{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest\nrówna 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym\nwyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛. Zapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nTrzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oblicz x,y oraz z.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania (dla sposobu I i II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\nALBO\n- poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟):\n𝑟= 3𝑥.\n2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟\nALBO\n- zapisanie układu równań\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105\n1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\nALBO\n- zapisanie równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟),\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).\n2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest\nrosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.\n2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)\njest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie równań 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające\nniewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz\nkonsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟\n2\n⋅6 = 105,\n𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za\nobliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\n𝑥+ 2𝑟= 35\n𝑥= 35 -2𝑟\nZatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\n(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\n352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2\n7𝑟2 -105𝑟= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny\ni rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -\nodpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego\nwzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób II\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nPonieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)\nZatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:\n{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)\nZe związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟\n𝑟2 -3𝑟𝑥= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy\n{3𝑥+ 6𝑟= 105\n𝑟= 3𝑥\nRozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5\n𝑟= 15\nStąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób III\nZ warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego\notrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:\n𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105\n𝑦2 = 𝑥𝑧\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\nRozwiązujemy układ tych trzech równań:\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 80\n𝑦= 20\n𝑥= 5\n∨ {\n𝑧= 35\n𝑦= 35\n𝑥= 35\nDla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób IV\nNiech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\n4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)\n4 = 𝑞\nZ warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej\n𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz\n𝑧= 5 ⋅42 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.","solution":"Odpowiedź: x = 5, y = 20, z = 80 (iloraz q = 4, różnica r = 15)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dane?\n\n- $(x, y, z)$ — trzywyrazowy geometryczny i rosnący\n- $x + y + z = 105$\n- $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_6)$ — pierwszy, drugi i szósty wyraz arytmetycznego $(a_n)$ o różnicy $r$\n\nMamy dwie nieznane wielkości: $x$ i $r$ (z nich już wynikają $y$ i $z$). Potrzebujemy dwóch równań.\n\nSposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego\n\nWyraź $y$ i $z$ przez $x$ i $r$.\n\n$$y = a_2 = a_1 + r = x + r$$\n\n$$z = a_6 = a_1 + 5r = x + 5r$$\n\nPierwsze równanie — z sumy $x + y + z = 105$:\n\n$$x + (x + r) + (x + 5r) = 105$$\n\n$$3x + 6r = 105$$\n\n$$x + 2r = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 35 - 2r$$\n\nDrugie równanie — z własności ciągu geometrycznego ($y^2 = x \\cdot z$):\n\n$$(x + r)^2 = x \\cdot (x + 5r)$$\n\nRozwiń:\n\n$$x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + 5xr$$\n\n$$r^2 = 3xr$$\n\n$$r^2 - 3xr = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad r(r - 3x) = 0$$\n\nRozważ oba przypadki.\n\n- $r = 0$: wtedy $x = y = z$, więc ciąg jest stały, a nie rosnący. Odrzucamy.\n- $r = 3x$: pasuje. Podstawiamy do $x + 2r = 35$:\n\n$$x + 2 \\cdot 3x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad 7x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 5$$\n\nWtedy $r = 15$, $y = 5 + 15 = 20$, $z = 5 + 75 = 80$.\n\nSprawdzenie. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ ✓. Iloraz geometryczny: $\\tfrac{20}{5} = 4$, $\\tfrac{80}{20} = 4$ ✓. Ciąg rosnący: $5 < 20 < 80$ ✓.\n\nSposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego\n\nNiech $q$ — iloraz $(x, y, z)$. Wtedy $y = xq$, $z = xq^2$.\n\nZ różnicy arytmetycznej między 1. a 2. wyrazem oraz między 2. a 6.: $r = y - x$, $z - y = (6-2) \\cdot r = 4r$. Stąd:\n\n$$z - y = 4(y - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq^2 - xq = 4(xq - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq(q - 1) = 4x(q - 1)$$\n\nPonieważ ciąg jest rosnący, $x \\neq 0$ i $q \\neq 1$ (gdyby $q = 1$, mielibyśmy ciąg stały). Możemy podzielić przez $x(q-1)$:\n\n$$q = 4$$\n\nZ $x + y + z = 105$: $x + 4x + 16x = 105 \\Rightarrow 21x = 105 \\Rightarrow x = 5$. Wtedy $y = 20$, $z = 80$. Ten sam wynik, ale o połowę krótsze rachunki.\n\nPunktacja CKE\n\nKlucz daje 4 ścieżki o tej samej strukturze punktów:\n\n- 1 pkt — zapisanie jednego z równań ($x + 2r = 35$ lub $(x+r)^2 = x(x+5r)$, lub w wariancie II — $q^2 - 5q + 4 = 0$, itd.)\n- 2 pkt — zapisanie układu obu równań / wyrażenie wyrazów w zależności od jednej zmiennej\n- 3 pkt — sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą i rozwiązanie ($r = 15$ lub $q = 4$)\n- 4 pkt — pełna metoda + wynik $x = 5$, $y = 20$, $z = 80$ z odrzuceniem przypadku trywialnego.\n\nKlucz uniwersalny\n\nZadania typu „ciąg geometryczny i arytmetyczny jednocześnie\" mają zwykle dwie ścieżki:\n\n1. Przez różnicę $r$ — wyrazy = $x, x+r, x+5r$ (lub inne pozycje); warunek geometryczny $y^2 = xz$ daje równanie kwadratowe.\n2. Przez iloraz $q$ — wyrazy = $x, xq, xq^2$; różnica między pozycjami arytmetycznymi daje równanie liniowe (po podziale przez $x$).\n\nSposób II często jest szybszy, jeśli pozycje arytmetyczne są blisko siebie. Wybierz tę, gdzie pierwszy warunek redukuje się do prostszego równania.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli dzielisz obie strony równania przez wyrażenie z niewiadomą (np. (x+r)² = x(x+5r) sprowadzone do r² = 3rx i podzielone przez r BEZ założenia r ≠ 0) — maksimum 3 pkt. Trzeba osobno rozpatrzyć przypadek r = 0 (i odrzucić go, bo ciąg ma być ROSNĄCY).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciągi arytmetyczne i geometryczne, układ równań, ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest
równa 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym
wyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Oblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛. Zapisz obliczenia.
7.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oblicz x,y oraz z.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do
rozwiązywania zadań […].
Zasady oceniania (dla sposobu I i II)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)
ALBO

\n\n

𝑟= 3𝑥.
2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟
ALBO

\n\n

𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub
𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟
𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟
𝑥 + 𝑟)
2
= 105
1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟
𝑥 + 𝑟)
2
= 105.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla sposobu III)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).
2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.
1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla sposobu IV)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4
ALBO

\n\n

rosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.
2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)
jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO

\n\n

𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.
1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające
\n

niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz
konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟
\n

2
⋅6 = 105,
𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za
obliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.
Ponieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc
𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105
𝑥+ 2𝑟= 35
𝑥= 35 -2𝑟
Zatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑦2 = 𝑥⋅𝑧
(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)
352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2
7𝑟2 -105𝑟= 0
𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15
Dla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.
Dla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny
i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -
odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego
wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.
Zatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
Sposób II
Niech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.
Ponieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc
𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑦2 = 𝑥⋅𝑧
Ponieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)
Zatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:
{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)
Ze związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:
𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟
𝑟2 -3𝑟𝑥= 0
𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥
Dla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.
Dla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy
{3𝑥+ 6𝑟= 105
𝑟= 3𝑥
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5
𝑟= 15
Stąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.
Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.
Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu
arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.
Zatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
Sposób III
Z warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego
otrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:
𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105
𝑦2 = 𝑥𝑧
4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦
Rozwiązujemy układ tych trzech równań:
{
𝑧= 105 -𝑥-𝑦
𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)
4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦
Zasady oceniania rozwiązań zadań
{
𝑧= 105 -𝑥-𝑦
𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)
𝑥= 2𝑦-35
{
𝑧= 140 -3𝑦
𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)
𝑥= 2𝑦-35
{
𝑧= 140 -3𝑦
7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0
𝑥= 2𝑦-35
{
𝑧= 80
𝑦= 20
𝑥= 5
∨ {
𝑧= 35
𝑦= 35
𝑥= 35
Dla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.
Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.
Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu
arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.
Zatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.
Sposób IV
Niech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz
𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy
4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦
4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem
4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞
4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)
4 = 𝑞
Z warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej
𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz
𝑧= 5 ⋅42 = 80.
Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.
Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu
arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.
Zatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: x = 5, y = 20, z = 80 (iloraz q = 4, różnica r = 15)

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co dane?

\n\n

Mamy dwie nieznane wielkości: $x$ i $r$ (z nich już wynikają $y$ i $z$). Potrzebujemy dwóch równań.

\n

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

\n

Wyraź $y$ i $z$ przez $x$ i $r$.

\n

$$y = a_2 = a_1 + r = x + r$$

\n

$$z = a_6 = a_1 + 5r = x + 5r$$

\n

Pierwsze równanie — z sumy $x + y + z = 105$:

\n

$$x + (x + r) + (x + 5r) = 105$$

\n

$$3x + 6r = 105$$

\n

$$x + 2r = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 35 - 2r$$

\n

Drugie równanie — z własności ciągu geometrycznego ($y^2 = x \\cdot z$):

\n

$$(x + r)^2 = x \\cdot (x + 5r)$$

\n

Rozwiń:

\n

$$x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + 5xr$$

\n

$$r^2 = 3xr$$

\n

$$r^2 - 3xr = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad r(r - 3x) = 0$$

\n

Rozważ oba przypadki.

\n\n

$$x + 2 \\cdot 3x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad 7x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 5$$

\n

Wtedy $r = 15$, $y = 5 + 15 = 20$, $z = 5 + 75 = 80$.

\n

Sprawdzenie. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ ✓. Iloraz geometryczny: $\\tfrac{20}{5} = 4$, $\\tfrac{80}{20} = 4$ ✓. Ciąg rosnący: $5 < 20 < 80$ ✓.

\n

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego

\n

Niech $q$ — iloraz $(x, y, z)$. Wtedy $y = xq$, $z = xq^2$.

\n

Z różnicy arytmetycznej między 1. a 2. wyrazem oraz między 2. a 6.: $r = y - x$, $z - y = (6-2) \\cdot r = 4r$. Stąd:

\n

$$z - y = 4(y - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq^2 - xq = 4(xq - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq(q - 1) = 4x(q - 1)$$

\n

Ponieważ ciąg jest rosnący, $x \\neq 0$ i $q \\neq 1$ (gdyby $q = 1$, mielibyśmy ciąg stały). Możemy podzielić przez $x(q-1)$:

\n

$$q = 4$$

\n

Z $x + y + z = 105$: $x + 4x + 16x = 105 \\Rightarrow 21x = 105 \\Rightarrow x = 5$. Wtedy $y = 20$, $z = 80$. Ten sam wynik, ale o połowę krótsze rachunki.

\n

Punktacja CKE

\n

Klucz daje 4 ścieżki o tej samej strukturze punktów:

\n\n

Klucz uniwersalny

\n

Zadania typu „ciąg geometryczny i arytmetyczny jednocześnie" mają zwykle dwie ścieżki:

\n
  1. Przez różnicę $r$ — wyrazy = $x, x+r, x+5r$ (lub inne pozycje); warunek geometryczny $y^2 = xz$ daje równanie kwadratowe.
  2. Przez iloraz $q$ — wyrazy = $x, xq, xq^2$; różnica między pozycjami arytmetycznymi daje równanie liniowe (po podziale przez $x$).
\n

Sposób II często jest szybszy, jeśli pozycje arytmetyczne są blisko siebie. Wybierz tę, gdzie pierwszy warunek redukuje się do prostszego równania.

\n

Typowy błąd: CKE wprost: jeśli dzielisz obie strony równania przez wyrażenie z niewiadomą (np. (x+r)² = x(x+5r) sprowadzone do r² = 3rx i podzielone przez r BEZ założenia r ≠ 0) — maksimum 3 pkt. Trzeba osobno rozpatrzyć przypadek r = 0 (i odrzucić go, bo ciąg ma być ROSNĄCY).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: x = 5, y = 20, z = 80

\n

Sposób 1 - przez iloraz ciągu geometrycznego

\n

Oznaczamy iloraz ciągu geometrycznego jako \\(q\\). Skoro \\((x, y, z)\\) jest geometryczny, mamy:
\\[y = xq, \\quad z = xq^2\\]

\n

Krok 1 - wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego.

\n

\\(x, y, z\\) to odpowiednio 1., 2. i 6. wyraz ciągu arytmetycznego \\((a_n)\\) o różnicy \\(r\\).
Z definicji:
\\[a_1 = x, \\quad a_2 = x + r = y \\implies r = y - x = xq - x = x(q-1)\\]
\\[a_6 = x + 5r = x + 5x(q-1) = x(5q - 4)\\]

\n

Ale \\(a_6 = z = xq^2\\), więc:
\\[xq^2 = x(5q - 4)\\]

\n

Ponieważ ciąg jest rosnący, to \\(x \\neq 0\\). Dzielimy przez \\(x\\):
\\[q^2 = 5q - 4\\]
\\[q^2 - 5q + 4 = 0\\]
\\[(q-1)(q-4) = 0\\]

\n

Stąd \\(q = 1\\) lub \\(q = 4\\).

\n

Krok 2 - wybieramy właściwy iloraz.

\n

Dla \\(q = 1\\): ciąg jest stały, więc nierosnący - odrzucamy.

\n

Zostaje \\(\\mathbf{q = 4}\\).

\n

Krok 3 - wyznaczamy x ze sumy.

\n

\\[x + y + z = x + xq + xq^2 = x(1 + 4 + 16) = 21x = 105\\]
\\[x = 5\\]

\n

Wyniki:
\\[\\mathbf{x = 5, \\quad y = 5 \\cdot 4 = 20, \\quad z = 5 \\cdot 16 = 80}\\]

\n

Sposób 2 - układ równań (algebraicznie)

\n

Krok 1 - przekształcamy warunki zadania w równania.

\n

Z własności ciągu geometrycznego:
\\[y^2 = xz \\quad \\text{(warunek geometryczny)}\\]

\n

Z ciągu arytmetycznego (\\(a_1 = x\\), różnica \\(r = y - x\\)):
\\[a_6 = x + 5(y - x) = 5y - 4x = z\\]

\n

Krok 2 - używamy warunku sumy.

\n

\\[x + y + z = x + y + (5y - 4x) = -3x + 6y = 105\\]
\\[\\implies x = 2y - 35 \\quad (I)\\]

\n

Krok 3 - podstawiamy do warunku geometrycznego.

\n

\\[y^2 = x \\cdot z = (2y-35) \\cdot \\bigl(5y - 4(2y-35)\\bigr) = (2y-35)(-3y+140)\\]
\\[y^2 = -6y^2 + 280y + 105y - 4900\\]
\\[7y^2 - 385y + 4900 = 0\\]
\\[y^2 - 55y + 700 = 0\\]

\n

Krok 4 - liczymy deltę i pierwiastki.

\n

\\[\\Delta = 55^2 - 4 \\cdot 700 = 3025 - 2800 = 225\\]
\\[y_{1,2} = \\frac{55 \\pm \\sqrt{225}}{2} = \\frac{55 \\pm 15}{2}\\]
\\[y_1 = 35, \\quad y_2 = 20\\]

\n

Krok 5 - sprawdzamy oba rozwiązania.

\n

Dla \\(y = 35\\): \\(x = 2 \\cdot 35 - 35 = 35\\), \\(z = 5 \\cdot 35 - 4 \\cdot 35 = 35\\).
Ciąg \\((35, 35, 35)\\) - stały, nierosnący. Odrzucamy.

\n

Dla \\(y = 20\\): \\(x = 2 \\cdot 20 - 35 = 5\\), \\(z = 5 \\cdot 20 - 4 \\cdot 5 = 80\\).
Ciąg \\((5, 20, 80)\\) - rosnący ✓. Akceptujemy.

\n

Wyniki: \\(\\mathbf{x = 5,\\ y = 20,\\ z = 80}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(a_6 = x + 5r\\).

\n

Własność ciągu geometrycznego (środkowy wyraz):
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\implies y^2 = x \\cdot z\\]
To przekształca warunek geometryczny w równanie algebraiczne.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Ciąg ma być rosnący - koniecznie sprawdź oba rozwiązania! Rozwiązanie \\(q = 1\\) (lub \\(y = 35\\)) jest matematycznie poprawne jako ciąg geometryczny, ale ciąg stały nie spełnia warunku rosnącości - to klasyczna pułapka w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x, y, z\\) to nie są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego - to wyraz 1., 2. i 6. Łatwo przez pośpiech wziąć wyraz 3. zamiast 6., co daje błędną wartość \\(z\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 dzielenie \\(xq^2 = x(5q-4)\\) przez \\(x\\) jest dozwolone, bo \\(x = 0\\) oznaczałoby zerowy ciąg geometryczny (niemożliwy). Nie zapomnij jednak tego uzasadnić.
\n
Analiza zadania
\n

Ciąg \\((x,y,z)\\) geometryczny: \\(y^{2}=xz\\). Z ciągu arytmetycznego \\((a_n)\\): \\(x=a_1\\), \\(y=a_2=a_1+r\\), \\(z=a_6=a_1+5r\\). Suma: \\(x+y+z=105\\).

\n
Sposób 1 (przez różnicę r ciągu arytmetycznego)
\n

Mamy \\(y=x+r\\), \\(z=x+5r\\). Z sumy: \\(x+(x+r)+(x+5r)=3x+6r=105\\), stąd \\(x+2r=35\\), czyli \\(x=35-2r\\).

\n

Zatem \\(y=35-r\\), \\(z=35+3r\\). Z własności ciągu geometrycznego: \\[y^{2}=xz\\Rightarrow (35-r)^{2}=(35-2r)(35+3r)\\]

\n

\\[35^{2}-70r+r^{2}=35^{2}+35r-6r^{2}\\Rightarrow 7r^{2}-105r=0\\Rightarrow 7r(r-15)=0\\]

\n

Dla \\(r=0\\) mamy \\(x=y=z\\) - ciąg stały, niezgodny z warunkiem rosnący. Dla \\(r=15\\): \\(x=5\\), \\(y=20\\), \\(z=80\\).

\n
Sposób 2 (przez iloraz q ciągu geometrycznego)
\n

Niech \\(q\\) - iloraz ciągu geometrycznego. Wtedy \\(y=xq\\), \\(z=xq^{2}\\). Z warunku arytmetycznego \\(4(y-x)=z-y\\) (bo \\(a_6-a_2=4r=4(a_2-a_1)\\)): \\[4(xq-x)=xq^{2}-xq\\Rightarrow 4x(q-1)=xq(q-1)\\]

\n

Ponieważ ciąg rosnący \\(\\Rightarrow x\\neq 0\\) i \\(q\\neq 1\\): \\(q=4\\). Z sumy: \\(x+4x+16x=21x=105\\Rightarrow x=5\\), \\(y=20\\), \\(z=80\\).

\n

Sprawdzenie: \\(5+20+80=105\\) ✓, \\(20^{2}=400=5\\cdot 80\\) ✓, ciąg \\((5,20,80)\\) rosnący ✓. Ciąg arytmetyczny \\(a_n=5+15n\\), \\(n\\in\\mathbb{N}_+\\): \\(a_1=20\\)? Nie! \\(a_1=5+15=20\\). Lepiej: \\(a_n=-10+15n\\): \\(a_1=5\\), \\(a_2=20\\), \\(a_6=80\\) ✓.

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział VI: Ciąg arytmetyczny \\(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\); ciąg geometryczny \\(a_{n+1}=a_{n}\\cdot q\\), wzór na środkowy wyraz \\(a_{n}^{2}=a_{n-1}\\cdot a_{n+1}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Sposób 2 z ilorazem \\(q\\) jest znacznie szybszy - dostajemy \\(q=4\\) w dwóch krokach, a stąd \\(x=5\\) bezpośrednio z sumy \\(21x=105\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 5, y = 20, z = 80$

"}]}