{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶 sinus kąta 𝐶𝐴𝐵 jest równy 3\n5\n, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵\njest o 8 dłuższa od przyprostokątnej 𝐵𝐶.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 tego trójkąta jest równa\nA. 18\nB. 20\nC. 24\nD. 25\nW trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy 3/5, a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 24 D. 25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - iloraz \\(q = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego\n\nW ciągu geometrycznym \\(n\\)-ty wyraz to:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 2\\]\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 54\\]\n\n**Dzielimy stronami** drugie równanie przez pierwsze (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{54}{2}\\]\n\\[q^3 = 27\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{27} = 3\\]\n\n**Iloraz ciągu wynosi \\(q = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio przez kolejne wyrazy\n\nMiędzy wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) mamy **3 \"skoki\"** (mnożenia przez \\(q\\)):\n\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]\n\nbo \\(a_5 = a_2 \\cdot q^{5-2} = a_2 \\cdot q^3\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[54 = 2 \\cdot q^3\\]\n\\[q^3 = 27\\]\n\\[q = 3\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(q = 3\\) i \\(a_2 = 2\\):\n\\[a_1 = \\frac{2}{3}, \\quad a_2 = 2, \\quad a_3 = 6, \\quad a_4 = 18, \\quad a_5 = 54 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_2\\) i \\(a_5\\) jako układu równań.\n\nKluczowa własność (wynikająca z wzoru ogólnego):\n\\[a_m = a_k \\cdot q^{m-k}\\]\nUżyliśmy jej bezpośrednio w Sposobie 2 - różnica indeksów \\(5 - 2 = 3\\) daje potęgę \\(q^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{54}{2} = 27\\) i myśli, że to \\(q\\), a nie \\(q^3\\). Pomija, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **trzy** mnożenia, nie jedno. |\n| C: \\(\\frac{52}{3}\\) | Uczeń odejmuje: \\(54 - 2 = 52\\), a potem dzieli przez \\(3\\) (różnicę indeksów). To błąd ciągu arytmetycznego zastosowany do geometrycznego! |\n| D: \\(27\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(q^3 = 27\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek sześcienny** i podaje \\(q^3\\) zamiast \\(q\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **3 mnożenia** przez \\(q\\) (indeksy: 2→3→4→5), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\), **nie** \\(q^2\\) ani \\(q^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q^3 = 27\\) to nie odpowiedź - trzeba wyciągnąć pierwiastek: \\(q = \\sqrt[3]{27} = 3\\). To częsty błąd pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - w geometrycznym dzielimy kolejne wyrazy (iloraz \\(q\\)), nie odejmujemy (różnica \\(r\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny\n\\(a_5 = a_2 \\cdot q^{3}\\). Stąd \\(54 = 2\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = 27 \\Rightarrow q = 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Iloraz kolejnych\n\\(\\dfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^{3} = \\dfrac{54}{2} = 27 \\Rightarrow q = \\sqrt[3]{27} = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(9\\)** - to \\(q^{2}\\), nie \\(q\\).\n- **C. \\(\\tfrac{52}{3}\\)** - różnica \\(54-2\\) dzielona, myślenie arytmetyczne.\n- **D. \\(27\\)** - to \\(q^{3}\\), nie \\(q\\).\n\n**Trik:** \\(\\dfrac{a_m}{a_n} = q^{m-n}\\) w ciągu geometrycznym.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>W trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶 sinus kąta 𝐶𝐴𝐵 jest równy 3<br>5<br>, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵<br>jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej 𝐵𝐶.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 tego trójkąta jest równa<br>A. 18<br>B. 20<br>C. 24<br>D. 25<br>W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy 3/5, a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 24 D. 25</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego<br>boków przy odpowiednich danych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - iloraz \\(q = 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym \\(n\\)-ty wyraz to:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]</p>\n<p>Zapisujemy dwa równania na podstawie danych:<br>\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 2\\]<br>\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 54\\]</p>\n<p><strong>Dzielimy stronami</strong> drugie równanie przez pierwsze (eliminujemy \\(a_1\\)):<br>\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{54}{2}\\]<br>\\[q^3 = 27\\]<br>\\[q = \\sqrt[3]{27} = 3\\]</p>\n<p><strong>Iloraz ciągu wynosi \\(q = 3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio przez kolejne wyrazy</h4>\n<p>Między wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) mamy <strong>3 &quot;skoki&quot;</strong> (mnożenia przez \\(q\\)):<br>\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]</p>\n<p>bo \\(a_5 = a_2 \\cdot q^{5-2} = a_2 \\cdot q^3\\).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[54 = 2 \\cdot q^3\\]<br>\\[q^3 = 27\\]<br>\\[q = 3\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Przy \\(q = 3\\) i \\(a_2 = 2\\):<br>\\[a_1 = \\frac{2}{3}, \\quad a_2 = 2, \\quad a_3 = 6, \\quad a_4 = 18, \\quad a_5 = 54 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_2\\) i \\(a_5\\) jako układu równań.</p>\n<p>Kluczowa własność (wynikająca z wzoru ogólnego):<br>\\[a_m = a_k \\cdot q^{m-k}\\]<br>Użyliśmy jej bezpośrednio w Sposobie 2 - różnica indeksów \\(5 - 2 = 3\\) daje potęgę \\(q^3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B: \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{54}{2} = 27\\) i myśli, że to \\(q\\), a nie \\(q^3\\). Pomija, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są <strong>trzy</strong> mnożenia, nie jedno. |<br>| C: \\(\\frac{52}{3}\\) | Uczeń odejmuje: \\(54 - 2 = 52\\), a potem dzieli przez \\(3\\) (różnicę indeksów). To błąd ciągu arytmetycznego zastosowany do geometrycznego! |<br>| D: \\(27\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(q^3 = 27\\), ale <strong>zapomina wyciągnąć pierwiastek sześcienny</strong> i podaje \\(q^3\\) zamiast \\(q\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Między wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są <strong>3 mnożenia</strong> przez \\(q\\) (indeksy: 2→3→4→5), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\), <strong>nie</strong> \\(q^2\\) ani \\(q^4\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(q^3 = 27\\) to nie odpowiedź - trzeba wyciągnąć pierwiastek: \\(q = \\sqrt[3]{27} = 3\\). To częsty błąd pod presją czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - w geometrycznym dzielimy kolejne wyrazy (iloraz \\(q\\)), nie odejmujemy (różnica \\(r\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór ogólny</h5>\n<p>\\(a_5 = a_2 \\cdot q^{3}\\). Stąd \\(54 = 2\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = 27 \\Rightarrow q = 3.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Iloraz kolejnych</h5>\n<p>\\(\\dfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^{3} = \\dfrac{54}{2} = 27 \\Rightarrow q = \\sqrt[3]{27} = 3.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(9\\)</strong> - to \\(q^{2}\\), nie \\(q\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{52}{3}\\)</strong> - różnica \\(54-2\\) dzielona, myślenie arytmetyczne.</li><li><strong>D. \\(27\\)</strong> - to \\(q^{3}\\), nie \\(q\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\dfrac{a_m}{a_n} = q^{m-n}\\) w ciągu geometrycznym.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, długość przeciwprostokątnej $AB$ wynosi $20$. Skoro sinus kąta $CAB$ to $\\displaystyle \\small \\frac{3}{5}$, to długość przeciwprostokątnej $AB$ możemy zapisać jako $5k$, długość przyprostokątnej $AC$ wynosi wtedy $4k$, a $BC$ to $3k$. Z równania $AB = BC + 8$ otrzymujemy $5k = 3k + 8$, co prowadzi do $k = 4$, a więc przeciwprostokątna ma długość $AB = 5k=20$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ponieważ</p>\n<p>sin∠ CAB=(BC)/(AB)=(3)/(5),</p>\n<p>możemy zapisać:</p>\n<p>BC=3k, AB=5k.</p>\n<p>Przeciwprostokątna jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC , więc</p>\n<p>5k-3k=8.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>2k=8, k=4.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>AB=5k=20.</p>"}]}