{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 24\n25\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 7\n18\nB. 7\n24\nC. 7\n25\nD. 18\n25\n\nMMAP-P0_100\nKąt α jest ostry oraz cosα=24/25. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 7/18 B. 7/24 C. 7/25 D. 18/25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (od drugiego wzwyż) jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy znane wartości: \\(a_1 = 2m - 5\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 9\\):\n\n\\[4 = \\frac{(2m - 5) + 9}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{2m + 4}{2}\\]\n\n\\[8 = 2m + 4\\]\n\n\\[2m = 4\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(m = 2\\) ciąg to \\((2\\cdot2 - 5,\\ 4,\\ 9) = (-1,\\ 4,\\ 9)\\).\nRóżnica: \\(4 - (-1) = 5\\) i \\(9 - 4 = 5\\). ✓ Ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 5\\).\n\n## Sposób 2 - Stała różnica (definicja ciągu arytmetycznego)\n\nZ definicji: w ciągu arytmetycznym **różnica między kolejnymi wyrazami jest stała**:\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[4 - (2m - 5) = 9 - 4\\]\n\n\\[4 - 2m + 5 = 5\\]\n\n\\[9 - 2m = 5\\]\n\n\\[-2m = -4\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tej własności w **Sposobie 1** - wyraz \\(a_2 = 4\\) musi być średnią \\(a_1\\) i \\(a_3\\).\n\nRównoważnie: definicja stałej różnicy \\(a_{n} - a_{n-1} = r = \\text{const}\\) - użyta w **Sposobie 2**.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(-1\\) | Uczeń myli wynik: oblicza \\(a_1 = 2m-5\\) i wpisuje wartość \\(a_1 = -1\\) zamiast wartości \\(m\\). Dla \\(m=2\\) rzeczywiście \\(a_1 = -1\\), ale to wartość wyrazu, nie \\(m\\)! |\n| C: \\(3\\) | Błąd w rozwiązaniu równania - np. przeoczenie znaku minus przy otwieraniu nawiasu: \\(4-(2m-5) \\neq 4-2m-5\\). Prowadzi do \\(9-2m=5 \\Rightarrow m=2\\), więc by dostać \\(3\\) trzeba błędnie zapisać \\(4+2m-5=5 \\Rightarrow m=3\\). |\n| D: \\(\\tfrac{61}{18}\\) | Wynik z całkowicie błędnego ustawienia równania, np. pomylenia indeksów lub podstawienia do wzoru ogólnego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z nieznanym \\(r\\) bez drugiego równania. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wartości \\(m\\) z wartością wyrazu \\(a_1\\). Pytanie brzmi „liczba \\(m\\) jest równa\" - dla \\(m = 2\\) mamy \\(a_1 = -1\\), co jest odpowiedzią A. Wielu uczniów zaznacza A właśnie z tego powodu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy otwieraniu nawiasu \\(-(2m-5)\\) pamiętaj o zmianie obu znaków: \\(-2m + 5\\), nie \\(-2m - 5\\). To najczęstsze miejsce błędu w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik - wstaw \\(m\\) z powrotem do ciągu i zweryfikuj, czy różnice są równe. Zajmuje to 10 sekund i eliminuje przypadkowe błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\dfrac{a_1 + a_3}{2}\\).\n\\(4 = \\dfrac{(2m-5) + 9}{2} \\Rightarrow 8 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Różnica stała\n\\(4 - (2m-5) = 9 - 4 \\Rightarrow 9 - 2m = 5 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)** - daje \\(a_1 = -7\\), różnice: \\(11\\) i \\(5\\) - nie stała.\n- **C. \\(3\\)** - \\(a_1 = 1\\), różnice: \\(3\\) i \\(5\\).\n- **D. \\(\\tfrac{61}{18}\\)** - niepoprawna wartość.\n\n**Trik:** środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Kąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 24
25
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta 𝛼 jest równy
A. 7
18
B. 7
24
C. 7
25
D. 18
25

\n

MMAP-P0_100
Kąt α jest ostry oraz cosα=24/25. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 7/18 B. 7/24 C. 7/25 D. 18/25

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.2) korzysta z wzorów
sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=
sin 𝛼
cos𝛼 .
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 2\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego

\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (od drugiego wzwyż) jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

\n

\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]

\n

Podstawiamy znane wartości: \\(a_1 = 2m - 5\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 9\\):

\n

\\[4 = \\frac{(2m - 5) + 9}{2}\\]

\n

\\[4 = \\frac{2m + 4}{2}\\]

\n

\\[8 = 2m + 4\\]

\n

\\[2m = 4\\]

\n

\\[\\boxed{m = 2}\\]

\n

Sprawdzenie: dla \\(m = 2\\) ciąg to \\((2\\cdot2 - 5,\\ 4,\\ 9) = (-1,\\ 4,\\ 9)\\).
Różnica: \\(4 - (-1) = 5\\) i \\(9 - 4 = 5\\). ✓ Ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 5\\).

\n

Sposób 2 - Stała różnica (definicja ciągu arytmetycznego)

\n

Z definicji: w ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

\n

\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[4 - (2m - 5) = 9 - 4\\]

\n

\\[4 - 2m + 5 = 5\\]

\n

\\[9 - 2m = 5\\]

\n

\\[-2m = -4\\]

\n

\\[\\boxed{m = 2}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tej własności w Sposobie 1 - wyraz \\(a_2 = 4\\) musi być średnią \\(a_1\\) i \\(a_3\\).

\n

Równoważnie: definicja stałej różnicy \\(a_{n} - a_{n-1} = r = \\text{const}\\) - użyta w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(-1\\) | Uczeń myli wynik: oblicza \\(a_1 = 2m-5\\) i wpisuje wartość \\(a_1 = -1\\) zamiast wartości \\(m\\). Dla \\(m=2\\) rzeczywiście \\(a_1 = -1\\), ale to wartość wyrazu, nie \\(m\\)! |
| C: \\(3\\) | Błąd w rozwiązaniu równania - np. przeoczenie znaku minus przy otwieraniu nawiasu: \\(4-(2m-5) \\neq 4-2m-5\\). Prowadzi do \\(9-2m=5 \\Rightarrow m=2\\), więc by dostać \\(3\\) trzeba błędnie zapisać \\(4+2m-5=5 \\Rightarrow m=3\\). |
| D: \\(\\tfrac{61}{18}\\) | Wynik z całkowicie błędnego ustawienia równania, np. pomylenia indeksów lub podstawienia do wzoru ogólnego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z nieznanym \\(r\\) bez drugiego równania. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wartości \\(m\\) z wartością wyrazu \\(a_1\\). Pytanie brzmi „liczba \\(m\\) jest równa" - dla \\(m = 2\\) mamy \\(a_1 = -1\\), co jest odpowiedzią A. Wielu uczniów zaznacza A właśnie z tego powodu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy otwieraniu nawiasu \\(-(2m-5)\\) pamiętaj o zmianie obu znaków: \\(-2m + 5\\), nie \\(-2m - 5\\). To najczęstsze miejsce błędu w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik - wstaw \\(m\\) z powrotem do ciągu i zweryfikuj, czy różnice są równe. Zajmuje to 10 sekund i eliminuje przypadkowe błędy.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Własność średniej
\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\dfrac{a_1 + a_3}{2}\\).
\\(4 = \\dfrac{(2m-5) + 9}{2} \\Rightarrow 8 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2.\\)

\n
Sposób 2 - Różnica stała
\n

\\(4 - (2m-5) = 9 - 4 \\Rightarrow 9 - 2m = 5 \\Rightarrow m = 2.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby obliczyć tangens kąta, używamy wzoru $\\displaystyle \\small\\tan \\alpha = \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$. Ponieważ z $\\displaystyle \\small\\cos \\alpha = \\frac{24}{25}$, to korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy $\\sin \\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2 \\alpha} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{24}{25}\\right)^2} = \\frac{7}{25}$, więc $\\displaystyle \\small\\tan \\alpha = \\displaystyle\\frac{\\frac{7}{25}}{\\frac{24}{25}} = \\frac{7}{24}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Dla kąta ostrego:

\n

cosα=(24)/(25).

\n

Możemy przyjąć, że w trójkącie prostokątnym przyprostokątna przyległa ma długość 24 , a przeciwprostokątna 25 .

\n

Druga przyprostokątna ma długość:

\n

√(25^2-24^2)=√(625-576)=√(49)=7.

\n

Zatem

\n

tanα=(7)/(24).

"}]}