{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest\nrówna 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym\nwyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania (dla sposobu I i II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\nALBO\n- poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟):\n𝑟= 3𝑥.\n2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟\nALBO\n- zapisanie układu równań\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105\n1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\nALBO\n- zapisanie równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟),\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).\n2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest\nrosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.\n2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)\njest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równań 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające\nniewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz\nkonsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟\n2\n⋅6 = 105,\n𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za\nobliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\n𝑥+ 2𝑟= 35\n𝑥= 35 -2𝑟\nZatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\n(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\n352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2\n7𝑟2 -105𝑟= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny\ni rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -\nodpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego\nwzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nPonieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)\nZatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:\n{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)\nZe związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟\n𝑟2 -3𝑟𝑥= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy\n{3𝑥+ 6𝑟= 105\n𝑟= 3𝑥\nRozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5\n𝑟= 15\nStąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób III\nZ warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego\notrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:\n𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105\n𝑦2 = 𝑥𝑧\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\nRozwiązujemy układ tych trzech równań:\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 80\n𝑦= 20\n𝑥= 5\n∨ {\n𝑧= 35\n𝑦= 35\n𝑥= 35\nDla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób IV\nNiech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\n4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)\n4 = 𝑞\nZ warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej\n𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz\n𝑧= 5 ⋅42 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest<br>równa 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym<br>wyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Oblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>11.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego;<br>5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>geometrycznego.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I i II)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟):</li></ul>\n<p>𝑟= 3𝑥.<br>2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań</li></ul>\n<p>𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub<br>𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟<br>𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟<br>𝑥 + 𝑟)<br>2<br>= 105<br>1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟</li></ul>\n<p>𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟<br>𝑥 + 𝑟)<br>2<br>= 105.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu III)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).<br>2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.<br>1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu IV)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest</li></ul>\n<p>rosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.<br>2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)<br>jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz</li></ul>\n<p>𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.<br>1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające</li></ol>\n<p>niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz<br>konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟</li></ol>\n<p>2<br>⋅6 = 105,<br>𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej<br>2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za<br>obliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Niech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.<br>Ponieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc<br>𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105<br>𝑥+ 2𝑟= 35<br>𝑥= 35 -2𝑟<br>Zatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.<br>Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy<br>𝑦2 = 𝑥⋅𝑧<br>(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)<br>352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2<br>7𝑟2 -105𝑟= 0<br>𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15<br>Dla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.<br>Dla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny<br>i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -<br>odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego<br>wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.<br>Zatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Niech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.<br>Ponieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc<br>𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105<br>Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy<br>𝑦2 = 𝑥⋅𝑧<br>Ponieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc<br>(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)<br>Zatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:<br>{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105<br>(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)<br>Ze związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:<br>𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟<br>𝑟2 -3𝑟𝑥= 0<br>𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥<br>Dla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.<br>Dla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy<br>{3𝑥+ 6𝑟= 105<br>𝑟= 3𝑥<br>Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5<br>𝑟= 15<br>Stąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.<br>Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.<br>Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu<br>arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.<br>Zatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>Sposób III<br>Z warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego<br>otrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:<br>𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105<br>𝑦2 = 𝑥𝑧<br>4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦<br>Rozwiązujemy układ tych trzech równań:<br>{<br>𝑧= 105 -𝑥-𝑦<br>𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)<br>4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦<br>{<br>𝑧= 105 -𝑥-𝑦<br>𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)<br>𝑥= 2𝑦-35<br>{<br>𝑧= 140 -3𝑦<br>𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)<br>𝑥= 2𝑦-35<br>{<br>𝑧= 140 -3𝑦<br>7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0<br>𝑥= 2𝑦-35<br>{<br>𝑧= 80<br>𝑦= 20<br>𝑥= 5<br>∨ {<br>𝑧= 35<br>𝑦= 35<br>𝑥= 35<br>Dla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.<br>Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.<br>Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu<br>arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.<br>Zatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>Sposób IV<br>Niech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz<br>𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy<br>4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦<br>4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞<br>Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem<br>4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞<br>4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)<br>4 = 𝑞<br>Z warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej<br>𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz<br>𝑧= 5 ⋅42 = 80.<br>Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.<br>Ponadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu<br>arytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.<br>Zatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}