{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Miara kąta 𝐾𝑆𝑀 jest równa 160°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta wpisanego 𝐾𝐿𝑀 jest równa\nA. 80°\nB. 90°\nC. 100°\nD. 110°\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n𝑆 160°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty K, L oraz M leżą na okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta KSM jest równa 160° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta wpisanego KLM jest równa A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(AB = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z definicji sinusa\n\n**Oznaczamy boki trójkąta:**\n- \\(AB = c\\) - przeciwprostokątna (szukana)\n- \\(BC = a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(CAB\\)\n- \\(AC = b\\) - druga przyprostokątna\n\n**Krok 1: Sinus kąta \\(CAB\\)**\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin(\\angle CAB) = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{c} = \\frac{3}{5}\\]\n\nStąd: \\(a = \\frac{3}{5}c\\), czyli:\n\\[BC = \\frac{3}{5} \\cdot AB\\]\n\n**Krok 2: Warunek na długości**\n\nPrzeciwprostokątna jest o \\(8\\) dłuższa od przyprostokątnej \\(BC\\):\n\\[AB = BC + 8 \\implies c = a + 8\\]\n\n**Krok 3: Podstawienie**\n\n\\[c = \\frac{3}{5}c + 8\\]\n\\[c - \\frac{3}{5}c = 8\\]\n\\[\\frac{2}{5}c = 8\\]\n\\[\\boxed{c = 20}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez trójkę pitagorejską\n\n**Zauważamy:** \\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{3}{5}\\) natychmiast sugeruje trójkę pitagorejską \\((3, 4, 5)\\).\n\nBoki są proporcjonalne: \\(BC : AC : AB = 3 : 4 : 5\\).\n\nNiech \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\). Wtedy:\n\\[AB - BC = 5k - 3k = 2k = 8 \\implies k = 4\\]\n\nZatem:\n\\[AB = 5k = 5 \\cdot 4 = \\boxed{20}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\(BC = 3 \\cdot 4 = 12\\), \\(AC = 4 \\cdot 4 = 16\\), \\(AB = 20\\)\n- \\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{12}{20} = \\frac{3}{5}\\) ✓\n- \\(AB - BC = 20 - 12 = 8\\) ✓\n- Twierdzenie Pitagorasa: \\(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna.\nUżyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{5}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(18\\)) | Pomylenie, która przyprostokątna jest naprzeciwko kąta - wzięcie \\(AC\\) zamiast \\(BC\\): \\(\\frac{AC}{AB} = \\frac{3}{5}\\), wtedy \\(AC = \\frac{3}{5}c\\), \\(c - \\frac{3}{5}c = 8\\), ale wynik znów daje 20, więc tu błąd polega na założeniu złej różnicy (np. \\(AB - AC = 8\\) przy błędnym \\(\\frac{4}{5}c\\)). Lub błędne równanie \\(\\frac{3}{5}c = c - 8\\) rozwiązane jako \\(c = \\frac{8 \\cdot 5}{2} = 18\\) |\n| C (\\(24\\)) | Błąd: przyjęcie \\(\\sin = \\frac{AB}{BC}\\) (odwrócenie ułamka) → \\(\\frac{c}{a} = \\frac{3}{5}\\), czyli \\(c = \\frac{3}{5}a\\), a potem \\(a = c + 8\\), co daje \\(c = 12\\) - i wzięcie innego boku, lub arytmetyczna pomyłka |\n| D (\\(25\\)) | Błąd: skojarzenie z trójką \\((3,4,5)\\) bez proporcji - bezpośrednie przyjęcie \\(AB = 5 \\cdot 5 = 25\\) (mnożenie przez 5 zamiast przez 4) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus kąta to przyprostokątna **naprzeciwległa** podzielona przez przeciwprostokątną - nie odwrotnie! Odwrócenie ułamka to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, o ile dłuższa jest **przeciwprostokątna od przyprostokątnej \\(BC\\)** - nie od \\(AC\\)! Treść precyzuje, która para boków jest porównywana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) pojawia się bardzo często na maturze. Gdy widzisz \\(\\sin = \\frac{3}{5}\\) lub \\(\\cos = \\frac{4}{5}\\), od razu myśl o tej trójce - Sposób 2 jest wtedy dużo szybszy!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Definicja sinusa\n\\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{5}\\).\nNiech \\(BC = x\\), wtedy \\(AB = x + 8\\), więc \\(\\dfrac{x}{x+8} = \\dfrac{3}{5}\\).\n\\(5x = 3x + 24 \\Rightarrow x = 12\\). Zatem \\(AB = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\)\nStosunek \\(\\tfrac{3}{5}\\) odpowiada trójkątowi \\(3k, 4k, 5k\\). Tu \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\), różnica \\(AB - BC = 2k = 8 \\Rightarrow k = 4\\). Więc \\(AB = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - daje \\(BC = 10\\), ale \\(\\tfrac{10}{18} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **C. \\(24\\)** - \\(BC = 16\\), \\(\\tfrac{16}{24} = \\tfrac{2}{3}\\).\n- **D. \\(25\\)** - \\(BC = 17\\), \\(\\tfrac{17}{25} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sin = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Punkty 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Miara kąta 𝐾𝑆𝑀 jest równa 160°<br>(zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta wpisanego 𝐾𝐿𝑀 jest równa<br>A. 80°<br>B. 90°<br>C. 100°<br>D. 110°<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑀<br>𝑆 160°</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Punkty K, L oraz M leżą na okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta KSM jest równa 160° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta wpisanego KLM jest równa A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(AB = 20\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z definicji sinusa</h4>\n<p><strong>Oznaczamy boki trójkąta:</strong></p>\n<ul><li>\\(AB = c\\) - przeciwprostokątna (szukana)</li><li>\\(BC = a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(CAB\\)</li><li>\\(AC = b\\) - druga przyprostokątna</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Sinus kąta \\(CAB\\)</strong></p>\n<p>Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin(\\angle CAB) = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{c} = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p>Stąd: \\(a = \\frac{3}{5}c\\), czyli:<br>\\[BC = \\frac{3}{5} \\cdot AB\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Warunek na długości</strong></p>\n<p>Przeciwprostokątna jest o \\(8\\) dłuższa od przyprostokątnej \\(BC\\):<br>\\[AB = BC + 8 \\implies c = a + 8\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawienie</strong></p>\n<p>\\[c = \\frac{3}{5}c + 8\\]<br>\\[c - \\frac{3}{5}c = 8\\]<br>\\[\\frac{2}{5}c = 8\\]<br>\\[\\boxed{c = 20}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez trójkę pitagorejską</h4>\n<p><strong>Zauważamy:</strong> \\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{3}{5}\\) natychmiast sugeruje trójkę pitagorejską \\((3, 4, 5)\\).</p>\n<p>Boki są proporcjonalne: \\(BC : AC : AB = 3 : 4 : 5\\).</p>\n<p>Niech \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\). Wtedy:<br>\\[AB - BC = 5k - 3k = 2k = 8 \\implies k = 4\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[AB = 5k = 5 \\cdot 4 = \\boxed{20}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong></p>\n<ul><li>\\(BC = 3 \\cdot 4 = 12\\), \\(AC = 4 \\cdot 4 = 16\\), \\(AB = 20\\)</li><li>\\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{12}{20} = \\frac{3}{5}\\) ✓</li><li>\\(AB - BC = 20 - 12 = 8\\) ✓</li><li>Twierdzenie Pitagorasa: \\(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]<br>gdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna.<br>Użyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{5}\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(18\\)) | Pomylenie, która przyprostokątna jest naprzeciwko kąta - wzięcie \\(AC\\) zamiast \\(BC\\): \\(\\frac{AC}{AB} = \\frac{3}{5}\\), wtedy \\(AC = \\frac{3}{5}c\\), \\(c - \\frac{3}{5}c = 8\\), ale wynik znów daje 20, więc tu błąd polega na założeniu złej różnicy (np. \\(AB - AC = 8\\) przy błędnym \\(\\frac{4}{5}c\\)). Lub błędne równanie \\(\\frac{3}{5}c = c - 8\\) rozwiązane jako \\(c = \\frac{8 \\cdot 5}{2} = 18\\) |<br>| C (\\(24\\)) | Błąd: przyjęcie \\(\\sin = \\frac{AB}{BC}\\) (odwrócenie ułamka) → \\(\\frac{c}{a} = \\frac{3}{5}\\), czyli \\(c = \\frac{3}{5}a\\), a potem \\(a = c + 8\\), co daje \\(c = 12\\) - i wzięcie innego boku, lub arytmetyczna pomyłka |<br>| D (\\(25\\)) | Błąd: skojarzenie z trójką \\((3,4,5)\\) bez proporcji - bezpośrednie przyjęcie \\(AB = 5 \\cdot 5 = 25\\) (mnożenie przez 5 zamiast przez 4) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sinus kąta to przyprostokątna <strong>naprzeciwległa</strong> podzielona przez przeciwprostokątną - nie odwrotnie! Odwrócenie ułamka to najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, o ile dłuższa jest <strong>przeciwprostokątna od przyprostokątnej \\(BC\\)</strong> - nie od \\(AC\\)! Treść precyzuje, która para boków jest porównywana.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) pojawia się bardzo często na maturze. Gdy widzisz \\(\\sin = \\frac{3}{5}\\) lub \\(\\cos = \\frac{4}{5}\\), od razu myśl o tej trójce - Sposób 2 jest wtedy dużo szybszy!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja sinusa</h5>\n<p>\\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{5}\\).<br>Niech \\(BC = x\\), wtedy \\(AB = x + 8\\), więc \\(\\dfrac{x}{x+8} = \\dfrac{3}{5}\\).<br>\\(5x = 3x + 24 \\Rightarrow x = 12\\). Zatem \\(AB = 20\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\)</h5>\n<p>Stosunek \\(\\tfrac{3}{5}\\) odpowiada trójkątowi \\(3k, 4k, 5k\\). Tu \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\), różnica \\(AB - BC = 2k = 8 \\Rightarrow k = 4\\). Więc \\(AB = 20\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(18\\)</strong> - daje \\(BC = 10\\), ale \\(\\tfrac{10}{18} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).</li><li><strong>C. \\(24\\)</strong> - \\(BC = 16\\), \\(\\tfrac{16}{24} = \\tfrac{2}{3}\\).</li><li><strong>D. \\(25\\)</strong> - \\(BC = 17\\), \\(\\tfrac{17}{25} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sin = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, miara kąta wklęsłego $\\sphericalangle MSK$ wynosi $360^\\circ-160^\\circ=200^\\circ$. Jest to kąt środkowy.<br>Szukany kąt wpisany $\\sphericalangle KLM$ jest oparty na tym samym łuku, co kąt wklęsły $\\sphericalangle MSK$, a więc:<br>$|\\sphericalangle KLM|=200^\\circ:2=100^\\circ$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Punkt S jest środkiem okręgu. Zaznaczony kąt środkowy ma miarę</p>\n<p>160^°.</p>\n<p>Kąt wpisany ∠ KLM jest oparty na drugim, większym łuku KM . Miara tego łuku wynosi:</p>\n<p>360^°-160^°=200^°.</p>\n<p>Miara kąta wpisanego jest równa połowie miary łuku, na którym ten kąt jest oparty, zatem:</p>\n<p>∠ KLM=(200^°)/(2)=100^°.</p>"}]}