{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg.\nJeden litr mleka ma masę 1,03 kg.\nNiech 𝑥 oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a 𝑓(𝑥) oznacza wyrażoną\nw kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie 𝑥∈[0, 10].\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈<0,10>. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa wartość funkcji f jest równa A. 16,8 B. 15,8 C. 11,3 D. 10,3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(10) = 16{,}8 \\text{ kg}\\)\n\n## Sposób 1 - Zbudowanie wzoru funkcji i znalezienie maksimum\n\n**Budujemy wzór funkcji \\(g(x)\\):**\n\nBańka waży \\(6{,}5\\) kg. Każdy litr mleka dodaje \\(1{,}03\\) kg. Jeśli w bańce jest \\(x\\) litrów mleka, to:\n\n\\[g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\]\n\ngdzie \\(x \\in \\langle 0, 10 \\rangle\\).\n\n**Analizujemy funkcję:**\n\nJest to funkcja liniowa z dodatnim współczynnikiem kierunkowym \\(1{,}03 > 0\\), więc jest **rosnąca** na całej dziedzinie. Oznacza to, że największą wartość osiąga na **prawym końcu przedziału**, czyli dla \\(x = 10\\).\n\n**Obliczamy maksimum:**\n\n\\[g(10) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 10 = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8}\\]\n\n**Największa wartość funkcji \\(g\\) wynosi \\(16{,}8\\) kg.**\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie słowne (bez wzoru)\n\nBańka jest pełna, gdy zawiera \\(10\\) litrów mleka - to scenariusz z największą masą.\n\n\\[m_{\\text{całkowita}} = m_{\\text{bańki}} + m_{\\text{mleka}} = 6{,}5 \\text{ kg} + 10 \\cdot 1{,}03 \\text{ kg}\\]\n\n\\[m_{\\text{całkowita}} = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8 \\text{ kg}}\\]\n\n**Weryfikacja dla \\(x = 0\\) (bańka pusta):**\n\\[g(0) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 0 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\n\nRzeczywiście \\(g(10) = 16{,}8 > g(0) = 6{,}5\\) - maksimum jest dla pełnej bańki. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zbudowanie prostego modelu liniowego i odczytanie maksimum funkcji rosnącej na końcu przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(15{,}8\\) | Pominięcie masy bańki: policzono tylko \\(1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5\\), ale błędnie - np. użyto \\(1 \\text{ kg}\\) za litr zamiast \\(1{,}03\\), co daje \\(6{,}5 + 9 \\cdot 1{,}03 + \\), albo wzięto \\(x = 9\\) zamiast \\(x = 10\\): \\(6{,}5 + 9{,}3 = 15{,}8\\) |\n| C. \\(11{,}3\\) | Wzięto tylko masę mleka w pełnej bańce (\\(10{,}3\\)) i dodano \\(1\\) zamiast \\(6{,}5\\), lub w ogóle pominięto masę bańki i dodano jedynie stałą \\(1\\) |\n| D. \\(10{,}3\\) | Całkowicie pominięto masę bańki (\\(6{,}5\\) kg) - policzono tylko \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) to liczba litrów mleka, a bańka **sama w sobie waży 6,5 kg** - ten składnik musi znaleźć się we wzorze \\(g(x)\\). Najczęstszy błąd to liczenie tylko masy mleka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\) jest rosnąca, więc jej maksimum jest na **prawym końcu przedziału** \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\), czyli dla \\(x = 10\\) (bańka pełna). Gdyby współczynnik był ujemny, maksimum byłoby dla \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1{,}03 \\cdot 10 = 10{,}30\\), nie \\(10{,}3\\) - upewnij się, że poprawnie mnożysz liczby dziesiętne, szczególnie pod presją czasu na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie masy pełnej bańki\n\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\). Funkcja rosnąca, więc maksimum dla \\(x = 10\\):\n\\(g(10) = 1{,}03\\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8.\\)\n\n### Sposób 2 - Interpretacja\nPełna bańka: \\(10\\) l mleka = \\(10{,}3\\) kg mleka + \\(6{,}5\\) kg bańki = \\(16{,}8\\) kg.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(15{,}8\\)** - błędna suma.\n- **C. \\(11{,}3\\)** - to \\(10 + 1{,}03 + \\dots\\), niepoprawne.\n- **D. \\(10{,}3\\)** - masa samego mleka bez bańki.\n\n**Trik:** maksimum funkcji liniowej rosnącej osiągane na prawym końcu przedziału.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11.<br>Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg.<br>Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg.<br>Niech 𝑥 oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a 𝑓(𝑥) oznacza wyrażoną<br>w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie 𝑥∈[0, 10].<br>Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈&lt;0,10&gt;. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa wartość funkcji f jest równa A. 16,8 B. 15,8 C. 11,3 D. 10,3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(g(10) = 16{,}8 \\text{ kg}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Zbudowanie wzoru funkcji i znalezienie maksimum</h4>\n<p><strong>Budujemy wzór funkcji \\(g(x)\\):</strong></p>\n<p>Bańka waży \\(6{,}5\\) kg. Każdy litr mleka dodaje \\(1{,}03\\) kg. Jeśli w bańce jest \\(x\\) litrów mleka, to:</p>\n<p>\\[g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\]</p>\n<p>gdzie \\(x \\in \\langle 0, 10 \\rangle\\).</p>\n<p><strong>Analizujemy funkcję:</strong></p>\n<p>Jest to funkcja liniowa z dodatnim współczynnikiem kierunkowym \\(1{,}03 &gt; 0\\), więc jest <strong>rosnąca</strong> na całej dziedzinie. Oznacza to, że największą wartość osiąga na <strong>prawym końcu przedziału</strong>, czyli dla \\(x = 10\\).</p>\n<p><strong>Obliczamy maksimum:</strong></p>\n<p>\\[g(10) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 10 = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8}\\]</p>\n<p><strong>Największa wartość funkcji \\(g\\) wynosi \\(16{,}8\\) kg.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Rozumowanie słowne (bez wzoru)</h4>\n<p>Bańka jest pełna, gdy zawiera \\(10\\) litrów mleka - to scenariusz z największą masą.</p>\n<p>\\[m_{\\text{całkowita}} = m_{\\text{bańki}} + m_{\\text{mleka}} = 6{,}5 \\text{ kg} + 10 \\cdot 1{,}03 \\text{ kg}\\]</p>\n<p>\\[m_{\\text{całkowita}} = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8 \\text{ kg}}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja dla \\(x = 0\\) (bańka pusta):</strong><br>\\[g(0) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 0 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]</p>\n<p>Rzeczywiście \\(g(10) = 16{,}8 &gt; g(0) = 6{,}5\\) - maksimum jest dla pełnej bańki. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zbudowanie prostego modelu liniowego i odczytanie maksimum funkcji rosnącej na końcu przedziału.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B. \\(15{,}8\\) | Pominięcie masy bańki: policzono tylko \\(1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5\\), ale błędnie - np. użyto \\(1 \\text{ kg}\\) za litr zamiast \\(1{,}03\\), co daje \\(6{,}5 + 9 \\cdot 1{,}03 + \\), albo wzięto \\(x = 9\\) zamiast \\(x = 10\\): \\(6{,}5 + 9{,}3 = 15{,}8\\) |<br>| C. \\(11{,}3\\) | Wzięto tylko masę mleka w pełnej bańce (\\(10{,}3\\)) i dodano \\(1\\) zamiast \\(6{,}5\\), lub w ogóle pominięto masę bańki i dodano jedynie stałą \\(1\\) |<br>| D. \\(10{,}3\\) | Całkowicie pominięto masę bańki (\\(6{,}5\\) kg) - policzono tylko \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(x\\) to liczba litrów mleka, a bańka <strong>sama w sobie waży 6,5 kg</strong> - ten składnik musi znaleźć się we wzorze \\(g(x)\\). Najczęstszy błąd to liczenie tylko masy mleka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcja \\(g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\) jest rosnąca, więc jej maksimum jest na <strong>prawym końcu przedziału</strong> \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\), czyli dla \\(x = 10\\) (bańka pełna). Gdyby współczynnik był ujemny, maksimum byłoby dla \\(x = 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(1{,}03 \\cdot 10 = 10{,}30\\), nie \\(10{,}3\\) - upewnij się, że poprawnie mnożysz liczby dziesiętne, szczególnie pod presją czasu na egzaminie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie masy pełnej bańki</h5>\n<p>\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\). Funkcja rosnąca, więc maksimum dla \\(x = 10\\):<br>\\(g(10) = 1{,}03\\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Interpretacja</h5>\n<p>Pełna bańka: \\(10\\) l mleka = \\(10{,}3\\) kg mleka + \\(6{,}5\\) kg bańki = \\(16{,}8\\) kg.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(15{,}8\\)</strong> - błędna suma.</li><li><strong>C. \\(11{,}3\\)</strong> - to \\(10 + 1{,}03 + \\dots\\), niepoprawne.</li><li><strong>D. \\(10{,}3\\)</strong> - masa samego mleka bez bańki.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> maksimum funkcji liniowej rosnącej osiągane na prawym końcu przedziału.</p>"}]}