{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich,\nże 𝑥≠𝑦, prawdziwa jest nierówność\n(3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci\n𝑐(𝑥-𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐> 0 (np. 3(𝑥-𝑦)2 > 0)\nlub\n𝑐(𝑥-𝑦)2 < 0, gdzie 𝑐< 0 (np. -3(𝑥-𝑦)2 < 0),\nlub\n(𝑐𝑥-𝑐𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐≠0 (np. (√3𝑥-√3𝑦)\n2 > 0)\noraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej\nróżnej od zera jest liczbą dodatnią\nALBO\n- przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥2 + 𝑦2 > 2𝑥𝑦\noraz powołanie się na nierówność 𝑥2 + 𝑦2 ≥2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥≠𝑦\nnierówność jest ostra,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 zmiennej 𝑥 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 przyjmuje wartości dodatnie\ndla 𝑥≠𝑦,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 zmiennej 𝑦 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 przyjmuje wartości dodatnie\ndla 𝑦≠𝑥.\n1 pkt - przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci\n3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥2 + 𝑦2 > 2𝑥𝑦,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 zmiennej 𝑥,\nALBO,\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 zmiennej 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 w sposób równoważny:\n3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci\n3(𝑥-𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠𝑦, więc 3(𝑥-𝑦)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 i otrzymujemy\n3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 > 0\nWyrażenie 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥. Obliczamy\nwyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-6𝑦)2 -4 ⋅3 ∙3𝑦2 = 0\nFunkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 𝑦. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠𝑦.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥\nnierówność 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) > 16𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich,<br>że 𝑥≠𝑦, prawdziwa jest nierówność<br>(3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>30.<br>31.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:</p>\n<ol><li>używa wzorów skróconego mnożenia na</li></ol>\n<p>(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 do postaci<br>𝑐(𝑥-𝑦)2 &gt; 0, gdzie 𝑐&gt; 0 (np. 3(𝑥-𝑦)2 &gt; 0)<br>lub<br>𝑐(𝑥-𝑦)2 &lt; 0, gdzie 𝑐&lt; 0 (np. -3(𝑥-𝑦)2 &lt; 0),<br>lub<br>(𝑐𝑥-𝑐𝑦)2 &gt; 0, gdzie 𝑐≠0 (np. (√3𝑥-√3𝑦)<br>2 &gt; 0)<br>oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej<br>różnej od zera jest liczbą dodatnią<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥2 + 𝑦2 &gt; 2𝑥𝑦</li></ul>\n<p>oraz powołanie się na nierówność 𝑥2 + 𝑦2 ≥2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥≠𝑦<br>nierówność jest ostra,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 zmiennej 𝑥 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 przyjmuje wartości dodatnie<br>dla 𝑥≠𝑦,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 zmiennej 𝑦 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 przyjmuje wartości dodatnie<br>dla 𝑦≠𝑥.<br>1 pkt - przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 do postaci<br>3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 &gt; 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥2 + 𝑦2 &gt; 2𝑥𝑦,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 zmiennej 𝑥,</li></ul>\n<p>ALBO,</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦2 -6𝑥𝑦+ 3𝑥2 zmiennej 𝑦.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 w sposób równoważny:<br>3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 &gt; 0<br>Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci<br>3(𝑥-𝑦)2 &gt; 0<br>Z założenia wiadomo, że 𝑥≠𝑦, więc 3(𝑥-𝑦)2 jest liczbą dodatnią.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)<br>Przekształcamy równoważnie nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 i otrzymujemy<br>3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 &gt; 0<br>Wyrażenie 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥. Obliczamy<br>wyróżnik Δ trójmianu:<br>Δ = (-6𝑦)2 -4 ⋅3 ∙3𝑦2 = 0<br>Funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 𝑦. Ponieważ<br>współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu<br>funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla<br>każdego 𝑥≠𝑦.<br>Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥<br>nierówność 3𝑥2 -6𝑥𝑦+ 3𝑦2 &gt; 0 jest prawdziwa.<br>Zatem nierówność (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) &gt; 16𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby<br>rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥. To należało wykazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}