{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (2𝑚-5, 4, 9) jest arytmetyczny.\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.\nTen ciąg jest\nrosnący\noraz\n1.\n𝑚= -1\nA.\n2.\n𝑚= 2\nmalejący\nB.\n3.\n𝑚= 3\nTrzywyrazowy ciąg (2m-5, 4, 9) jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m=-1 2. m=2 3. m=3","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący;\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i miejsc zerowych\n\nWszystkie odpowiedzi mają postać kanoniczną \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-p)^2 + q\\), więc parabola jest skierowana **ku górze** (współczynnik \\(\\frac{1}{2} > 0\\)), a wierzchołek to \\(W = (p, q)\\).\n\n**Krok 1: Eliminuj odpowiedzi A i B - brak miejsc zerowych.**\n\nOdpowiedzi A i B mają \\(q = 2 > 0\\), czyli wierzchołek jest **powyżej** osi \\(Ox\\). Parabola skierowana ku górze z wierzchołkiem powyżej osi nie przecina osi \\(Ox\\) - **brak miejsc zerowych**. To sprzeczne z treścią zadania (parabola przecina oś \\(Ox\\)).\n\nZostają tylko **C** i **D**.\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe odpowiedzi C i D.**\n\n**Dla C:** \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2 = 0\\]\n\\[(x-1)^2 = 4\\]\n\\[x - 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\nMiejsca zerowe: \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\n**Dla D:** \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2 = 0\\]\n\\[(x+1)^2 = 4\\]\n\\[x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\nMiejsca zerowe: \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\n**Krok 3: Odczyt z rysunku - który wierzchołek?**\n\nZ rysunku wynika, że wierzchołek paraboli leży **po prawej stronie osi** \\(Oy\\), czyli ma dodatnią współrzędną \\(x\\).\n\n- **C**: wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - po prawej stronie osi \\(Oy\\) ✓\n- **D**: wierzchołek \\(W = (-1, -2)\\) - po lewej stronie osi \\(Oy\\) ✗\n\n**Odpowiedź: C** - \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie kształtu paraboli\n\nMając odpowiedź C, skonstruujmy całą parabolę i sprawdźmy spójność z rysunkiem.\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]\n\n| Element | Wartość |\n| Wierzchołek | \\(W = (1, -2)\\) |\n| Oś symetrii | \\(x = 1\\) |\n| Miejsca zerowe | \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) |\n| Wartość \\(f(0)\\) | \\(\\frac{1}{2}(0-1)^2 - 2 = \\frac{1}{2} - 2 = -\\frac{3}{2}\\) |\n\nOś symetrii \\(x = 1\\) leży w połowie między \\(x_1 = -1\\) a \\(x_2 = 3\\):\n\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nWszystko jest spójne. Parabola jest symetryczna względem prostej \\(x = 1\\), przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\), a jej wierzchołek \\((1, -2)\\) ma obie współrzędne całkowite - zgodnie z warunkami zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\). Użyliśmy jej do odczytania wierzchołka z każdej odpowiedzi.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe z postaci kanonicznej:\n\\[a(x-p)^2 + q = 0 \\implies (x-p)^2 = -\\frac{q}{a} \\implies x = p \\pm \\sqrt{-\\frac{q}{a}}\\]\nUżyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia miejsc zerowych odpowiedzi C i D.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wierzchołek | Błąd |\n| **A** | \\((1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Wierzchołek powyżej osi + ramiona ku górze → **brak przecięć z \\(Ox\\)**, sprzecznie z rysunkiem |\n| **B** | \\((-1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Tak samo jak A - brak miejsc zerowych; dodatkowo zły znak przesunięcia w poziomie |\n| **D** | \\((-1, -2)\\) - po lewej od \\(Oy\\) | Warunek całkowitości spełniony, ale wierzchołek po lewej stronie osi \\(Oy\\), co nie zgadza się z rysunkiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\), a nie \\((-p, q)\\)! Łatwo się pomylić: \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\) ma wierzchołek w \\((-1, -2)\\), bo \\(p = -1\\) (stąd \\(x - (-1) = x + 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana ku górze (\\(a > 0\\)) z wierzchołkiem **powyżej** osi \\(Ox\\) (tj. \\(q > 0\\)) **nigdy** nie przecina osi \\(Ox\\) - to eliminuje odpowiedzi A i B bez żadnych obliczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy zostają dwie sensowne odpowiedzi (C i D), nie zgaduj - **odczytaj dokładnie z rysunku** po której stronie osi \\(Oy\\) leży wierzchołek. To jedyna różnica między C a D.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\((1,-2)\\), więc \\(f(x) = a(x-1)^2 - 2\\).\nJeden z pierwiastków: \\((3, 0)\\):\n\\(0 = a(3-1)^2 - 2 \\Rightarrow 4a = 2 \\Rightarrow a = \\tfrac{1}{2}.\\)\nStąd \\(f(x) = \\tfrac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = -1\\): \\(\\tfrac{1}{2}(-2)^2 - 2 = 2 - 2 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - wierzchołek byłby na dodatniej wysokości.\n- **D.** \\((x+1)^2\\) dałoby wierzchołek przy \\(x=-1\\), nie \\(x=1\\).\n\n**Trik:** \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\); wierzchołek = \\((p,q)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Trzywyrazowy ciąg (2𝑚-5, 4, 9) jest arytmetyczny.<br>Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.<br>Ten ciąg jest<br>rosnący<br>oraz<br>1.<br>𝑚= -1<br>A.<br>2.<br>𝑚= 2<br>malejący<br>B.<br>3.<br>𝑚= 3<br>Trzywyrazowy ciąg (2m-5, 4, 9) jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m=-1 2. m=2 3. m=3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>VI.2) w prostych przypadkach bada, czy<br>ciąg jest rosnący, czy malejący;<br>VI.6) wykorzystuje własności ciągów […]<br>arytmetycznych […] do rozwiązywania<br>zadań […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Analiza wierzchołka i miejsc zerowych</h4>\n<p>Wszystkie odpowiedzi mają postać kanoniczną \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-p)^2 + q\\), więc parabola jest skierowana <strong>ku górze</strong> (współczynnik \\(\\frac{1}{2} &gt; 0\\)), a wierzchołek to \\(W = (p, q)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Eliminuj odpowiedzi A i B - brak miejsc zerowych.</strong></p>\n<p>Odpowiedzi A i B mają \\(q = 2 &gt; 0\\), czyli wierzchołek jest <strong>powyżej</strong> osi \\(Ox\\). Parabola skierowana ku górze z wierzchołkiem powyżej osi nie przecina osi \\(Ox\\) - <strong>brak miejsc zerowych</strong>. To sprzeczne z treścią zadania (parabola przecina oś \\(Ox\\)).</p>\n<p>Zostają tylko <strong>C</strong> i <strong>D</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe odpowiedzi C i D.</strong></p>\n<p><strong>Dla C:</strong> \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2 = 0\\]<br>\\[(x-1)^2 = 4\\]<br>\\[x - 1 = \\pm 2\\]<br>\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]</p>\n<p>Wierzchołek: \\(W = (1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓</p>\n<p>Miejsca zerowe: \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓</p>\n<p><strong>Dla D:</strong> \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\)</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2 = 0\\]<br>\\[(x+1)^2 = 4\\]<br>\\[x + 1 = \\pm 2\\]<br>\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]</p>\n<p>Wierzchołek: \\(W = (-1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓</p>\n<p>Miejsca zerowe: \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓</p>\n<p><strong>Krok 3: Odczyt z rysunku - który wierzchołek?</strong></p>\n<p>Z rysunku wynika, że wierzchołek paraboli leży <strong>po prawej stronie osi</strong> \\(Oy\\), czyli ma dodatnią współrzędną \\(x\\).</p>\n<ul><li><strong>C</strong>: wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - po prawej stronie osi \\(Oy\\) ✓</li><li><strong>D</strong>: wierzchołek \\(W = (-1, -2)\\) - po lewej stronie osi \\(Oy\\) ✗</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong> - \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie kształtu paraboli</h4>\n<p>Mając odpowiedź C, skonstruujmy całą parabolę i sprawdźmy spójność z rysunkiem.</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]</p>\n<p>| Element | Wartość |<br>| Wierzchołek | \\(W = (1, -2)\\) |<br>| Oś symetrii | \\(x = 1\\) |<br>| Miejsca zerowe | \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) |<br>| Wartość \\(f(0)\\) | \\(\\frac{1}{2}(0-1)^2 - 2 = \\frac{1}{2} - 2 = -\\frac{3}{2}\\) |</p>\n<p>Oś symetrii \\(x = 1\\) leży w połowie między \\(x_1 = -1\\) a \\(x_2 = 3\\):<br>\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wszystko jest spójne. Parabola jest symetryczna względem prostej \\(x = 1\\), przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\), a jej wierzchołek \\((1, -2)\\) ma obie współrzędne całkowite - zgodnie z warunkami zadania.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>gdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\). Użyliśmy jej do odczytania wierzchołka z każdej odpowiedzi.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - miejsca zerowe z postaci kanonicznej:<br>\\[a(x-p)^2 + q = 0 \\implies (x-p)^2 = -\\frac{q}{a} \\implies x = p \\pm \\sqrt{-\\frac{q}{a}}\\]<br>Użyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia miejsc zerowych odpowiedzi C i D.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wierzchołek | Błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\((1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Wierzchołek powyżej osi + ramiona ku górze → <strong>brak przecięć z \\(Ox\\)</strong>, sprzecznie z rysunkiem |<br>| <strong>B</strong> | \\((-1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Tak samo jak A - brak miejsc zerowych; dodatkowo zły znak przesunięcia w poziomie |<br>| <strong>D</strong> | \\((-1, -2)\\) - po lewej od \\(Oy\\) | Warunek całkowitości spełniony, ale wierzchołek po lewej stronie osi \\(Oy\\), co nie zgadza się z rysunkiem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\), a nie \\((-p, q)\\)! Łatwo się pomylić: \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\) ma wierzchołek w \\((-1, -2)\\), bo \\(p = -1\\) (stąd \\(x - (-1) = x + 1\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola skierowana ku górze (\\(a &gt; 0\\)) z wierzchołkiem <strong>powyżej</strong> osi \\(Ox\\) (tj. \\(q &gt; 0\\)) <strong>nigdy</strong> nie przecina osi \\(Ox\\) - to eliminuje odpowiedzi A i B bez żadnych obliczeń.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy zostają dwie sensowne odpowiedzi (C i D), nie zgaduj - <strong>odczytaj dokładnie z rysunku</strong> po której stronie osi \\(Oy\\) leży wierzchołek. To jedyna różnica między C a D.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>Wierzchołek \\((1,-2)\\), więc \\(f(x) = a(x-1)^2 - 2\\).<br>Jeden z pierwiastków: \\((3, 0)\\):<br>\\(0 = a(3-1)^2 - 2 \\Rightarrow 4a = 2 \\Rightarrow a = \\tfrac{1}{2}.\\)<br>Stąd \\(f(x) = \\tfrac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(x = -1\\): \\(\\tfrac{1}{2}(-2)^2 - 2 = 2 - 2 = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B.</strong> \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - wierzchołek byłby na dodatniej wysokości.</li><li><strong>D.</strong> \\((x+1)^2\\) dałoby wierzchołek przy \\(x=-1\\), nie \\(x=1\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\); wierzchołek = \\((p,q)\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:</p>\n<p>4=((2m-5)+9)/(2).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>8=2m+4,</p>\n<p>2m=4,</p>\n<p>m=2.</p>\n<p>Ciąg ma wtedy postać</p>\n<p>(-1,4,9),</p>\n<p>więc jest rosnący. Wybieramy odpowiedzi A oraz 2.</p>"}]}