{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których\nkrawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.\na) Wykaż, że pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎\nkrawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\nb) Pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole\npowierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi\npodstawy, np. 𝐻= 13824\n𝑎2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie części a).\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\ni obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nALBO\n- zapisanie, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie\n𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0: 𝑎= 24.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma\npostać 𝐴𝑎+ 𝐵\n𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,\nw którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia\nnajmniejszej wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej oraz za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\n3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to\nmoże otrzymać za część b) co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej).\n4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nmożna uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub\ngraficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem\nzerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).\n5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość\nnajmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\na)\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.\nKorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta\nrównobocznego i otrzymujemy:\n3456 = 𝑎2√3\n4\n⋅𝐻\n𝐻= 4608√3\n𝑎2\nStąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\n𝑃= 𝑎2√3\n2\n+ 3𝑎⋅4608√3\n𝑎2\n𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\nb)\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla\n𝑎∈(0, 8√3⟩.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\ndla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0\n𝑎3√3 -13824√3 = 0\n𝑎3 = 13824 = 243\n𝑎= 24 ∉(0, 8√3⟩\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n< 0\n𝑎3√3 -13824√3 < 0\n𝑎3 < 13824\n𝑎< 24\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3⟩.\nStąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑃(8√3) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\n(8√3)\n2⋅ √3\n2\n+ 13824√3\n8√3\n= 96√3 + 1728.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-6)<br>Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których<br>krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.<br>a) Wykaż, że pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎<br>krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem<br>𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎<br>b) Pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi<br>podstawy graniastosłupa jest określone wzorem<br>𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎<br>dla 𝑎∈(0, 8√3⟩.<br>Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole<br>powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>16.<br>Maks. liczba pkt<br>6<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-6)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania<br>zagadnień optymalizacyjnych.<br>Zasady oceniania<br>Część a)<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi<br>podstawy, np. 𝐻= 13824<br>𝑎2√3 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie części a).<br>Część b)<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3<br>i obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje<br>wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie</li></ul>\n<p>𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.<br>2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3<br>𝑎2<br>= 0: 𝑎= 24.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3<br>𝑎2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi do części b):</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma</li></ol>\n<p>postać 𝐴𝑎+ 𝐵<br>𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,<br>w którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,<br>i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za<br>całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia<br>najmniejszej wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Jeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej<br>2 punkty za całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej oraz za<br>uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.<br>znakami „+” i „-” znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to</li></ol>\n<p>może otrzymać za część b) co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za<br>obliczenie miejsca zerowego pochodnej).</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3</li></ol>\n<p>można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub<br>graficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem<br>zerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość</li></ol>\n<p>najmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>a)<br>Rozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.<br>Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta<br>równobocznego i otrzymujemy:<br>3456 = 𝑎2√3<br>4<br>⋅𝐻<br>𝐻= 4608√3<br>𝑎2<br>Stąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy<br>𝑃= 2 ⋅𝑎2√3<br>4</p>\n<ul><li>3𝑎𝐻</li></ul>\n<p>𝑃= 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>3𝑎⋅4608√3</li></ul>\n<p>𝑎2<br>𝑃(𝑎) = 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎<br>b)<br>Obliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎<br>dla<br>𝑎∈(0, 8√3⟩.<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3<br>𝑎2<br>dla 𝑎∈(0, 8√3⟩.<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑎) = 0<br>𝑎√3 -13824√3<br>𝑎2<br>= 0<br>𝑎3√3 -13824√3 = 0<br>𝑎3 = 13824 = 243<br>𝑎= 24 ∉(0, 8√3⟩<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑃′(𝑎) &lt; 0<br>𝑎√3 -13824√3<br>𝑎2<br>&lt; 0<br>𝑎3√3 -13824√3 &lt; 0<br>𝑎3 &lt; 13824<br>𝑎&lt; 24<br>więc 𝑃′(𝑎) &lt; 0 dla 𝑎∈(0, 8√3⟩.<br>Zatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3⟩.<br>Stąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą<br>𝑃(8√3) = 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎<br>(8√3)<br>2⋅ √3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>8√3<br>= 96√3 + 1728.</p>","solutions":[]}