{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz\ntego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu\njest równa (-165).\nOblicz różnicę tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -2.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz -165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15 ,\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz -165 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 ,\n𝑎3 = -1 oraz -165 = (𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)\n2\n⋅15\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:\n(-1 -2𝑟) + (-1 -𝑟) + (-1) + (-1 + 𝑟) + … + (-1 + 12𝑟) = -165 ,\n2(-1 -2𝑟) + 14𝑟\n2\n⋅15 = -165 ,\n(-1 -2𝑟) + (-1 + 12𝑟)\n2\n⋅15 = -165 ,\nALBO\n- obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) z wykorzystaniem własności ciągu\narytmetycznego: 𝑎8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),\nALBO\n- zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟= -2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy układ równań\n{\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15\nPrzekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy\n{ -1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-11 = 𝑎1 + 7𝑟\nOdejmując stronami równania układu, otrzymujemy\n10 = -5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób II\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = -165\n15𝑎3 + (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) = -165\ngdzie 𝑎3 = -1, a suma piętnastu liczb (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) jest\nrówna\n-2𝑟+ 12𝑟\n2\n⋅15 = 75𝑟\nZatem\n15 ∙(-1) + 75𝑟= -165\n75𝑟= -150\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 = -165\n𝑎1 + 𝑎15 = -22\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = -22\n2𝑎3 + 10𝑟= -22\nStąd i z tego, że 𝑎3 = -1, otrzymujemy\n2 ⋅(-1) + 10𝑟= -22\nZatem\n10𝑟= -20\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób IV\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎8 -7𝑟) + (𝑎8 -6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = -165\n15𝑎8 = -165\n𝑎8 = -165\n15\n= -11\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób V\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:\n𝑎8 = 𝑎7 + 𝑎9\n2\n𝑎8 = 𝑎6 + 𝑎10\n2\n𝑎8 = 𝑎5 + 𝑎11\n2\n𝑎8 = 𝑎4 + 𝑎12\n2\n𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎13\n2\n𝑎8 = 𝑎2 + 𝑎14\n2\n𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\nZatem\n𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15) + (𝑎2 + 𝑎14) + … + (𝑎7 + 𝑎9) + 𝑎8 =\n= 15𝑎8 = -165\nStąd 𝑎8 = -11. Ponieważ\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\nwięc otrzymujemy\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz
tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
jest równa (-165).
Oblicz różnicę tego ciągu.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -2.
1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz -165 = 2𝑎1 + 14𝑟
2
⋅15 ,
-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz -165 = 𝑎1 + 𝑎15
2
⋅15 ,
𝑎3 = -1 oraz -165 = (𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
2
⋅15
ALBO

\n\n

(-1 -2𝑟) + (-1 -𝑟) + (-1) + (-1 + 𝑟) + … + (-1 + 12𝑟) = -165 ,
2(-1 -2𝑟) + 14𝑟
2
⋅15 = -165 ,
(-1 -2𝑟) + (-1 + 12𝑟)
2
⋅15 = -165 ,
ALBO

\n\n

arytmetycznego: 𝑎8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),
ALBO

\n\n

3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
\n

rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟= -2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
  2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
\n

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
{
-1 = 𝑎1 + 2𝑟
-165 = 2𝑎1 + 14𝑟
2
⋅15
Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
{ -1 = 𝑎1 + 2𝑟
-11 = 𝑎1 + 7𝑟
Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
10 = -5𝑟
𝑟= -2
Różnica ciągu jest równa (-2).
Sposób II
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165
(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = -165
15𝑎3 + (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) = -165
gdzie 𝑎3 = -1, a suma piętnastu liczb (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) jest
równa
-2𝑟+ 12𝑟
2
⋅15 = 75𝑟
Zatem
15 ∙(-1) + 75𝑟= -165
75𝑟= -150
𝑟= -2
Różnica ciągu jest równa (-2).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),
zatem
𝑎1 + 𝑎15
2
⋅15 = -165
𝑎1 + 𝑎15 = -22
(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = -22
2𝑎3 + 10𝑟= -22
Stąd i z tego, że 𝑎3 = -1, otrzymujemy
2 ⋅(-1) + 10𝑟= -22
Zatem
10𝑟= -20
𝑟= -2
Różnica ciągu jest równa (-2).
Sposób IV
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165
(𝑎8 -7𝑟) + (𝑎8 -6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = -165
15𝑎8 = -165
𝑎8 = -165
15
= -11
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
-11 = -1 + 5𝑟
𝑟= -2
Różnica ciągu jest równa (-2).
Sposób V
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
𝑎8 = 𝑎7 + 𝑎9
2
𝑎8 = 𝑎6 + 𝑎10
2
𝑎8 = 𝑎5 + 𝑎11
2
𝑎8 = 𝑎4 + 𝑎12
2
𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎13
2
𝑎8 = 𝑎2 + 𝑎14
2
𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎15
2
Zatem
𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15) + (𝑎2 + 𝑎14) + … + (𝑎7 + 𝑎9) + 𝑎8 =
= 15𝑎8 = -165
Stąd 𝑎8 = -11. Ponieważ
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
więc otrzymujemy
-11 = -1 + 5𝑟
𝑟= -2
Różnica ciągu jest równa (-2).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}