+ 𝑥= 1
𝑎+ 2 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12
1
1+𝑏
(dla sposobu IV).
1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.
log12 80 = log4 80
log4 12 , log12 80 = log5 80
log5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),
1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)
ALBO

\n\n

z nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4
1
𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie
równania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
1+𝑏
(dla sposobu IV).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,
a następnie wzór na logarytm iloczynu:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
log12 80 = log4(16 ⋅5)
log4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5
log4 4 + log4 3 = 2 + log4 5
1 + log4 3
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy
log4 5 = log5 5
log5 4 =
1
log5 4 = 1
𝑎
Zatem
log12 80 = 2 + log4 5
1 + log4 3 =
2 + 1
𝑎
1 + 𝑏=
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏)
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm
sumy:
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏) =
2 ⋅log5 4 + 1
log5 4 ⋅(1 + log4 3) =
log5(4 ⋅4 ⋅5)
log5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =
log5 80
log5 4 ⋅log4 12
Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej
log5 80
log5 4 ⋅log4 12 = log4 80
log4 12 = log12 80
Zatem log12 80 =
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.
Sposób III
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4
1
𝑎 oraz 3 = 4𝑏.
Oznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy
3𝑥⋅4𝑥= 80
(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4
1
𝑎 ⋅42
4𝑏𝑥+𝑥= 4
1
𝑎+2
Stąd
𝑏𝑥+ 𝑥= 1
𝑎+ 2
𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1
𝑎
𝑥=
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏)
Zatem log12 80 = 𝑥=
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.
Sposób IV
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4
1
𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd
12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12
1
1+𝑏
.Zatem
80 = 5 ⋅42 = 4
1
𝑎 ⋅42 = 4
1
𝑎 +2
= (12
1
1+𝑏
)
1
𝑎 +2
= 12
2𝑎+1
𝑎⋅(1+𝑏)
czyli log12 80 =
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (najprostszy, przez zamianę podstawy na 4).

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia

\n

Trzeba pokazać równość $\\log_{12} 80 = \\dfrac{2a + 1}{a(1 + b)}$, gdzie $a = \\log_5 4$, $b = \\log_4 3$.

\n

Idea: sprowadzić $\\log_{12} 80$ do podstawy $4$ (bo wyrażenia $a$ i $b$ łatwo dają się wyrazić w bazie $4$), potem przekształcać dopóki nie wyjdzie żądana postać.

\n

Trzy fakty, na których stoi cały dowód:

\n\n

Sposób I — przez bazę 4

\n

Sprowadź $\\log_{12} 80$ do bazy 4 (zamiana podstawy):

\n

$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_4 80}{\\log_4 12}$$

\n

Rozłóż licznik: $80 = 16 \\cdot 5 = 4^2 \\cdot 5$.

\n

$$\\log_4 80 = \\log_4 (4^2 \\cdot 5) = \\log_4 4^2 + \\log_4 5 = 2 + \\log_4 5$$

\n

Rozłóż mianownik: $12 = 4 \\cdot 3$.

\n

$$\\log_4 12 = \\log_4 (4 \\cdot 3) = \\log_4 4 + \\log_4 3 = 1 + b$$

\n

(bo $\\log_4 3 = b$ z założenia).

\n

Wyraź $\\log_4 5$ przez $a$. Z definicji odwrotności logarytmu:

\n

$$\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}$$

\n

Złóż wszystko.

\n

$$\\log_{12} 80 = \\frac{2 + \\log_4 5}{1 + b} = \\frac{2 + \\frac{1}{a}}{1 + b}$$

\n

Sprowadź licznik do wspólnego mianownika $a$:

\n

$$2 + \\frac{1}{a} = \\frac{2a + 1}{a}$$

\n

Zatem:

\n

$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\frac{2a + 1}{a}}{1 + b} = \\frac{2a + 1}{a \\cdot (1 + b)}$$

\n

To należało udowodnić. $\\blacksquare$

\n

Sposób II — przekształcenie odwrotne (od prawej do lewej)

\n

Czasem łatwiej zacząć od wyrażenia docelowego i pokazać, że redukuje się do $\\log_{12} 80$.

\n

$$\\frac{2a + 1}{a(1 + b)} = \\frac{2 \\log_5 4 + 1}{\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3)}$$

\n

Z wzoru $\\log_c (xy) = \\log_c x + \\log_c y$: $2 \\log_5 4 + 1 = \\log_5 16 + \\log_5 5 = \\log_5(16 \\cdot 5) = \\log_5 80$.

\n

A $\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot (\\log_4 4 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot \\log_4 12$.

\n

Z zamiany podstawy: $\\log_5 4 \\cdot \\log_4 12 = \\log_5 12$.

\n

Stąd:

\n

$$\\frac{2a + 1}{a(1+b)} = \\frac{\\log_5 80}{\\log_5 12} = \\log_{12} 80$$

\n

(ostatnia równość znów ze wzoru na zamianę podstawy, w drugą stronę).

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz — logarytmy z parametrami

\n

W zadaniach z parametrami $a, b, \\ldots$ jako logarytmami, najszybsza droga to zwykle:

\n
  1. Wybierz bazę docelową — tę, w której parametry mają najprostszą formę (tu: baza $4$, bo $a$ wprost staje się $\\tfrac{1}{a}$, a $b$ pojawia się literalnie).
  2. Rozłóż argumenty na czynniki — 12 = 4 · 3, 80 = 16 · 5. Tak żeby pojawiły się znane wartości i potęgi bazy.
  3. Skleciaj wszystko z poznanych elementów — $\\log_4 4 = 1$, $\\log_4 4^2 = 2$, $\\log_4 3 = b$, $\\log_4 5 = \\tfrac{1}{a}$.
\n

Powyższy schemat działa praktycznie zawsze, gdy widzisz „wykaż, że $\\log_x y = \\text{coś z } a, b$".

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomieszanie wzoru na zamianę podstawy (log_a b = log_c b / log_c a — uważaj który jest licznikiem, który mianownikiem). Drugi błąd: pomylenie log_5 4 z log_4 5 (są wzajemnie odwrotne, ale to NIE TO SAMO).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n

Pokazujemy, że przy danych podstawieniach \\(\\log_5 4 = a\\), \\(\\log_4 3 = b\\) zachodzi tożsamość \\(\\log_{12} 80 = \\dfrac{2a+1}{a(1+b)}\\).

\n

Sposób 1 - zamiana podstawy na 4

\n

Kluczowa obserwacja: mamy $\\log_4 3 = b$ wprost, a z $\\log_5 4 = a$ możemy natychmiast wyliczyć $\\log_4 5$ jako odwrotność. Obliczamy $\\log_{12} 80$ przez wspólną podstawę 4.

\n

Krok 1: Wyznacz $\\log_4 5$ z danego $\\log_5 4 = a$.

\n

Korzystamy ze wzoru na odwrotność logarytmu:
\\[\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}\\]

\n

Krok 2: Rozłóż 80 i 12 na czynniki zawierające 4.

\n

\\[80 = 16 \\cdot 5 = 4^2 \\cdot 5\\]
\\[12 = 4 \\cdot 3\\]

\n

Krok 3: Oblicz $\\log_4 80$ i $\\log_4 12$.

\n

\\[\\log_4 80 = \\log_4(4^2 \\cdot 5) = \\log_4 4^2 + \\log_4 5 = 2 + \\frac{1}{a} = \\frac{2a + 1}{a}\\]

\n

\\[\\log_4 12 = \\log_4(4 \\cdot 3) = \\log_4 4 + \\log_4 3 = 1 + b\\]

\n

Krok 4: Zastosuj wzór na zmianę podstawy logarytmu.

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_4 80}{\\log_4 12} = \\frac{\\dfrac{2a+1}{a}}{1+b} = \\frac{2a+1}{a(1+b)}\\]

\n

Co należało wykazać. $\\blacksquare$

\n

Sposób 2 - zamiana podstawy na 5

\n

Wyrażamy wszystko w bazie 5. Jest to naturalne, bo $\\log_5 4 = a$ jest wprost dane.

\n

Krok 1: Wyznacz $\\log_5 2$ i $\\log_5 3$.

\n

Z $\\log_5 4 = a$:
\\[\\log_5 4 = \\log_5 2^2 = 2\\log_5 2 = a \\implies \\log_5 2 = \\frac{a}{2}\\]

\n

Z $\\log_4 3 = b$ i wzoru na zmianę podstawy:
\\[\\log_4 3 = \\frac{\\log_5 3}{\\log_5 4} = \\frac{\\log_5 3}{a} = b \\implies \\log_5 3 = ab\\]

\n

Krok 2: Rozłóż 80 i 12 na czynniki pierwsze.

\n

\\[80 = 2^4 \\cdot 5, \\qquad 12 = 2^2 \\cdot 3\\]

\n

Krok 3: Oblicz $\\log_5 80$ i $\\log_5 12$.

\n

\\[\\log_5 80 = \\log_5(2^4 \\cdot 5) = 4\\log_5 2 + \\log_5 5 = 4 \\cdot \\frac{a}{2} + 1 = 2a + 1\\]

\n

\\[\\log_5 12 = \\log_5(2^2 \\cdot 3) = 2\\log_5 2 + \\log_5 3 = 2 \\cdot \\frac{a}{2} + ab = a + ab = a(1+b)\\]

\n

Krok 4: Zastosuj zmianę podstawy.

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_5 80}{\\log_5 12} = \\frac{2a+1}{a(1+b)}\\]

\n

Co należało wykazać. $\\blacksquare$

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - zmiana podstawy:
\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]
Użyliśmy w obu sposobach do przeliczenia $\\log_{12} 80$ przez wspólną podstawę (4 lub 5).

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - odwrotność logarytmu (specjalny przypadek zmiany podstawy):
\\[\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do przejścia od $\\log_5 4 = a$ do $\\log_4 5 = \\frac{1}{a}$.

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - logarytm iloczynu:
\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Użyliśmy przy rozkładaniu $\\log_4(4^2 \\cdot 5)$, $\\log_5(2^4 \\cdot 5)$ itp.

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - logarytm potęgi:
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Użyliśmy przy $\\log_5 4 = 2\\log_5 2$ i $\\log_5 2^4 = 4\\log_5 2$.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to próba „bezpośredniego" wyliczenia $\\log_{12} 80$ bez wspólnej podstawy - logarytmów o różnych podstawach nie wolno dodawać ani mnożyć wprost. Zawsze sprowadzaj do jednej wspólnej podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy korzystaniu z wzoru $\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}$ łatwo się pomylić co jest podstawą, a co argumentem. Zawsze sprawdź: $\\log_5 4 = a$ oznacza $5^a = 4$, więc $\\log_4 5 = \\frac{1}{a}$, bo $4^{1/a} = 5$.
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniach dowodowych nie wystarczy policzyć wartości liczbowych (np. podstawiając $a \\approx 0{,}861$, $b \\approx 0{,}792$). Musisz przeprowadzić dowód algebraiczny - pokazać tożsamość symbolicznie, krok po kroku, tak jak powyżej.
\n
Analiza zadania
\n

Zadanie dowodowe - przekształcamy \\(\\log_{12}80\\) używając zamiany podstawy logarytmu oraz własności: \\(\\log(xy)=\\log x+\\log y\\).

\n
Sposób 1 (zamiana podstawy + rozkład)
\n

Przekształcamy \\(\\log_{12}80\\) stosując zamianę podstawy na logarytm o podstawie 4: \\[\\log_{12}80=\\dfrac{\\log_{4}80}{\\log_{4}12}=\\dfrac{\\log_{4}(16\\cdot 5)}{\\log_{4}(4\\cdot 3)}=\\dfrac{\\log_{4}16+\\log_{4}5}{\\log_{4}4+\\log_{4}3}=\\dfrac{2+\\log_{4}5}{1+\\log_{4}3}=\\dfrac{2+\\log_{4}5}{1+b}\\]

\n

Obliczamy \\(\\log_{4}5=\\dfrac{\\log_{5}5}{\\log_{5}4}=\\dfrac{1}{a}\\). Zatem \\[\\log_{12}80=\\dfrac{2+\\tfrac{1}{a}}{1+b}=\\dfrac{\\tfrac{2a+1}{a}}{1+b}=\\dfrac{2a+1}{a\\cdot(1+b)}\\]

\n

c.n.d.

\n
Sposób 2 (weryfikacja prawej strony)
\n

Przekształcamy prawą stronę: \\[\\dfrac{2a+1}{a\\cdot(1+b)}=\\dfrac{2\\log_{5}4+1}{\\log_{5}4\\cdot(1+\\log_{4}3)}=\\dfrac{\\log_{5}(4\\cdot 4\\cdot 5)}{\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}(4\\cdot 3)}=\\dfrac{\\log_{5}80}{\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}12}\\]

\n

Stosujemy dwukrotnie zamianę podstawy: \\(\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}12=\\log_{5}12\\), więc otrzymujemy \\(\\dfrac{\\log_{5}80}{\\log_{5}12}=\\log_{12}80\\). c.n.d.

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział I.4: Logarytm - \\(\\log_{a}(xy)=\\log_{a}x+\\log_{a}y\\); zamiana podstawy \\(\\log_{a}b=\\dfrac{\\log_{c}b}{\\log_{c}a}\\); \\(\\log_{a}a^{n}=n\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: \\(80=16\\cdot 5\\) oraz \\(12=4\\cdot 3\\) - rozkłady na czynniki, gdzie jeden z nich jest potęgą podstawy, dramatycznie upraszczają rachunki.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód.

"}]}