{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nDany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶\noraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają się w punkcie 𝑃= (6, 7).\nOblicz długość boku 𝐵𝐶 tego równoległoboku.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √52.\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (14, 8)\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (2, 12),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4) oraz zapisanie równości\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,\nALBO\n- zapisanie równości 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ oraz obliczenie współrzędnych wektorów\n𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = [-8, -1] oraz 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [12, -4],\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa\nkąta (180° -𝛼), gdzie 𝛼= |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz\n|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼= -\n27\n√65⋅√41\n, oraz cos(180° -𝛼) =\n27\n√65⋅√41 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość\nodcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej\npunktacji).\n2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych\npunktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶, korzystając z przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n-2 + 𝑥𝑐\n2\n= 6 oraz 6 + 𝑦𝑐\n2\n= 7\nZatem 𝐶= (14, 8).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = √(14 -10)2 + (8 -2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób II\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n10 + 𝑥𝑑\n2\n= 6 oraz 2 + 𝑦𝑑\n2\n= 7\nZatem 𝐷= (2, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 -6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób III\nObliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵:\n𝑆= (-2 + 10\n2\n, 6 + 2\n2\n)\n𝑆= (4, 4)\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 -6)2 + (4 -7)2 = 2√4 + 9 = 2√13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶<br>oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają się w punkcie 𝑃= (6, 7).<br>Oblicz długość boku 𝐵𝐶 tego równoległoboku.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √52.<br>1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (14, 8)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (2, 12),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4) oraz zapisanie równości</li></ul>\n<p>|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ oraz obliczenie współrzędnych wektorów</li></ul>\n<p>𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = [-8, -1] oraz 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [12, -4],<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa</li></ul>\n<p>kąta (180° -𝛼), gdzie 𝛼= |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz<br>|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼= -<br>27<br>√65⋅√41<br>, oraz cos(180° -𝛼) =<br>27<br>√65⋅√41 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie</li></ol>\n<p>współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość<br>odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej<br>punktacji).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie</li></ol>\n<p>współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych<br>punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶, korzystając z przybliżonych wartości funkcji</li></ol>\n<p>trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka<br>otrzymujemy<br>-2 + 𝑥𝑐<br>2<br>= 6 oraz 6 + 𝑦𝑐<br>2<br>= 7<br>Zatem 𝐶= (14, 8).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = √(14 -10)2 + (8 -2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13<br>Sposób II<br>Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka<br>otrzymujemy<br>10 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 6 oraz 2 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 7<br>Zatem 𝐷= (2, 12).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 -6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13<br>Sposób III<br>Obliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑆= (-2 + 10<br>2<br>, 6 + 2<br>2<br>)<br>𝑆= (4, 4)<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 -6)2 + (4 -7)2 = 2√4 + 9 = 2√13<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}