{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się\njakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.","answer":"11 040","answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,\nrównież w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania\nelementów.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.\n2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1)\nALBO\n- zapisanie 𝐿2 : (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2),\nALBO\n- zapisanie 𝑃 : 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie 𝑁: 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,\nnp. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+: 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍-: 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.\n1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!, 𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nALBO\n- zapisanie 𝑃 (lub 𝑁), np. 𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+ (lub 𝑍-), np. 𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840,\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,\nALBO\n- zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych\ni dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1),\nALBO\n- zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest\nrówna 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym\nz przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\ntrzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry\nspośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem\n𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!\nNiech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste\ni jedna cyfra parzysta.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną\ncyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku\nciągu ustawić cyfrę 0. Zatem\n𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝐿1 -𝐿2 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! -(5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040\nSposób II\nNiech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są\ntrzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę\nparzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry\nparzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie\nwybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!\nNiech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry\nnieparzyste i dwie cyfry parzyste.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę\nnieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr\nparzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie\nustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! + 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nRozważmy dwa przypadki:\n1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.\nMiejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na\nwybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze\nz pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na\ndrugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840\n2. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy\nwybrać na (5\n2) = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy\nwstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych\ntrzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie\nz pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200\nStąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.","solution":"Odpowiedź: 11 040\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dokładnie liczymy?\n\n- Liczba naturalna (więc bez zer na początku)\n- Cyfry parami różne (każda max raz)\n- Dokładnie 3 cyfry nieparzyste i dokładnie 2 cyfry parzyste\n- Łącznie więc liczba ma 5 cyfr (3 + 2)\n\nDlatego liczba musi być pięciocyfrowa.\n\nCyfry nieparzyste dostępne: $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ — pięć sztuk.\nCyfry parzyste dostępne: $\\{0, 2, 4, 6, 8\\}$ — pięć sztuk.\n\nStrategia — wszystkie minus zero-na-początku\n\nNajprościej:\n\n1. Zliczyć wszystkie 5-cyfrowe ciągi (z 3 nieparzystymi i 2 parzystymi, parami różne) — w tym te zaczynające się od zera (czyli formalnie nie-naturalne).\n2. Odjąć te zaczynające się od zera.\n\nKrok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_1$\n\nWybierz 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych. Kombinacja (bez kolejności, bo dopiero ustawiamy je w cyfrach później):\n\n$$\\binom{5}{3} = 10$$\n\nWybierz 2 cyfry parzyste z 5 dostępnych.\n\n$$\\binom{5}{2} = 10$$\n\nUstaw wybrane 5 cyfr w 5 pozycjach. Permutacja 5-elementowa:\n\n$$5! = 120$$\n\nWymnóż (reguła mnożenia):\n\n$$L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 10 \\cdot 10 \\cdot 120 = 12\\,000$$\n\nKrok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_2$\n\nJeśli pierwsza cyfra to $0$, to:\n\n- $0$ jest jedną z dwóch wybranych cyfr parzystych — pozostaje wybrać jedną spośród pozostałych 4 parzystych ($\\{2, 4, 6, 8\\}$): $\\binom{4}{1} = 4$\n- nieparzyste: jak wcześniej, $\\binom{5}{3} = 10$\n- Mamy ustaloną pierwszą cyfrę ($0$) i 4 inne cyfry na pozostałych 4 pozycjach: permutacja $4!$:\n\n$$L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 10 \\cdot 4 \\cdot 24 = 960$$\n\nKrok 3 — wynik\n\n$$L_1 - L_2 = 12\\,000 - 960 = 11\\,040$$\n\nSposób alternatywny — bez odejmowania\n\nMożna od razu zliczać przypadki, w których pierwsza cyfra nie jest zerem. Dwa rozłączne podprzypadki:\n\nPrzypadek A: pierwsza cyfra parzysta różna od 0 (czyli z $\\{2,4,6,8\\}$):\n\n$$P = 4 \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot \\binom{5}{3} \\cdot 4!$$\n\n(4 wybory pierwszej cyfry; potem 1 z pozostałych 4 parzystych; potem 3 z 5 nieparzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)\n\n$$P = 4 \\cdot 4 \\cdot 10 \\cdot 24 = 3\\,840$$\n\nPrzypadek B: pierwsza cyfra nieparzysta:\n\n$$N = 5 \\cdot \\binom{4}{2} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 4!$$\n\n(5 wyborów pierwszej cyfry nieparzystej; 2 z pozostałych 4 nieparzystych; 2 z 5 parzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)\n\n$$N = 5 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot 24 = 7\\,200$$\n\n$$P + N = 3\\,840 + 7\\,200 = 11\\,040$$ ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 12\\,000$ ALBO $L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 960$ ALBO jednego z przypadków P, N w sposobie alternatywnym.\n- 2 pkt — dodatkowo obliczenie obu $L_1$ i $L_2$ (lub obu P i N).\n- 3 pkt — pełna metoda + wynik $11\\,040$.\n\nKlucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami\n\nPamiętaj o trzech fazach każdego takiego zadania:\n\n1. Wybierz odpowiednią liczbę elementów z każdej puli (kombinacje $\\binom{n}{k}$, bo kolejność wyboru nie ma znaczenia).\n2. Ustaw wybrane elementy (permutacja $k!$ albo wariacja, jeśli rozróżniamy pozycje).\n3. Odejmij przypadki łamiące dodatkowe warunki (np. „zaczynające się od zera\").\n\nAlbo zamiennie — od razu rozbij na rozłączne klasy według trudnego warunku (jak w Sposobie II), żeby nie odejmować nic na końcu.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to pominięcie ograniczenia \"liczba naturalna\" — pierwsza cyfra ≠ 0. Zliczyć trzeba WSZYSTKIE permutacje 5 wybranych cyfr i ODJĄĆ te, które zaczynają się od zera. CKE wprost: jeśli rozpatrujesz liczby inne niż pięciocyfrowe — 0 punktów.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"kombinatoryka, zliczanie z ograniczeniami","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się
jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.
Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.
6.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
XI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,
spełniających określone kryteria,
z wykorzystaniem reguły mnożenia
i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na
liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,
również w przypadkach wymagających
rozważenia złożonego modelu zliczania
elementów.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.
2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5

\n
  1. ⋅(4
\n

1)
ALBO

\n\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5

\n
  1. ⋅(5
\n

2),
ALBO

\n\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych
\n

w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba
ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych
\n

w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,
np. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,
ALBO

\n\n

w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba
ciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,
ALBO

\n\n

w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba
ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.
1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5!, 𝐿2 = (5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4!
\n

ALBO

\n\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4!,
\n

ALBO

\n\n

𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,
ALBO

\n\n

i dwóch cyfr parzystych: (5

\n
  1. ⋅(5
  2. oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5

\n
  1. ⋅(4
\n

1),
ALBO

\n\n

pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest
równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym
z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba
ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
trzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.
Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry
spośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem
𝐿1 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5!
\n

Niech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste
i jedna cyfra parzysta.
Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną
cyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku
ciągu ustawić cyfrę 0. Zatem
𝐿2 = (5

\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4!
\n

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy
cyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest
𝐿1 -𝐿2 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5! -(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040
\n

Sposób II
Niech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są
trzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.
Pierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę
parzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry
parzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie
wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem
𝑃= 4 ⋅(4

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4!
\n

Niech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry
nieparzyste i dwie cyfry parzyste.
Pierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę
nieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr
parzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie
ustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem
𝑁= 5 ⋅(5

\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4!
\n

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy
cyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest
𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4! + 5 ⋅(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040
\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Rozważmy dwa przypadki:

\n
  1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.
\n

Miejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na
wybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze
z pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na
drugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr
nieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.
Zatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa
𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840

\n
  1. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy
\n

wybrać na (5

\n
  1. = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy
\n

wstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych
trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie
z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr
nieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.
Zatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa
𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200
Stąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: 11 040

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co dokładnie liczymy?

\n\n

Dlatego liczba musi być pięciocyfrowa.

\n

Cyfry nieparzyste dostępne: $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ — pięć sztuk.
Cyfry parzyste dostępne: $\\{0, 2, 4, 6, 8\\}$ — pięć sztuk.

\n

Strategia — wszystkie minus zero-na-początku

\n

Najprościej:

\n
  1. Zliczyć wszystkie 5-cyfrowe ciągi (z 3 nieparzystymi i 2 parzystymi, parami różne) — w tym te zaczynające się od zera (czyli formalnie nie-naturalne).
  2. Odjąć te zaczynające się od zera.
\n

Krok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_1$

\n

Wybierz 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych. Kombinacja (bez kolejności, bo dopiero ustawiamy je w cyfrach później):

\n

$$\\binom{5}{3} = 10$$

\n

Wybierz 2 cyfry parzyste z 5 dostępnych.

\n

$$\\binom{5}{2} = 10$$

\n

Ustaw wybrane 5 cyfr w 5 pozycjach. Permutacja 5-elementowa:

\n

$$5! = 120$$

\n

Wymnóż (reguła mnożenia):

\n

$$L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 10 \\cdot 10 \\cdot 120 = 12\\,000$$

\n

Krok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_2$

\n

Jeśli pierwsza cyfra to $0$, to:

\n\n

$$L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 10 \\cdot 4 \\cdot 24 = 960$$

\n

Krok 3 — wynik

\n

$$L_1 - L_2 = 12\\,000 - 960 = 11\\,040$$

\n

Sposób alternatywny — bez odejmowania

\n

Można od razu zliczać przypadki, w których pierwsza cyfra nie jest zerem. Dwa rozłączne podprzypadki:

\n

Przypadek A: pierwsza cyfra parzysta różna od 0 (czyli z $\\{2,4,6,8\\}$):

\n

$$P = 4 \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot \\binom{5}{3} \\cdot 4!$$

\n

(4 wybory pierwszej cyfry; potem 1 z pozostałych 4 parzystych; potem 3 z 5 nieparzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)

\n

$$P = 4 \\cdot 4 \\cdot 10 \\cdot 24 = 3\\,840$$

\n

Przypadek B: pierwsza cyfra nieparzysta:

\n

$$N = 5 \\cdot \\binom{4}{2} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 4!$$

\n

(5 wyborów pierwszej cyfry nieparzystej; 2 z pozostałych 4 nieparzystych; 2 z 5 parzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)

\n

$$N = 5 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot 24 = 7\\,200$$

\n

$$P + N = 3\\,840 + 7\\,200 = 11\\,040$$ ✓

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami

\n

Pamiętaj o trzech fazach każdego takiego zadania:

\n
  1. Wybierz odpowiednią liczbę elementów z każdej puli (kombinacje $\\binom{n}{k}$, bo kolejność wyboru nie ma znaczenia).
  2. Ustaw wybrane elementy (permutacja $k!$ albo wariacja, jeśli rozróżniamy pozycje).
  3. Odejmij przypadki łamiące dodatkowe warunki (np. „zaczynające się od zera").
\n

Albo zamiennie — od razu rozbij na rozłączne klasy według trudnego warunku (jak w Sposobie II), żeby nie odejmować nic na końcu.

\n

Typowy błąd: Najgorszy błąd to pominięcie ograniczenia "liczba naturalna" — pierwsza cyfra ≠ 0. Zliczyć trzeba WSZYSTKIE permutacje 5 wybranych cyfr i ODJĄĆ te, które zaczynają się od zera. CKE wprost: jeśli rozpatrujesz liczby inne niż pięciocyfrowe — 0 punktów.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 11 040

\n

Sposób 1 - podział na przypadki (z zerem i bez zera)

\n

Szukamy 5-cyfrowych liczb (3 nieparzyste + 2 parzyste cyfry) bez powtórzeń. Cyfry nieparzyste to \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\), parzyste to \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\).

\n

Krok 1 - Wybór cyfr nieparzystych.

\n

Spośród 5 cyfr nieparzystych wybieramy 3:
\\[\\binom{5}{3} = 10 \\text{ sposobów}\\]

\n

Krok 2 - Podział na dwa przypadki ze względu na cyfrę 0.

\n

Przypadek A: 0 NIE jest wśród wybranych cyfr parzystych.

\n

Wybieramy 2 cyfry parzyste spośród \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\):
\\[\\binom{4}{2} = 6 \\text{ sposobów}\\]

\n

Wszystkie 5 cyfr jest niezerowe - każde ustawienie jest poprawne:
\\[5! = 120\\]

\n

Liczba liczb w przypadku A:
\\[10 \\cdot 6 \\cdot 120 = 7200\\]

\n

Przypadek B: 0 JEST jedną z wybranych cyfr parzystych.

\n

Wybieramy 0 (z góry ustalone) i 1 cyfrę parzystą spośród \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\):
\\[\\binom{4}{1} = 4 \\text{ sposobów}\\]

\n

Wszystkich ustawień 5 cyfr: \\(5! = 120\\)

\n

Odejmujemy te, gdzie 0 jest pierwszą cyfrą (0 stoi z przodu - reszta 4 cyfr dowolnie):
\\[4! = 24\\]

\n

Poprawne ustawienia w przypadku B:
\\[120 - 24 = 96\\]

\n

Liczba liczb w przypadku B:
\\[10 \\cdot 4 \\cdot 96 = 3840\\]

\n

Krok 3 - Suma.

\n

\\[7200 + 3840 = \\mathbf{11\\,040}\\]

\n

Sposób 2 - wszystkie ustawienia minus te z zerem na początku

\n

Krok 1 - Zlicz wszystkie ustawienia bez ograniczenia na zero.

\n

Wybór cyfr:
\\[\\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} = 10 \\cdot 10 = 100 \\text{ zestawów cyfr}\\]

\n

Ustawień 5 cyfr (bez myślenia o zerze):
\\[5! = 120\\]

\n

Łącznie:
\\[100 \\cdot 120 = 12\\,000\\]

\n

Krok 2 - Odejmij liczby z zerem na pierwszym miejscu.

\n

Warunek: 0 musi być wśród wybranych cyfr parzystych, a stoi na pierwszym miejscu.

\n\n

Liczba "złych" ustawień:
\\[4 \\cdot 10 \\cdot 24 = 960\\]

\n

Krok 3 - Wynik:

\n

\\[12\\,000 - 960 = \\mathbf{11\\,040}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - symbol Newtona (kombinacje):
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy go do wyboru 3 cyfr z 5 nieparzystych i 2 cyfr z 5 parzystych.

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - permutacje:

\n\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Liczby naturalne nie mają wiodącego zera. Zapis „01234" nie jest liczbą 5-cyfrową - to błąd, który zawyża wynik. Zawsze odejmij lub wyklucz ustawienia z 0 na pierwszej pozycji.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfra 0 jest parzysta - jeśli zapomnisz o niej przy wyborze cyfr parzystych, dostajesz \\(\\binom{4}{2} = 6\\) zamiast \\(\\binom{5}{2} = 10\\) i tracisz cały przypadek B.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi „nie powtarza się jakakolwiek cyfra" - to znaczy żadna cyfra nie może wystąpić dwa razy. Zatem dobieramy cyfry bez powtórzeń i ustawiamy je w kolejności (bez powtórzeń), stąd \\(5!\\), a nie np. \\(5^5\\).
\n
Analiza zadania
\n

Rozpatrujemy liczby pięciocyfrowe (3 nieparzyste + 2 parzyste = 5 cyfr) o różnych cyfrach. Problem: zero nie może być na początku. Cyfry nieparzyste: \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (5 cyfr), parzyste: \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) (5 cyfr).

\n
Sposób 1 (z odjęciem przypadków z zerem na początku)
\n

Niech \\(L_1\\) - liczba wszystkich ciągów pięcioelementowych (o różnych cyfrach, 3 nieparzyste, 2 parzyste, z zerem na początku dopuszczonym): \\[L_{1}=\\binom{5}{3}\\cdot\\binom{5}{2}\\cdot 5!=10\\cdot 10\\cdot 120=12000\\]

\n

Niech \\(L_2\\) - takie ciągi zaczynające się od 0 (zero na pierwszej pozycji; wybieramy 3 z 5 nieparzystych + 1 z 4 pozostałych parzystych; ustawiamy w kolejności 4 cyfry): \\[L_{2}=\\binom{5}{3}\\cdot\\binom{4}{1}\\cdot 4!=10\\cdot 4\\cdot 24=960\\]

\n

Szukana liczba: \\(L_1-L_2=12000-960=11\\,040\\).

\n
Sposób 2 (rozdzielenie przypadków)
\n

Przypadek 1: bez zera - 2 parzyste z \\(\\{2,4,6,8\\}\\) (\\(\\binom{4}{2}\\) sposoby), 3 nieparzyste z \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (\\(\\binom{5}{3}\\) sposoby), ustawienie 5!: \\[Z^{-}=\\binom{4}{2}\\cdot\\binom{5}{3}\\cdot 5!=6\\cdot 10\\cdot 120=7200\\]

\n

Przypadek 2: z zerem - zero na 1 z 4 miejsc (nie na początku): \\[Z^{+}=4\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 5\\cdot 4\\cdot 3=3840\\]

\n

Razem: \\(7200+3840=11\\,040\\).

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział XI (R): Kombinacje \\(\\binom{n}{k}=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\); permutacje \\(P_{n}=n!\\); reguła mnożenia.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Metoda "wszystko minus zero na początku" (Sposób 1) jest prostsza i szybsza niż rozbicie na dwa przypadki.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$11\\ 040$

"}]}