{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego czworokąta przecinają\nsię w punkcie 𝑆.\nWykaż, że jeżeli\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| , to na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są\npodobne, zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne, zapisanie równości miar\nodpowiednich kątów tych trójkątów, zapisanie równości\n|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| i sformułowanie wniosku, że na\nczworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\n2 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐵𝐶|\ni |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐵|\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶|\ni |∡𝑆𝐵𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐷|.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Zdający, przeprowadzając pełne rozumowanie, może także zapisać, że dowolne dwa\nkolejne wierzchołki czworokąta leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez dwa\npozostałe wierzchołki, np. 𝐶 i 𝐷 leżą po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵, gdyż czworokąt\n𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wypukły. Stąd i z równości kątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝐷𝐵 (wynikającej z podobieństwa\ntrójkątów 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶) zapisze wniosek, że punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 leżą na jednym okręgu.\n2. Nie akceptujemy rozumowania, w którym zdający powołuje się na twierdzenie odwrotne\ndo twierdzenia o siecznych, gdyż zadanie to w istocie wymaga przeprowadzenia dowodu\ntego twierdzenia w przypadku, gdy punkt przecięcia siecznych leży wewnątrz okręgu.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKąty 𝐴𝑆𝐷 oraz 𝐵𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐵𝑆𝐶|. Stąd i z założenia\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.\nZatem\n(1)\n|∡𝐷𝐴𝑆| = |∡𝐶𝐵𝑆| oraz |∡𝐴𝐷𝑆| = |∡𝐵𝐶𝑆|.\nKąty 𝐴𝑆𝐵 oraz 𝐷𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐶|. Stąd i z założenia\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb. Zatem\n(2)\n|∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐵𝑆| = |∡𝐷𝐶𝑆|.\nZe związków (1) oraz (2) otrzymujemy\n|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝑆| + |∡𝑆𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝑆| + |∡𝐷𝐶𝑆| =\n= |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| + |∡𝐴𝐵𝑆| =\n= |∡𝐴𝐵𝑆| + |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| =\n= |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴|\nStąd i z twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie wnioskujemy, że na czworokącie\n𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Dany jest czworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego czworokąta przecinają<br>się w punkcie 𝑆.<br>Wykaż, że jeżeli<br>|𝐴𝑆|<br>|𝐷𝑆| =<br>|𝐵𝑆|<br>|𝐶𝑆| , to na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>7.<br>Maks. liczba pkt<br>3<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące<br>czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty<br>opisane na okręgu.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są<br>podobne, zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne, zapisanie równości miar<br>odpowiednich kątów tych trójkątów, zapisanie równości<br>|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| i sformułowanie wniosku, że na<br>czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.<br>2 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐵𝐶|<br>i |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐵|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶|</li></ul>\n<p>i |∡𝑆𝐵𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐷|.<br>1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Zdający, przeprowadzając pełne rozumowanie, może także zapisać, że dowolne dwa</li></ol>\n<p>kolejne wierzchołki czworokąta leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez dwa<br>pozostałe wierzchołki, np. 𝐶 i 𝐷 leżą po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵, gdyż czworokąt<br>𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wypukły. Stąd i z równości kątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝐷𝐵 (wynikającej z podobieństwa<br>trójkątów 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶) zapisze wniosek, że punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 leżą na jednym okręgu.</p>\n<ol><li>Nie akceptujemy rozumowania, w którym zdający powołuje się na twierdzenie odwrotne</li></ol>\n<p>do twierdzenia o siecznych, gdyż zadanie to w istocie wymaga przeprowadzenia dowodu<br>tego twierdzenia w przypadku, gdy punkt przecięcia siecznych leży wewnątrz okręgu.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Kąty 𝐴𝑆𝐷 oraz 𝐵𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐵𝑆𝐶|. Stąd i z założenia<br>|𝐴𝑆|<br>|𝐷𝑆| =<br>|𝐵𝑆|<br>|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.<br>Zatem<br>(1)<br>|∡𝐷𝐴𝑆| = |∡𝐶𝐵𝑆| oraz |∡𝐴𝐷𝑆| = |∡𝐵𝐶𝑆|.<br>Kąty 𝐴𝑆𝐵 oraz 𝐷𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐶|. Stąd i z założenia<br>|𝐴𝑆|<br>|𝐷𝑆| =<br>|𝐵𝑆|<br>|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb. Zatem<br>(2)<br>|∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐵𝑆| = |∡𝐷𝐶𝑆|.<br>Ze związków (1) oraz (2) otrzymujemy<br>|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝑆| + |∡𝑆𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝑆| + |∡𝐷𝐶𝑆| =<br>= |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| + |∡𝐴𝐵𝑆| =<br>= |∡𝐴𝐵𝑆| + |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| =<br>= |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴|<br>Stąd i z twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie wnioskujemy, że na czworokącie<br>𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.<br>To należało wykazać.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑆<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}