{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 5, |𝐴𝐶| = 2 oraz cos|∡𝐵𝐴𝐶| = 3\n5\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku 𝐵𝐶 tego trójkąta jest równa\nA. √17\nB. √23\nC. √35\nD. √41\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz cos|∠BAC|=3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku BC tego trójkąta jest równa A. √17 B. √23 C. √35 D. √41","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(a_3 = 7\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz przez różnicę sum\n\nKorzystamy z podstawowej zależności między \\(n\\)-tym wyrazem ciągu a sumą jego wyrazów:\n\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nMamy dany wzór:\n\\[S_n = n^2 + 2n\\]\n\nObliczamy \\(S_3\\) i \\(S_2\\):\n\\[S_3 = 3^2 + 2 \\cdot 3 = 9 + 6 = 15\\]\n\\[S_2 = 2^2 + 2 \\cdot 2 = 4 + 4 = 8\\]\n\nZatem:\n\\[a_3 = S_3 - S_2 = 15 - 8 = \\mathbf{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie ogólnego wzoru na \\(a_n\\) i sprawdzenie\n\nWyznaczmy ogólny wzór na \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\):\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - \\bigl((n-1)^2 + 2(n-1)\\bigr)\\]\n\\[= n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1) - (2n - 2)\\]\n\\[= n^2 + 2n - n^2 + 2n - 1 - 2n + 2\\]\n\\[= 2n + 1\\]\n\nSprawdzamy dla \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = 2 \\cdot 3 + 1 = \\mathbf{7}\\]\n\n**Bonus - weryfikacja spójności wzoru dla \\(a_1\\):**\n\nZe wzoru ogólnego: \\(a_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\)\n\nZe wzoru na sumę: \\(S_1 = 1^2 + 2 \\cdot 1 = 3\\), a \\(S_1 = a_1\\), więc \\(a_1 = 3\\). ✓\n\nWzór \\(a_n = 2n + 1\\) działa też dla \\(n = 1\\), ciąg jest **arytmetyczny** z różnicą \\(r = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - zależność między wyrazem a sumą:\n\nChoć karta nie podaje tego wzoru wprost jako osobnej pozycji, wynika on bezpośrednio z definicji sumy częściowej:\n\\[S_n = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\\]\n\\[S_{n-1} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{n-1}\\]\n\\[\\Rightarrow \\quad a_n = S_n - S_{n-1} \\quad (n \\geq 2)\\]\n\nJest to wzór, który **każdy maturzysta musi znać na pamięć** - stosuje się go za każdym razem, gdy podana jest suma zamiast ogólnego wyrazu.\n\nPrzy okazji - ze Sposobu 2 wyszło, że to ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 3\\), \\(r = 2\\). Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta, dział 8):\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{6 + (n-1) \\cdot 2}{2} \\cdot n = (2n + 4) \\cdot \\frac{n}{2} = n^2 + 2n\\]\n\nZgadza się z danym wzorem ✓ - piękna weryfikacja!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Co uczeń policzył |\n| A (\\(5\\)) | Policzono \\(a_2 = S_2 - S_1 = 8 - 3 = 5\\) - o jeden indeks za wcześnie | Wyznaczył drugi, nie trzeci wyraz |\n| C (\\(13\\)) | Wzięto \\(S_3 - S_1 = 15 - 3 = 12\\) lub inne błędne odejmowanie - i zaokrąglono | Błąd przy wyborze odejmowanych sum |\n| D (\\(15\\)) | Wprost odczytano \\(S_3 = 15\\) - **klasyczna pułapka!** | Pomylono sumę \\(S_3\\) z wyrazem \\(a_3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to utożsamienie \\(S_n\\) z \\(a_n\\). \\(S_3 = 15\\) to **suma trzech wyrazów**, nie trzeci wyraz. Odpowiedź D to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) mamy \\(a_1 = S_1\\) - sprawdź osobno, czy wzór ogólny się zgadza!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić indeksy - \\(a_3\\) liczymy jako \\(S_3 - S_2\\), nie \\(S_2 - S_1\\) (to byłoby \\(a_2\\)). Zawsze zapisz co odejmujesz, zanim zaczniesz liczyć.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Różnica sum\n\\(a_3 = S_3 - S_2\\).\n\\(S_3 = 9 + 6 = 15\\), \\(S_2 = 4 + 4 = 8\\). Stąd \\(a_3 = 15 - 8 = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nZauważmy, że \\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = 2n + 1\\) dla \\(n\\ge 2\\).\nDla \\(n=3\\): \\(a_3 = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\)** - to \\(a_2\\).\n- **C. \\(13\\)** - nieprawidłowe dodawanie.\n- **D. \\(15\\)** - to \\(S_3\\), nie \\(a_3\\).\n\n**Trik:** \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 5, |𝐴𝐶| = 2 oraz cos|∡𝐵𝐴𝐶| = 3<br>5<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Długość boku 𝐵𝐶 tego trójkąta jest równa<br>A. √17<br>B. √23<br>C. √35<br>D. √41</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz cos|∠BAC|=3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku BC tego trójkąta jest równa A. √17 B. √23 C. √35 D. √41</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego<br>boków przy odpowiednich danych<br>(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem<br>twierdzenia cosinusów).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(a_3 = 7\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz przez różnicę sum</h4>\n<p>Korzystamy z podstawowej zależności między \\(n\\)-tym wyrazem ciągu a sumą jego wyrazów:</p>\n<p>\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]</p>\n<p>Mamy dany wzór:<br>\\[S_n = n^2 + 2n\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(S_3\\) i \\(S_2\\):<br>\\[S_3 = 3^2 + 2 \\cdot 3 = 9 + 6 = 15\\]<br>\\[S_2 = 2^2 + 2 \\cdot 2 = 4 + 4 = 8\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[a_3 = S_3 - S_2 = 15 - 8 = \\mathbf{7}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie ogólnego wzoru na \\(a_n\\) i sprawdzenie</h4>\n<p>Wyznaczmy ogólny wzór na \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\):<br>\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - \\bigl((n-1)^2 + 2(n-1)\\bigr)\\]<br>\\[= n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1) - (2n - 2)\\]<br>\\[= n^2 + 2n - n^2 + 2n - 1 - 2n + 2\\]<br>\\[= 2n + 1\\]</p>\n<p>Sprawdzamy dla \\(n = 3\\):<br>\\[a_3 = 2 \\cdot 3 + 1 = \\mathbf{7}\\]</p>\n<p><strong>Bonus - weryfikacja spójności wzoru dla \\(a_1\\):</strong></p>\n<p>Ze wzoru ogólnego: \\(a_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\)</p>\n<p>Ze wzoru na sumę: \\(S_1 = 1^2 + 2 \\cdot 1 = 3\\), a \\(S_1 = a_1\\), więc \\(a_1 = 3\\). ✓</p>\n<p>Wzór \\(a_n = 2n + 1\\) działa też dla \\(n = 1\\), ciąg jest <strong>arytmetyczny</strong> z różnicą \\(r = 2\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - zależność między wyrazem a sumą:</p>\n<p>Choć karta nie podaje tego wzoru wprost jako osobnej pozycji, wynika on bezpośrednio z definicji sumy częściowej:<br>\\[S_n = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\\]<br>\\[S_{n-1} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{n-1}\\]<br>\\[\\Rightarrow \\quad a_n = S_n - S_{n-1} \\quad (n \\geq 2)\\]</p>\n<p>Jest to wzór, który <strong>każdy maturzysta musi znać na pamięć</strong> - stosuje się go za każdym razem, gdy podana jest suma zamiast ogólnego wyrazu.</p>\n<p>Przy okazji - ze Sposobu 2 wyszło, że to ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 3\\), \\(r = 2\\). Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta, dział 8):<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{6 + (n-1) \\cdot 2}{2} \\cdot n = (2n + 4) \\cdot \\frac{n}{2} = n^2 + 2n\\]</p>\n<p>Zgadza się z danym wzorem ✓ - piękna weryfikacja!</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd | Co uczeń policzył |<br>| A (\\(5\\)) | Policzono \\(a_2 = S_2 - S_1 = 8 - 3 = 5\\) - o jeden indeks za wcześnie | Wyznaczył drugi, nie trzeci wyraz |<br>| C (\\(13\\)) | Wzięto \\(S_3 - S_1 = 15 - 3 = 12\\) lub inne błędne odejmowanie - i zaokrąglono | Błąd przy wyborze odejmowanych sum |<br>| D (\\(15\\)) | Wprost odczytano \\(S_3 = 15\\) - <strong>klasyczna pułapka!</strong> | Pomylono sumę \\(S_3\\) z wyrazem \\(a_3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to utożsamienie \\(S_n\\) z \\(a_n\\). \\(S_3 = 15\\) to <strong>suma trzech wyrazów</strong>, nie trzeci wyraz. Odpowiedź D to właśnie ta pułapka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) mamy \\(a_1 = S_1\\) - sprawdź osobno, czy wzór ogólny się zgadza!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić indeksy - \\(a_3\\) liczymy jako \\(S_3 - S_2\\), nie \\(S_2 - S_1\\) (to byłoby \\(a_2\\)). Zawsze zapisz co odejmujesz, zanim zaczniesz liczyć.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Różnica sum</h5>\n<p>\\(a_3 = S_3 - S_2\\).<br>\\(S_3 = 9 + 6 = 15\\), \\(S_2 = 4 + 4 = 8\\). Stąd \\(a_3 = 15 - 8 = 7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza</h5>\n<p>Zauważmy, że \\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = 2n + 1\\) dla \\(n\\ge 2\\).<br>Dla \\(n=3\\): \\(a_3 = 7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(5\\)</strong> - to \\(a_2\\).</li><li><strong>C. \\(13\\)</strong> - nieprawidłowe dodawanie.</li><li><strong>D. \\(15\\)</strong> - to \\(S_3\\), nie \\(a_3\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, długość boku $BC$ można obliczyć przy użyciu twierdzenia cosinusów:<br>$\\displaystyle \\small|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \\cdot \\frac{3}{5}$.<br>Po podstawieniu $|AB| = 5$, $|AC| = 2$ oraz obliczeniach otrzymujemy $|BC| = \\sqrt{17}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy z twierdzenia cosinusów:</p>\n<p>BC^2=AB^2+AC^2-2· AB· AC·cos∠ BAC.</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>BC^2=5^2+2^2-2·5·2·(3)/(5).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>BC^2=25+4-12=17,</p>\n<p>więc</p>\n<p>BC=√(17).</p>"}]}