{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=1 B. y=1 C. x=-2 D. y=-2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - budowanie wzoru z definicji\n\n**Zaczynamy od tego, co wchodzi w skład masy bańki z mlekiem:**\n\nMasa bańki z mlekiem = masa pustej bańki + masa mleka\n\n**Masa pustej bańki** - jest stała, niezależna od tego ile mleka wlejemy:\n\\[m_{\\text{bańka}} = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\n\n**Masa mleka** - zależy od liczby litrów \\(x\\). Skoro 1 litr waży \\(1{,}03\\) kg, to \\(x\\) litrów waży:\n\\[m_{\\text{mleko}} = 1{,}03 \\cdot x \\text{ kg}\\]\n\n**Łączymy:**\n\\[g(x) = m_{\\text{mleko}} + m_{\\text{bańka}} = 1{,}03x + 6{,}5\\]\n\nJest to funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \\(1{,}03\\) i wyrazie wolnym \\(6{,}5\\).\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie wartości brzegowych\n\nSprawdzamy, czy wzór \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\) daje sensowne wyniki na krańcach dziedziny \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\).\n\n**Bańka pusta (\\(x = 0\\)):**\n\\[g(0) = 1{,}03 \\cdot 0 + 6{,}5 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\nZgadza się - pusta bańka waży dokładnie \\(6{,}5\\) kg. ✓\n\n**Bańka pełna (\\(x = 10\\)):**\n\\[g(10) = 1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8 \\text{ kg}\\]\nSprawdzamy ręcznie: 10 litrów mleka waży \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) kg, plus bańka \\(6{,}5\\) kg, razem \\(16{,}8\\) kg. ✓\n\nWzór z odpowiedzi D przechodzi obie próby - to potwierdza poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie funkcji liniowej i podstawowe działania arytmetyczne. Wzór \\(g(x) = ax + b\\) to funkcja liniowa, której własności opisane są w dziale **Funkcja liniowa** (program szkolny, nie ma oddzielnego działu na karcie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(g(x) = 6{,}5x + 1{,}03\\) | Zamieniono role liczb - \\(6{,}5\\) jest mnożone przez \\(x\\), jakby bańka ważyła \\(6{,}5\\) kg za każdy litr, a \\(1{,}03\\) kg to masa stała. Kompletnie bez sensu fizycznie. |\n| B | \\(g(x) = 1{,}03x + 10\\) | Jako wyraz wolny wzięto pojemność bańki (\\(10\\) litrów) zamiast masy bańki (\\(6{,}5\\) kg). Mylono pojemność z masą. |\n| C | \\(g(x) = 10x + 1{,}03\\) | Podwójny błąd: jako współczynnik wzięto pojemność \\(10\\), a jako wyraz wolny - masę jednego litra mleka \\(1{,}03\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl pojemności bańki (\\(10\\) litrów) z jej masą (\\(6{,}5\\) kg). Pojemność mówi ile zmieści, masa mówi ile waży - to dwie różne liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny w funkcji liniowej to wartość \\(g(0)\\) - masa przy zerowej ilości mleka, czyli masa samej bańki. To świetna metoda sprawdzenia, czy wzór ma sens.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy \\(1{,}03\\) oznacza, że każdy dodatkowy litr mleka zwiększa masę o \\(1{,}03\\) kg - dokładnie tyle, ile podano w treści zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Budowa modelu\nMasa \\(x\\) litrów mleka: \\(1{,}03x\\) kg. Masa pustej bańki: \\(6{,}5\\) kg (stała).\nCałkowita masa: \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5.\\)\n\n### Sposób 2 - Interpretacja współczynników\nWspółczynnik kierunkowy = masa jednego litra = \\(1{,}03\\).\nWyraz wolny = \\(g(0)\\) = masa pustej bańki = \\(6{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zamienione role.\n- **B.** \\(+10\\) to pojemność, nie masa.\n- **C.** Zamiast masy 1 litra dano liczbę litrów.\n\n**Trik:** wzór \\(y = ax + b\\): \\(a\\) to tempo zmian, \\(b\\) to wartość w zerze.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest<br>wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty<br>przecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=1 B. y=1 C. x=-2 D. y=-2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - budowanie wzoru z definicji</h4>\n<p><strong>Zaczynamy od tego, co wchodzi w skład masy bańki z mlekiem:</strong></p>\n<p>Masa bańki z mlekiem = masa pustej bańki + masa mleka</p>\n<p><strong>Masa pustej bańki</strong> - jest stała, niezależna od tego ile mleka wlejemy:<br>\\[m_{\\text{bańka}} = 6{,}5 \\text{ kg}\\]</p>\n<p><strong>Masa mleka</strong> - zależy od liczby litrów \\(x\\). Skoro 1 litr waży \\(1{,}03\\) kg, to \\(x\\) litrów waży:<br>\\[m_{\\text{mleko}} = 1{,}03 \\cdot x \\text{ kg}\\]</p>\n<p><strong>Łączymy:</strong><br>\\[g(x) = m_{\\text{mleko}} + m_{\\text{bańka}} = 1{,}03x + 6{,}5\\]</p>\n<p>Jest to funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \\(1{,}03\\) i wyrazie wolnym \\(6{,}5\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie wartości brzegowych</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wzór \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\) daje sensowne wyniki na krańcach dziedziny \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\).</p>\n<p><strong>Bańka pusta (\\(x = 0\\)):</strong><br>\\[g(0) = 1{,}03 \\cdot 0 + 6{,}5 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]<br>Zgadza się - pusta bańka waży dokładnie \\(6{,}5\\) kg. ✓</p>\n<p><strong>Bańka pełna (\\(x = 10\\)):</strong><br>\\[g(10) = 1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8 \\text{ kg}\\]<br>Sprawdzamy ręcznie: 10 litrów mleka waży \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) kg, plus bańka \\(6{,}5\\) kg, razem \\(16{,}8\\) kg. ✓</p>\n<p>Wzór z odpowiedzi D przechodzi obie próby - to potwierdza poprawność.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie funkcji liniowej i podstawowe działania arytmetyczne. Wzór \\(g(x) = ax + b\\) to funkcja liniowa, której własności opisane są w dziale <strong>Funkcja liniowa</strong> (program szkolny, nie ma oddzielnego działu na karcie).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wzór | Błąd |<br>| A | \\(g(x) = 6{,}5x + 1{,}03\\) | Zamieniono role liczb - \\(6{,}5\\) jest mnożone przez \\(x\\), jakby bańka ważyła \\(6{,}5\\) kg za każdy litr, a \\(1{,}03\\) kg to masa stała. Kompletnie bez sensu fizycznie. |<br>| B | \\(g(x) = 1{,}03x + 10\\) | Jako wyraz wolny wzięto pojemność bańki (\\(10\\) litrów) zamiast masy bańki (\\(6{,}5\\) kg). Mylono pojemność z masą. |<br>| C | \\(g(x) = 10x + 1{,}03\\) | Podwójny błąd: jako współczynnik wzięto pojemność \\(10\\), a jako wyraz wolny - masę jednego litra mleka \\(1{,}03\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl pojemności bańki (\\(10\\) litrów) z jej masą (\\(6{,}5\\) kg). Pojemność mówi ile zmieści, masa mówi ile waży - to dwie różne liczby!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny w funkcji liniowej to wartość \\(g(0)\\) - masa przy zerowej ilości mleka, czyli masa samej bańki. To świetna metoda sprawdzenia, czy wzór ma sens.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy \\(1{,}03\\) oznacza, że każdy dodatkowy litr mleka zwiększa masę o \\(1{,}03\\) kg - dokładnie tyle, ile podano w treści zadania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Budowa modelu</h5>\n<p>Masa \\(x\\) litrów mleka: \\(1{,}03x\\) kg. Masa pustej bańki: \\(6{,}5\\) kg (stała).<br>Całkowita masa: \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Interpretacja współczynników</h5>\n<p>Współczynnik kierunkowy = masa jednego litra = \\(1{,}03\\).<br>Wyraz wolny = \\(g(0)\\) = masa pustej bańki = \\(6{,}5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Zamienione role.</li><li><strong>B.</strong> \\(+10\\) to pojemność, nie masa.</li><li><strong>C.</strong> Zamiast masy 1 litra dano liczbę litrów.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> wzór \\(y = ax + b\\): \\(a\\) to tempo zmian, \\(b\\) to wartość w zerze.</p>"}]}