Zadanie 20. (0-2)
Podstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 12 oraz |𝐶𝐷| = 6.
Wysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość 24. Na odcinku 𝐴𝐷 leży punkt 𝐸 taki, że
|∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐶𝐸𝐷| (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka 𝑩𝑬. Zapisz obliczenia.
20.
0-1-2
𝐶
𝐷
𝐸
⋅
𝐵
⋅
𝐴
MMAP-P0_100
\nMMAP-P0_100
Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=12 oraz |CD|=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |∠BEA| = |∠CED| (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia.
Zadanie 20. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VIII.8) korzysta z cech podobieństwa
trójkątów.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝐸: |𝐵𝐸| = 20.
1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐷𝐸: |𝐷𝐸| = 8
ALBO
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐸| = 20 albo stosując błędną metodę, uzyskuje |𝐵𝐸| = 20,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa
trójkątów. Stąd
|𝐴𝐸|
|𝐴𝐵| =
|𝐷𝐸|
|𝐶𝐷|
|𝐴𝐸|
12 = 24 -|𝐴𝐸|
6
|𝐴𝐸| = 48 -2|𝐴𝐸|
3|𝐴𝐸| = 48
|𝐴𝐸| = 16
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:
|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2
|𝐵𝐸|2 = 122 + 162
|𝐵𝐸|2 = 400
|𝐵𝐸| = 20
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób II
Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐸 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt
podobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 12
6 = 2.
Stąd |𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸|.
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:
|𝐴𝐷| = 24
|𝐴𝐸| + |𝐷𝐸| = 24
2|𝐷𝐸| + |𝐷𝐸| = 24
3|𝐷𝐸| = 24
|𝐷𝐸| = 8
|𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸| = 16
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:
|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2
|𝐵𝐸|2 = 122 + 162
|𝐵𝐸|2 = 400
|𝐵𝐸| = 20
Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej.
\nWiemy, że:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Podstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\):
\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{24}{25}\\right)^2 = 1\\]
\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{576}{625} = 1\\]
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{576}{625} = \\frac{625 - 576}{625} = \\frac{49}{625}\\]
Krok 2: Wyciągamy pierwiastek.
\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{49}{625}} = \\frac{7}{25}\\]
\n(Bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym - sinus jest dodatni!)
\nKrok 3: Liczymy tangens.
\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{7}{25}}{\\dfrac{24}{25}} = \\frac{7}{25} \\cdot \\frac{25}{24} = \\boxed{\\frac{7}{24}}\\]
\nSkoro \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym i \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\), to możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym:
\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległe}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{24}{25}\\]
\nCzyli: przyległe = 24, przeciwprostokątna = 25.
\nSzukamy boku przeciwległego z twierdzenia Pitagorasa:
\\[a^2 + 24^2 = 25^2\\]
\\[a^2 = 625 - 576 = 49\\]
\\[a = 7\\]
Teraz odczytujemy tangens wprost z definicji:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległe}}{\\text{przyległe}} = \\frac{7}{24}\\]
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyta w Sposobie 1 do obliczenia końcowego wyniku.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.
| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(\\dfrac{7}{18}\\) | Błędne obliczenie boku: np. \\(25 - 24 = 1\\), potem jakieś pomyłki w działaniach; liczba 18 nie wynika z żadnego sensownego kroku |
| C - \\(\\dfrac{7}{25}\\) | Uczeń zatrzymuje się na \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) i podaje sinus zamiast tangensa |
| D - \\(\\dfrac{18}{25}\\) | Uczeń myli się przy Pitagorasie: liczy \\(24 - 25 = \\ldots\\) albo wpisuje cosinus jako odpowiedź; 18 nie pojawia się naturalnie |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) i podanie tego jako odpowiedzi - to odpowiedź C, która jest "pułapką" w tym zadaniu.\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), nie \\(\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\text{coś innego}}\\). Przy dzieleniu ułamków przez ułamki - mnożysz przez odwrotność.\n
⚠️ Uwaga: Fakt, że \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym jest kluczowy - pozwala przyjąć \\(\\sin\\alpha > 0\\) bez rozważania przypadków. Gdyby kąt był w II ćwiartce, sinus byłby dodatni, ale cosinus ujemny - czytaj treść zadania uważnie!\n
Poprawna odpowiedź: B
\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1 \\Rightarrow \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{576}{625} = \\dfrac{49}{625}.\\)
\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) (kąt ostry).
\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{7/25}{24/25} = \\dfrac{7}{24}.\\)
W trójkącie prostokątnym: \\(\\cos = \\tfrac{24}{25}\\Rightarrow\\) przyprostokątna \\(= 24\\), przeciwprostokątna \\(= 25\\).
Druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{625-576} = 7\\). Stąd \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{7}{24}\\).
Trik: zapamiętaj trójki pitagorejskie \\(3{-}4{-}5\\), \\(5{-}12{-}13\\), \\(7{-}24{-}25\\).
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Trójkąty AEB i DEC są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.
\nOba trójkąty są prostokątne:
\n∠ EAB=∠ EDC=90^°,
\na kąty
\n∠ AEB i ∠ DEC
\nsą kątami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Zatem także trzecie kąty są równe.
\nNiech
\nAE=x.
\nWtedy
\nED=24-x.
\nZ podobieństwa trójkątów:
\n(AE)/(ED)=(AB)/(DC).
\nPodstawiamy dane:
\n(x)/(24-x)=(12)/(6)=2.
\nStąd:
\nx=2(24-x),
\nx=48-2x,
\n3x=48,
\nx=16.
\nZatem
\nAE=16.
\nW trójkącie prostokątnym AEB , korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\nBE^2=AE^2+AB^2,
\nBE^2=16^2+12^2=256+144=400,
\nwięc
\nBE=20.
"}]}