{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 -(3𝑚+ 1) ⋅𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 = 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩.\n3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)\njest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1\n3) (𝑚+ 1\n3)\n2\n≤0\nALBO\n- zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do\npostaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za\nIII etap może otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za\nII etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:\npominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do\nkońca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie\nwzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),\na za III etap otrzymuje 0 punktów.\n5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to\nza podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉\njest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki\nrzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy\nwarunek ∆> 0:\n[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0\n𝑚2 + 2𝑚-3 > 0\n(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0\n(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0\n𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩: 𝑚∈(-∞, -3).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
𝑥2 -(3𝑚+ 1) ⋅𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
3.1R) stosuje wzory Viète’a;
3.2R) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1
3 ⟩.
3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)
jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.
(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1

\n
  1. (𝑚+ 1
\n

3)
2
≤0
ALBO

\n\n

𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.
(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do
postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:
𝑚∈(-∞, -3).
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:
𝑚∈(-∞, -3).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III
\n

etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za
III etap może otrzymać 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że
\n

𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za
II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do
końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:
\n

pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,
przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],
przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,
i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do
końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie
wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),
a za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to
\n

za podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉
jest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\n
  1. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania
\n

(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
I etap
Trójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy
warunek ∆> 0:
[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0
𝑚2 + 2𝑚-3 > 0
(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
II etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7
(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7
(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0
(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0
(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0
(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0
(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0
𝑚∈(-∞, 1
3 ⟩
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1
3 ⟩: 𝑚∈(-∞, -3).

","solutions":[]}