{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\nw zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\n6.6R) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne typu sin 2𝑥= 1\n2 ,\nsin 2𝑥+ cos 𝑥= 1, sin 𝑥+ cos 𝑥= 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawne wyniki: 𝜋\n4 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 oraz 11𝜋\n6 .\n3 pkt - rozwiązanie równań sin 𝑥= cos 𝑥 oraz sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ: 𝜋\n4 + 𝑘⋅𝜋 oraz\n7𝜋\n6 + 2𝑘⋅𝜋 i 11𝜋\n6 + 2𝑘⋅𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania sin 𝑥= cos 𝑥 (lub równania sin 𝑥= -1\n2) w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩:\n𝜋\n4 oraz 5𝜋\n4 (lub: 7𝜋\n6 oraz 11𝜋\n6 ).\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 do\npostaci (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający podczas przekształcania równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\npodzieli obie strony równania przez (cos 𝑥-sin 𝑥) bez stosownych założeń\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 równoważnie,\nkorzystając ze wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta, i otrzymujemy:\nsin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ cos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\ncos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 -2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ sin 𝑥-cos 𝑥\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + sin 𝑥-cos 𝑥+ sin2 𝑥-cos2 𝑥\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + (sin 𝑥-cos 𝑥) + (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥+ cos 𝑥)\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥+ 1 + sin 𝑥+ cos 𝑥)\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1)\nsin 𝑥= cos 𝑥 lub sin 𝑥= -1\n2\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= cos 𝑥 w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.\nZauważmy, że gdyby cos 𝑥= 0 , to wtedy sin 𝑥= cos 𝑥= 0, więc po podstawieniu tych\nwartości sinusa i cosinusa do tożsamości sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1 otrzymalibyśmy 0 + 0 = 1.\nZatem cos 𝑥≠0.\nDzielimy obie strony równania sin 𝑥= cos 𝑥 przez cos 𝑥 i otrzymujemy tg 𝑥= 1.\nRównanie to ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 𝜋\n4 oraz 5𝜋\n4 .\nRównanie sin 𝑥= -1\n2 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 7𝜋\n6 oraz 11𝜋\n6 .\nOstatecznie równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ cztery\nrozwiązania: 𝜋\n4 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 oraz 11𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Rozwiąż równanie
sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥
w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy
i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów
i cosinusów kątów;
6.6R) rozwiązuje równania
trygonometryczne typu sin 2𝑥= 1
2 ,
sin 2𝑥+ cos 𝑥= 1, sin 𝑥+ cos 𝑥= 1.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawne wyniki: 𝜋
4 , 7𝜋
6 , 5𝜋
4 oraz 11𝜋
6 .
3 pkt - rozwiązanie równań sin 𝑥= cos 𝑥 oraz sin 𝑥= -1
2 w zbiorze ℝ: 𝜋
4 + 𝑘⋅𝜋 oraz
7𝜋
6 + 2𝑘⋅𝜋 i 11𝜋
6 + 2𝑘⋅𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO

\n\n
  1. w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩:
\n

𝜋
4 oraz 5𝜋
4 (lub: 7𝜋
6 oraz 11𝜋
6 ).
2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 do
postaci (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1) = 0.
1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający podczas przekształcania równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥
podzieli obie strony równania przez (cos 𝑥-sin 𝑥) bez stosownych założeń
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty
za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 równoważnie,
korzystając ze wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta, i otrzymujemy:
sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥
2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ cos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 + sin 𝑥-cos 𝑥
cos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 -2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ sin 𝑥-cos 𝑥
0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + sin 𝑥-cos 𝑥+ sin2 𝑥-cos2 𝑥
0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + (sin 𝑥-cos 𝑥) + (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥+ cos 𝑥)
0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥+ 1 + sin 𝑥+ cos 𝑥)
0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1)
sin 𝑥= cos 𝑥 lub sin 𝑥= -1
2
Rozwiązujemy równanie sin 𝑥= cos 𝑥 w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.
Zauważmy, że gdyby cos 𝑥= 0 , to wtedy sin 𝑥= cos 𝑥= 0, więc po podstawieniu tych
wartości sinusa i cosinusa do tożsamości sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1 otrzymalibyśmy 0 + 0 = 1.
Zatem cos 𝑥≠0.
Dzielimy obie strony równania sin 𝑥= cos 𝑥 przez cos 𝑥 i otrzymujemy tg 𝑥= 1.
Równanie to ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 𝜋
4 oraz 5𝜋
4 .
Równanie sin 𝑥= -1
2 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 7𝜋
6 oraz 11𝜋
6 .
Ostatecznie równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ cztery
rozwiązania: 𝜋
4 , 7𝜋
6 , 5𝜋
4 oraz 11𝜋
6 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}