{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem 𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛 dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzeci wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 5\nB. 7\nC. 13\nD. 15\nCiąg a_n jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S_n=n^2+2n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu a_n jest równy A. 5 B. 7 C. 13 D. 15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.4) stosuje wzór […] na sumę 𝑛\npoczątkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: kierunek ramion i wierzchołek\n\n**Krok 1: Kierunek otwarcia paraboli**\n\nZ rysunku widzimy, że ramiona paraboli skierowane są **ku górze** (ramiona w górę = współczynnik \\(a > 0\\)). Oznacza to, że funkcja kwadratowa osiąga **minimum** w wierzchołku, a jej zbiór wartości ma postać:\n\\[\\langle q, +\\infty)\\]\ngdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka (wartość minimalna funkcji).\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka**\n\nZ warunków zadania: wierzchołek paraboli ma obie współrzędne **całkowite**. Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek leży w punkcie \\(W = (1, -2)\\).\n\nZatem minimalna wartość funkcji to:\n\\[q = -2\\]\n\n**Krok 3: Zbiór wartości**\n\nPonieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości \\(\\geq -2\\):\n\\[\\mathbb{ZW}(f) = \\langle -2, +\\infty)\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i analiza algebraiczna\n\n**Krok 1: Odczytanie miejsc zerowych**\n\nZ rysunku odczytujemy miejsca zerowe (całkowite!): \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nZatem postać iloczynowa (z pewnym \\(a > 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)**\n\nWierzchołek paraboli leży w połowie między zerami:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1\\]\n\nLiczymy \\(f(1)\\) i przyrównujemy do \\(-2\\) (rzędna wierzchołka z wykresu):\n\\[f(1) = a \\cdot 1 \\cdot (1-2) = a \\cdot (-1) = -a = -2\\]\n\\[\\Rightarrow a = 2\\]\n\n**Krok 3: Pełny wzór i postać kanoniczna**\n\n\\[f(x) = 2x(x-2) = 2x^2 - 4x\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = 2(x-1)^2 - 2\\]\n\nPonieważ \\(2(x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), minimum wynosi \\(-2\\) (osiągane dla \\(x = 1\\)):\n\\[f(x) \\geq -2 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie } p = -\\frac{b}{2a},\\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\): rzędna wierzchołka \\(q\\) to **minimum** funkcji gdy \\(a > 0\\) i **maksimum** gdy \\(a < 0\\). Stąd wprost czytamy zbiór wartości:\n- \\(a > 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = \\langle q, +\\infty)\\)\n- \\(a < 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = (-\\infty, q\\rangle\\)\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, -2)\\) - zakłada, że parabola otwiera się **w dół** (max = -2), a na dodatek przedział otwarty nie ma sensu dla zakresu funkcji kwadratowej (wartość \\(-2\\) jest osiągana w wierzchołku) |\n| B | \\(\\langle 1, +\\infty)\\) - poprawna forma (parabola ku górze), ale błędna rzędna wierzchołka: ktoś pomylił **odciętą** wierzchołka \\((p = 1)\\) z **rzędną** \\((q = -2)\\) |\n| C | \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) - **niemożliwe** dla żadnej funkcji kwadratowej: zbiór wartości funkcji kwadratowej nigdy nie jest przedziałem **obustronnie ograniczonym** (ramiona paraboli zawsze uciekają w nieskończoność) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie odciętej wierzchołka \\(p\\) z rzędną \\(q\\). Wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - zbiór wartości zależy od **rzędnej** \\(q = -2\\), nie od \\(p = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, -2)\\) jest **otwarty** - parabola odwrócona z wierzchołkiem w \\((p, -2)\\) miałaby zbiór wartości \\((-\\infty, -2\\rangle\\) (domknięty), bo wartość \\(-2\\) jest osiągana. Odpowiedź A jest zła podwójnie: zły kierunek i brak nawiasu prostego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest **zawsze nieograniczony** (nigdy oba końce nie są skończone). Odpowiedź C \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) to klasyczna pułapka - jeśli widzisz przedział zamknięty z obu stron jako opcję, odrzuć go od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWierzchołek paraboli: \\((1, -2)\\). Parabola skierowana do góry (\\(a>0\\)). Zatem zbiór wartości = \\(\\langle -2, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza kształtu\nFunkcja kwadratowa z \\(a > 0\\): minimum w wierzchołku \\(y = -2\\), brak górnego ograniczenia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zły kierunek (parabola jest w górę).\n- **B.** Zła wartość minimum.\n- **C.** To przedział zmiennej \\(x\\), nie wartości.\n\n**Trik:** dla paraboli w górę zbiór wartości = \\(\\langle y_w, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Suma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem 𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛 dla każdej<br>liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Trzeci wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy<br>A. 5<br>B. 7<br>C. 13<br>D. 15<br>Ciąg a_n jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S_n=n^2+2n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu a_n jest równy A. 5 B. 7 C. 13 D. 15</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym;<br>VI.4) stosuje wzór […] na sumę 𝑛<br>początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -2, +\\infty)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: kierunek ramion i wierzchołek</h4>\n<p><strong>Krok 1: Kierunek otwarcia paraboli</strong></p>\n<p>Z rysunku widzimy, że ramiona paraboli skierowane są <strong>ku górze</strong> (ramiona w górę = współczynnik \\(a &gt; 0\\)). Oznacza to, że funkcja kwadratowa osiąga <strong>minimum</strong> w wierzchołku, a jej zbiór wartości ma postać:<br>\\[\\langle q, +\\infty)\\]<br>gdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka (wartość minimalna funkcji).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka</strong></p>\n<p>Z warunków zadania: wierzchołek paraboli ma obie współrzędne <strong>całkowite</strong>. Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek leży w punkcie \\(W = (1, -2)\\).</p>\n<p>Zatem minimalna wartość funkcji to:<br>\\[q = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Zbiór wartości</strong></p>\n<p>Ponieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości \\(\\geq -2\\):<br>\\[\\mathbb{ZW}(f) = \\langle -2, +\\infty)\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i analiza algebraiczna</h4>\n<p><strong>Krok 1: Odczytanie miejsc zerowych</strong></p>\n<p>Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe (całkowite!): \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).</p>\n<p>Zatem postać iloczynowa (z pewnym \\(a &gt; 0\\)):<br>\\[f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)</strong></p>\n<p>Wierzchołek paraboli leży w połowie między zerami:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1\\]</p>\n<p>Liczymy \\(f(1)\\) i przyrównujemy do \\(-2\\) (rzędna wierzchołka z wykresu):<br>\\[f(1) = a \\cdot 1 \\cdot (1-2) = a \\cdot (-1) = -a = -2\\]<br>\\[\\Rightarrow a = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Pełny wzór i postać kanoniczna</strong></p>\n<p>\\[f(x) = 2x(x-2) = 2x^2 - 4x\\]</p>\n<p>Postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = 2(x-1)^2 - 2\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(2(x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), minimum wynosi \\(-2\\) (osiągane dla \\(x = 1\\)):<br>\\[f(x) \\geq -2 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]</p>\n<p>Zbiór wartości: \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong></p>\n<p>Postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie } p = -\\frac{b}{2a},\\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Wierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\): rzędna wierzchołka \\(q\\) to <strong>minimum</strong> funkcji gdy \\(a &gt; 0\\) i <strong>maksimum</strong> gdy \\(a &lt; 0\\). Stąd wprost czytamy zbiór wartości:</p>\n<ul><li>\\(a &gt; 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = \\langle q, +\\infty)\\)</li><li>\\(a &lt; 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = (-\\infty, q\\rangle\\)</li></ul>\n<p>Użyliśmy tego w obu sposobach.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\((-\\infty, -2)\\) - zakłada, że parabola otwiera się <strong>w dół</strong> (max = -2), a na dodatek przedział otwarty nie ma sensu dla zakresu funkcji kwadratowej (wartość \\(-2\\) jest osiągana w wierzchołku) |<br>| B | \\(\\langle 1, +\\infty)\\) - poprawna forma (parabola ku górze), ale błędna rzędna wierzchołka: ktoś pomylił <strong>odciętą</strong> wierzchołka \\((p = 1)\\) z <strong>rzędną</strong> \\((q = -2)\\) |<br>| C | \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) - <strong>niemożliwe</strong> dla żadnej funkcji kwadratowej: zbiór wartości funkcji kwadratowej nigdy nie jest przedziałem <strong>obustronnie ograniczonym</strong> (ramiona paraboli zawsze uciekają w nieskończoność) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to mylenie odciętej wierzchołka \\(p\\) z rzędną \\(q\\). Wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - zbiór wartości zależy od <strong>rzędnej</strong> \\(q = -2\\), nie od \\(p = 1\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział \\((-\\infty, -2)\\) jest <strong>otwarty</strong> - parabola odwrócona z wierzchołkiem w \\((p, -2)\\) miałaby zbiór wartości \\((-\\infty, -2\\rangle\\) (domknięty), bo wartość \\(-2\\) jest osiągana. Odpowiedź A jest zła podwójnie: zły kierunek i brak nawiasu prostego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest <strong>zawsze nieograniczony</strong> (nigdy oba końce nie są skończone). Odpowiedź C \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) to klasyczna pułapka - jeśli widzisz przedział zamknięty z obu stron jako opcję, odrzuć go od razu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Wierzchołek paraboli: \\((1, -2)\\). Parabola skierowana do góry (\\(a&gt;0\\)). Zatem zbiór wartości = \\(\\langle -2, +\\infty)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza kształtu</h5>\n<p>Funkcja kwadratowa z \\(a &gt; 0\\): minimum w wierzchołku \\(y = -2\\), brak górnego ograniczenia.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Zły kierunek (parabola jest w górę).</li><li><strong>B.</strong> Zła wartość minimum.</li><li><strong>C.</strong> To przedział zmiennej \\(x\\), nie wartości.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla paraboli w górę zbiór wartości = \\(\\langle y_w, +\\infty)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, trzeci wyraz ciągu obliczamy z różnicy: $S_3 - S_2 = (3^2 + 2 \\cdot3) - (2^2 + 2 \\cdot 2) = 15 - 8 = 7$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze związku</p>\n<p>a_n=S_n-S_n-1.</p>\n<p>Obliczamy:</p>\n<p>S_3=3^2+2·3=9+6=15,</p>\n<p>S_2=2^2+2·2=4+4=8.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>a_3=S_3-S_2=15-8=7.</p>"}]}