{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się\njakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n10.1R) wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji\nz powtórzeniami do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.\n2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1)\nALBO\n- zapisanie 𝐿2 : (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2),\nALBO\n- zapisanie 𝑃 : 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑁: 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,\nnp. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+: 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍-: 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.\n1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!, 𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nALBO\n- zapisanie 𝑃 (lub 𝑁), np. 𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+ (lub 𝑍-), np. 𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840,\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,\nALBO\n- zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych\ni dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1),\nALBO\n- zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest\nrówna 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym\nz przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\ntrzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry\nspośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem\n𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!\nNiech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste\ni jedna cyfra parzysta.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną\ncyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku\nciągu ustawić cyfrę 0. Zatem\n𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝐿1 -𝐿2 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! -(5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040\nSposób II\nNiech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są\ntrzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę\nparzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry\nparzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie\nwybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!\nNiech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry\nnieparzyste i dwie cyfry parzyste.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę\nnieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr\nparzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie\nustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! + 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040\nSposób III\nRozważmy dwa przypadki:\n1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.\nMiejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na\nwybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze\nz pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na\ndrugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840\n2. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy\nwybrać na (5\n2) = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy\nwstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych\ntrzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie\nz pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200\nStąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się
jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.
Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
10.1R) wykorzystuje wzory na liczbę
permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji
z powtórzeniami do zliczania obiektów
w sytuacjach kombinatorycznych.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.
2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5

\n
  1. ⋅(4
\n

1)
ALBO

\n\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5

\n
  1. ⋅(5
\n

2),
ALBO

\n\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych
\n

w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba
ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,
ALBO

\n\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych
\n

w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,
np. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,
ALBO

\n\n

w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba
ciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,
ALBO

\n\n

w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba
ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.
1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5!, 𝐿2 = (5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4!
\n

ALBO

\n\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4!,
\n

ALBO

\n\n

𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,
ALBO

\n\n

i dwóch cyfr parzystych: (5

\n
  1. ⋅(5
  2. oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych
\n

złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5

\n
  1. ⋅(4
\n

1),
ALBO

\n\n

pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest
równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym
z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba
ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
trzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.
Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry
spośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem
𝐿1 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5!
\n

Niech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste
i jedna cyfra parzysta.
Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną
cyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku
ciągu ustawić cyfrę 0. Zatem
𝐿2 = (5

\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4!
\n

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy
cyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest
𝐿1 -𝐿2 = (5

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅5! -(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040
\n

Sposób II
Niech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są
trzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.
Pierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę
parzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry
parzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie
wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑃= 4 ⋅(4

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4!
\n

Niech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:
wyrazy są cyframi, parami różnymi
pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry
nieparzyste i dwie cyfry parzyste.
Pierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę
nieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr
parzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie
ustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem
𝑁= 5 ⋅(5

\n
  1. ⋅(4
  2. ⋅4!
\n

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy
cyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest
𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4

\n
  1. ⋅(5
  2. ⋅4! + 5 ⋅(5
  3. ⋅(4
  4. ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040
\n

Sposób III
Rozważmy dwa przypadki:

\n
  1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.
\n

Miejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na
wybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze
z pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na
drugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr
nieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.
Zatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa
𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840

\n
  1. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy
\n

wybrać na (5

\n
  1. = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy
\n

wstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych
trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie
z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr
nieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.
Zatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa
𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200
Stąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.

","solutions":[]}