{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości\nkrawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1\n4.\nPrzekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 𝛼\n(zobacz rysunek).\nOblicz cosinus kąta 𝛼 oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n𝛼\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n36.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego […].\n9.2) rozpoznaje w graniastosłupach kąt\nmiędzy odcinkami i płaszczyznami […].\nZasady oceniania\nCzęść I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼)\n2 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝛼: cos 𝛼= 1\n3 .\n1 pkt - zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2\nALBO\n- obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny\npodstawy: tg 𝛼= 4\n√2 ,\nALBO\n- obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼, popełniając błąd, który nie jest rachunkowy\n(np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa 𝑎√3\n2 ), to otrzymuje za tę część rozwiązania\n0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.\nCzęść II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa)\n3 pkt - obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 162.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻, np.:\n𝑎2 ⋅4𝑎= 108, (1\n4 𝐻)\n2\n⋅𝐻= 108\nALBO\n- obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego\n(gdzie 𝑘≠1).\n1 pkt - zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.:\n𝐻= 4𝑎, 𝑎2 ∙𝐻= 108\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do\nrozpatrywanego w skali 𝑘≠1\n(np. przyjmując 𝑎= 1, 𝐻= 4 i wtedy 𝑉= 4 oraz 𝑃𝑐= 18),\nALBO\n- zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do\nniego podobnego, np. 108 = 12 ⋅4 ⋅ 𝑘3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy (𝑎> 0),\n𝐻 - wysokość graniastosłupa (𝐻> 0).\nStosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1\n4 . Zatem\n𝐻= 4𝑎. Objętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:\n𝑎2 ∙4𝑎= 108\n4𝑎3 = 108\n𝑎3 = 27\n𝑎= 3\nNastępnie obliczamy wysokość graniastosłupa, pole powierzchni całkowitej oraz przekątną\npodstawy:\n𝐻= 4 ∙3 = 12\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎𝐻= 2 ⋅32 + 4 ⋅3 ⋅12 = 18 + 144 = 162\n𝑎√2 = 3√2\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑 przekątnej graniastosłupa:\n𝑑2 = 122 + (3√2)\n2, gdzie 𝑑> 0\n𝑑2 = 162\n𝑑= √162 = 9√2\nObliczamy cos 𝛼:\ncos 𝛼= 𝑎√2\n𝑑\n= 3√2\n9√2\n= 1\n3\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy (𝑎> 0),\n𝐻 - wysokość graniastosłupa (𝐻> 0).\nStosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1\n4 . Zatem\n𝐻= 4𝑎. Przekątna podstawy ma długość 𝑎√2, stąd otrzymujemy:\ntg 𝛼= 4𝑎\n𝑎√2\n= 2√2\nZatem sin𝛼\ncos𝛼= 2√2. Stąd sin 𝛼= 2√2 ⋅cos 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, otrzymujemy\n(2√2 ⋅cos 𝛼)\n2 + cos2 𝛼= 1\n8 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\n9 cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 1\n9\nStąd cos 𝛼= 1\n3 , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.\nObjętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:\n𝑎2 ∙4𝑎= 108\n4𝑎3 = 108\n𝑎3 = 27\n𝑎= 3\nNastępnie obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎𝐻= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎⋅4𝑎= 18 ⋅𝑎2 = 18 ⋅32 = 162\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nRozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny 𝐺1 o wysokości 4 i krawędzi podstawy\ndługości 1. Graniastosłup 𝐺1 jest podobny do danego graniastosłupa, zatem przekątna\ngraniastosłupa 𝐺1 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego miara jest\nrówna mierze kąta 𝛼.\nPrzekątna podstawy graniastosłupa 𝐺1 ma długość √2.\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑1 przekątnej graniastosłupa 𝐺1:\n𝑑1\n2 = 42 + (√2)\n2, gdzie 𝑑1 > 0\n𝑑1\n2 = 18\n𝑑1 = √18 = 3√2\nObliczamy cos 𝛼:\ncos 𝛼= √2\n3√2\n= 1\n3\nObjętość 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 jest równa\n𝑉1 = 12 ⋅4 = 4\nPole 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 jest równe\n𝑃𝑐1 = 2 ⋅12 + 4 ⋅1 ⋅4 = 18\nStosunek objętości 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 do objętości 𝑉 danego graniastosłupa jest\nrówny sześcianowi skali podobieństwa. Zatem\n𝑘3 = 𝑉1\n𝑉=\n4\n108 = 1\n27\nStąd 𝑘= 1\n3 .\nStosunek pola 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 do pola 𝑃𝑐 powierzchni\ncałkowitej danego graniastosłupa jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Zatem\n𝑃𝑐1\n𝑃𝑐\n= 𝑘2\n18\n𝑃𝑐\n= 1\n9\n𝑃𝑐= 18 ⋅9 = 162\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 -3𝑥-4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥2 -4 ≤0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈4, -1〉, to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) do postaci 3𝑥2 + 9𝑥𝑦+ 𝑥𝑦+ 3𝑦2.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest\nróżnica ciągu arytmetycznego, np.: -1 = 𝑎1 + 2𝑟, -165 =\n2𝑎1+14𝑟\n2\n⋅15 .\nZadanie 34.\n1 pkt - poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶\nALBO\n- poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4).\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 12\n25), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\n1 pkt - zapisanie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa podobnego do\nrozpatrywanego (np. 𝑎= 1, 𝐻= 4).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości<br>krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1<br>4.<br>Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 𝛼<br>(zobacz rysunek).<br>Oblicz cosinus kąta 𝛼 oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.<br>𝛼</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>36.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza pole powierzchni i objętość<br>graniastosłupa prostego […].<br>9.2) rozpoznaje w graniastosłupach kąt<br>między odcinkami i płaszczyznami […].<br>Zasady oceniania<br>Część I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼)<br>2 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝛼: cos 𝛼= 1<br>3 .<br>1 pkt - zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny</li></ul>\n<p>podstawy: tg 𝛼= 4<br>√2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼, popełniając błąd, który nie jest rachunkowy<br>(np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa 𝑎√3<br>2 ), to otrzymuje za tę część rozwiązania<br>0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.<br>Część II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa)<br>3 pkt - obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 162.<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻, np.:<br>𝑎2 ⋅4𝑎= 108, (1<br>4 𝐻)<br>2<br>⋅𝐻= 108<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego</li></ul>\n<p>(gdzie 𝑘≠1).<br>1 pkt - zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.:<br>𝐻= 4𝑎, 𝑎2 ∙𝐻= 108<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do</li></ul>\n<p>rozpatrywanego w skali 𝑘≠1<br>(np. przyjmując 𝑎= 1, 𝐻= 4 i wtedy 𝑉= 4 oraz 𝑃𝑐= 18),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do</li></ul>\n<p>niego podobnego, np. 108 = 12 ⋅4 ⋅ 𝑘3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy (𝑎&gt; 0),<br>𝐻 - wysokość graniastosłupa (𝐻&gt; 0).<br>Stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1<br>4 . Zatem<br>𝐻= 4𝑎. Objętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:<br>𝑎2 ∙4𝑎= 108<br>4𝑎3 = 108<br>𝑎3 = 27<br>𝑎= 3<br>Następnie obliczamy wysokość graniastosłupa, pole powierzchni całkowitej oraz przekątną<br>podstawy:<br>𝐻= 4 ∙3 = 12<br>𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎𝐻= 2 ⋅32 + 4 ⋅3 ⋅12 = 18 + 144 = 162<br>𝑎√2 = 3√2<br>Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑 przekątnej graniastosłupa:<br>𝑑2 = 122 + (3√2)<br>2, gdzie 𝑑&gt; 0<br>𝑑2 = 162<br>𝑑= √162 = 9√2<br>Obliczamy cos 𝛼:<br>cos 𝛼= 𝑎√2<br>𝑑<br>= 3√2<br>9√2<br>= 1<br>3<br>Sposób II<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy (𝑎&gt; 0),<br>𝐻 - wysokość graniastosłupa (𝐻&gt; 0).<br>Stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1<br>4 . Zatem<br>𝐻= 4𝑎. Przekątna podstawy ma długość 𝑎√2, stąd otrzymujemy:<br>tg 𝛼= 4𝑎<br>𝑎√2<br>= 2√2<br>Zatem sin𝛼<br>cos𝛼= 2√2. Stąd sin 𝛼= 2√2 ⋅cos 𝛼.<br>Wykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, otrzymujemy<br>(2√2 ⋅cos 𝛼)<br>2 + cos2 𝛼= 1<br>8 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1<br>9 cos2 𝛼= 1<br>cos2 𝛼= 1<br>9<br>Stąd cos 𝛼= 1<br>3 , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.<br>Objętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:<br>𝑎2 ∙4𝑎= 108<br>4𝑎3 = 108<br>𝑎3 = 27<br>𝑎= 3<br>Następnie obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:<br>𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎𝐻= 2 ⋅𝑎2 + 4 ⋅𝑎⋅4𝑎= 18 ⋅𝑎2 = 18 ⋅32 = 162<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny 𝐺1 o wysokości 4 i krawędzi podstawy<br>długości 1. Graniastosłup 𝐺1 jest podobny do danego graniastosłupa, zatem przekątna<br>graniastosłupa 𝐺1 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego miara jest<br>równa mierze kąta 𝛼.<br>Przekątna podstawy graniastosłupa 𝐺1 ma długość √2.<br>Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑1 przekątnej graniastosłupa 𝐺1:<br>𝑑1<br>2 = 42 + (√2)<br>2, gdzie 𝑑1 &gt; 0<br>𝑑1<br>2 = 18<br>𝑑1 = √18 = 3√2<br>Obliczamy cos 𝛼:<br>cos 𝛼= √2<br>3√2<br>= 1<br>3<br>Objętość 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 jest równa<br>𝑉1 = 12 ⋅4 = 4<br>Pole 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 jest równe<br>𝑃𝑐1 = 2 ⋅12 + 4 ⋅1 ⋅4 = 18<br>Stosunek objętości 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 do objętości 𝑉 danego graniastosłupa jest<br>równy sześcianowi skali podobieństwa. Zatem<br>𝑘3 = 𝑉1<br>𝑉=<br>4<br>108 = 1<br>27<br>Stąd 𝑘= 1<br>3 .<br>Stosunek pola 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 do pola 𝑃𝑐 powierzchni<br>całkowitej danego graniastosłupa jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Zatem<br>𝑃𝑐1<br>𝑃𝑐<br>= 𝑘2<br>18<br>𝑃𝑐<br>= 1<br>9<br>𝑃𝑐= 18 ⋅9 = 162<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin główny 2024.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 30.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>𝑥2 -3𝑥-4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥2 -4 ≤0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych</li></ul>\n<p>zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈4, -1〉, to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li></ol>\n<p>Zadanie 31.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 3𝑦) do postaci 3𝑥2 + 9𝑥𝑦+ 𝑥𝑦+ 3𝑦2.<br>Zadanie 32.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 33.<br>1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest<br>różnica ciągu arytmetycznego, np.: -1 = 𝑎1 + 2𝑟, -165 =<br>2𝑎1+14𝑟<br>2<br>⋅15 .<br>Zadanie 34.<br>1 pkt - poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4).</li></ul>\n<p>Zadanie 35.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.</li></ol>\n<p>ze standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 12<br>25), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 36.<br>1 pkt - zapisanie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa podobnego do<br>rozpatrywanego (np. 𝑎= 1, 𝐻= 4).</p>","solutions":[]}