{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43\nlog54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych\nwyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlogarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi\noraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać\ntezę\nALBO\n- zapisanie jednego równania wymiernego z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 5 w postaci 4\n1\n𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.\nlog12 80 = log4 80\nlog4 12 , log12 80 = log5 80\nlog5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),\n1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)\nALBO\n- zapisanie dwóch spośród liczb 3, 4, 5 jako potęgi, której podstawą jest trzecia\nz nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4\n1\n𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie\nrównania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzór na logarytm iloczynu:\nlog12 80 = log4(16 ⋅5)\nlog4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5\nlog4 4 + log4 3 = 2 + log4 5\n1 + log4 3\nKorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy\nlog4 5 = log5 5\nlog5 4 =\n1\nlog5 4 = 1\n𝑎\nZatem\nlog12 80 = 2 + log4 5\n1 + log4 3 =\n2 +\n1\n𝑎\n1 + 𝑏=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm\nsumy:\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏) =\n2 ⋅log5 4 + 1\nlog5 4 ⋅(1 + log4 3) =\nlog5(4 ⋅4 ⋅5)\nlog5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12\nKorzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12 = log4 80\nlog4 12 = log12 80\nZatem log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏.\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy\n3𝑥⋅4𝑥= 80\n(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4\n1\n𝑎 ⋅42\n4𝑏𝑥+𝑥= 4\n1\n𝑎+2\nStąd\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2\n𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1\n𝑎\n𝑥=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nZatem log12 80 = 𝑥=\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd\n12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12\n1\n1+𝑏\n.Zatem\n80 = 5 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 +2\n= (12\n1\n1+𝑏\n)\n1\n𝑎 +2\n= 12\n2𝑎+1\n𝑎⋅(1+𝑏)\nczyli log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 =
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na
logarytm potęgi oraz wzór na zamianę
podstawy logarytmu.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43
log54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych
wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na
Zasady oceniania rozwiązań zadań
logarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi
oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać
tezę
ALBO

\n\n

𝑏𝑥+ 𝑥= 1
𝑎+ 2 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12
1
1+𝑏
(dla sposobu IV).
1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.
log12 80 = log4 80
log4 12 , log12 80 = log5 80
log5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),
1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)
ALBO

\n\n

z nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4
1
𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie
równania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
1+𝑏
(dla sposobu IV).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,
a następnie wzór na logarytm iloczynu:
log12 80 = log4(16 ⋅5)
log4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5
log4 4 + log4 3 = 2 + log4 5
1 + log4 3
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy
log4 5 = log5 5
log5 4 =
1
log5 4 = 1
𝑎
Zatem
log12 80 = 2 + log4 5
1 + log4 3 =
2 +
1
𝑎
1 + 𝑏=
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏)
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm
sumy:
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏) =
2 ⋅log5 4 + 1
log5 4 ⋅(1 + log4 3) =
log5(4 ⋅4 ⋅5)
log5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =
log5 80
log5 4 ⋅log4 12
Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej
log5 80
log5 4 ⋅log4 12 = log4 80
log4 12 = log12 80
Zatem log12 80 =
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.
Sposób III
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4
1
𝑎 oraz 3 = 4𝑏.
Oznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy
3𝑥⋅4𝑥= 80
(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4
1
𝑎 ⋅42
4𝑏𝑥+𝑥= 4
1
𝑎+2
Stąd
𝑏𝑥+ 𝑥= 1
𝑎+ 2
𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1
𝑎
𝑥=
2𝑎+ 1
𝑎⋅(1 + 𝑏)
Zatem log12 80 = 𝑥=
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.
Sposób IV
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4
1
𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd
12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12
1
1+𝑏
.Zatem
80 = 5 ⋅42 = 4
1
𝑎 ⋅42 = 4
1
𝑎 +2
= (12
1
1+𝑏
)
1
𝑎 +2
= 12
2𝑎+1
𝑎⋅(1+𝑏)
czyli log12 80 =
2𝑎 + 1
𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}