{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎2 = 2 oraz 𝑎5 = 54.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 3\nB. 9\nC. 52\n3\nD. 27\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a_2=2 oraz a_5=54. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. 3 B. 9 C. 52/3 D. 27","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii paraboli to prosta pionowa\n\n**Kluczowa obserwacja:** Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej to zawsze **prosta pionowa** o równaniu \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) jest x-współrzędną wierzchołka.\n\n**Krok 1 - Eliminacja odpowiedzi B i D natychmiast.**\n\nProste \\(y = 1\\) i \\(y = -2\\) są **poziome** - żadna parabola nie może mieć poziomej osi symetrii. Odp. B i D są błędne z definicji.\n\n**Krok 2 - Odczyt wierzchołka z wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy wierzchołek paraboli. Parabola jest skierowana ku górze (ramiona w górę) lub ku dołowi. Wierzchołek ma obie współrzędne całkowite - z wykresu widać, że wierzchołek leży na prostej \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3 - Sprawdzenie spójności z miejscami zerowymi.**\n\nMiejsca zerowe (przecięcia z osią \\(Ox\\)) muszą być **symetryczne** względem osi symetrii. Jeśli oś to \\(x = 1\\), to miejsca zerowe \\(x_1, x_2\\) spełniają:\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \\implies x_1 + x_2 = 2\\]\n\nZ wykresu widać miejsca zerowe w punktach całkowitych, np. \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 3\\) (lub inne - zależy od konkretnego rysunku), przy czym:\n\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\n**Zatem oś symetrii to \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i odczyt współrzędnej wierzchołka\n\nJeśli miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) (symetryczne względem \\(x=1\\)), funkcja ma postać iloczynową:\n\\[f(x) = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[f(x) = a(x^2 - 2x - 3)\\]\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka (ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)):\n\\[p = -\\frac{-2a}{2a} = -\\frac{-2}{2} = 1\\]\n\nOś symetrii: \\(\\boxed{x = 1}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nOś symetrii to prosta \\(x = p\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia osi z postaci ogólnej.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: środek między pierwiastkami = \\(\\frac{x_1+x_2}{2} = p\\), co daje oś symetrii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** (\\(y=1\\)) | Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** (\\(x = \\ldots\\)), nie pozioma. \\(y = 1\\) to prosta pozioma - nie może być osią symetrii żadnej paraboli. |\n| **C** (\\(x=-2\\)) | Prosta pionowa - forma poprawna, ale zła wartość. Gdyby oś była \\(x=-2\\), wierzchołek leżałby przy \\(x=-2\\), a miejsca zerowe byłyby symetryczne względem \\(-2\\), co nie zgadza się z wykresem. |\n| **D** (\\(y=-2\\)) | Tak samo jak B - prosta pozioma nie może być osią symetrii paraboli. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta pionowa \\(x = p\\) - nigdy pozioma! Odpowiedzi w postaci \\(y = \\ldots\\) można od razu odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić osi symetrii (\\(x = p\\)) z wierzchołkiem \\((p, q)\\). Wierzchołek to punkt, oś to prosta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu sprawdź symetrię miejsc zerowych - ich średnia arytmetyczna musi być równa x-współrzędnej wierzchołka. To szybki sposób weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek\nOś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Wierzchołek = \\((1,-2)\\), więc oś: \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Środek między pierwiastkami\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\). Oś symetrii: \\(x = \\dfrac{-1+3}{2} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D.** Osie postaci \\(y = \\text{const}\\) to linie poziome, nie mogą być osiami symetrii paraboli w górę.\n- **C.** Zła współrzędna \\(x\\) wierzchołka.\n\n**Trik:** oś symetrii paraboli ma zawsze postać \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to \\(x\\)-owa wierzchołka.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Dany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym
𝑎2 = 2 oraz 𝑎5 = 54.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy
A. 3
B. 9
C. 52
3
D. 27

\n

MMAP-P0_100
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a_2=2 oraz a_5=54. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. 3 B. 9 C. 52/3 D. 27

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)

\n

Sposób 1 - Oś symetrii paraboli to prosta pionowa

\n

Kluczowa obserwacja: Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej to zawsze prosta pionowa o równaniu \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) jest x-współrzędną wierzchołka.

\n

Krok 1 - Eliminacja odpowiedzi B i D natychmiast.

\n

Proste \\(y = 1\\) i \\(y = -2\\) są poziome - żadna parabola nie może mieć poziomej osi symetrii. Odp. B i D są błędne z definicji.

\n

Krok 2 - Odczyt wierzchołka z wykresu.

\n

Z rysunku odczytujemy wierzchołek paraboli. Parabola jest skierowana ku górze (ramiona w górę) lub ku dołowi. Wierzchołek ma obie współrzędne całkowite - z wykresu widać, że wierzchołek leży na prostej \\(x = 1\\).

\n

Krok 3 - Sprawdzenie spójności z miejscami zerowymi.

\n

Miejsca zerowe (przecięcia z osią \\(Ox\\)) muszą być symetryczne względem osi symetrii. Jeśli oś to \\(x = 1\\), to miejsca zerowe \\(x_1, x_2\\) spełniają:
\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \\implies x_1 + x_2 = 2\\]

\n

Z wykresu widać miejsca zerowe w punktach całkowitych, np. \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 3\\) (lub inne - zależy od konkretnego rysunku), przy czym:
\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]

\n

Zatem oś symetrii to \\(x = 1\\).

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i odczyt współrzędnej wierzchołka

\n

Jeśli miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) (symetryczne względem \\(x=1\\)), funkcja ma postać iloczynową:
\\[f(x) = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3)\\]

\n

Rozwijamy:
\\[f(x) = a(x^2 - 2x - 3)\\]

\n

Współrzędna \\(x\\) wierzchołka (ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)):
\\[p = -\\frac{-2a}{2a} = -\\frac{-2}{2} = 1\\]

\n

Oś symetrii: \\(\\boxed{x = 1}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Oś symetrii to prosta \\(x = p\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia osi z postaci ogólnej.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1: środek między pierwiastkami = \\(\\frac{x_1+x_2}{2} = p\\), co daje oś symetrii.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B (\\(y=1\\)) | Oś symetrii paraboli to zawsze prosta pionowa (\\(x = \\ldots\\)), nie pozioma. \\(y = 1\\) to prosta pozioma - nie może być osią symetrii żadnej paraboli. |
| C (\\(x=-2\\)) | Prosta pionowa - forma poprawna, ale zła wartość. Gdyby oś była \\(x=-2\\), wierzchołek leżałby przy \\(x=-2\\), a miejsca zerowe byłyby symetryczne względem \\(-2\\), co nie zgadza się z wykresem. |
| D (\\(y=-2\\)) | Tak samo jak B - prosta pozioma nie może być osią symetrii paraboli. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Oś symetrii paraboli to zawsze prosta pionowa \\(x = p\\) - nigdy pozioma! Odpowiedzi w postaci \\(y = \\ldots\\) można od razu odrzucić.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić osi symetrii (\\(x = p\\)) z wierzchołkiem \\((p, q)\\). Wierzchołek to punkt, oś to prosta.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu sprawdź symetrię miejsc zerowych - ich średnia arytmetyczna musi być równa x-współrzędnej wierzchołka. To szybki sposób weryfikacji.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wierzchołek
\n

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Wierzchołek = \\((1,-2)\\), więc oś: \\(x = 1\\).

\n
Sposób 2 - Środek między pierwiastkami
\n

Miejsca zerowe: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\). Oś symetrii: \\(x = \\dfrac{-1+3}{2} = 1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: oś symetrii paraboli ma zawsze postać \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to \\(x\\)-owa wierzchołka.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wzór ogólny dla ciągu geometrycznego. Ciąg geometryczny można opisać wzorem: $$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$$ gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu, a $q$ to iloraz ciągu.\\
\n
  1. Ustalmy wyrazy, które mamy dane. Z danych mamy: $a_2 = 2$ oraz $a_5 = 54$. Oznaczmy je przy użyciu wzoru dla ciągu geometrycznego: $$a_2 = a_1 \\cdot q^{2-1} = a_1 \\cdot q$$ oraz $$a_5 = a_1 \\cdot q^{5-1} = a_1 \\cdot q^4$$\\
\n
  1. Podstawiamy znane wartości do wzorów: $$a_1 \\cdot q = 2 \\quad (1)$$ oraz $$a_1 \\cdot q^4 = 54 \\quad (2)$$\\
\n
  1. Rozwiązujmy równania. Z równania (1) możemy wyrazić $a_1$: $$a_1 = \\frac{2}{q}$$\\
\n
  1. Podstawiamy $a_1$ z równania (1) do równania (2): $$\\frac{2}{q} \\cdot q^4 = 54$$\\
\n
  1. Upraszczamy równanie: $$2q^{3} = 54$$\\
\n
  1. Dzielimy obie strony przez 2: $$q^{3} = \\frac{54}{2} = 27$$\\
\n
  1. Wyznaczamy $q$: $$q = \\sqrt[3]{27} = 3$$\\
\n
  1. Podsumowując, iloraz ciągu $(a_n)$, który poszukiwaliśmy, jest równy 3.\\
\n

Odpowiedź: Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy 3.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

W ciągu geometrycznym:

\n

a_5=a_2q^3.

\n

Podstawiamy dane:

\n

54=2q^3.

\n

Stąd

\n

q^3=27,

\n

czyli

\n

q=3.

"}]}