{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\nprzecinają się w punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑩. Zapisz obliczenia.\n21.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S=(9,11). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x-1, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=2x-4. Oblicz współrzędne wierzchołka B. Zapisz obliczenia.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład [ ]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝐵= (6, 2).\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,\nnp.:\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11,\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz 𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)\noraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub\n𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych\nbłędów a)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2, 0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 11\n𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22\nZatem 𝐶= (16, 22).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:\n𝑦= 2(𝑥-16) + 22\n𝑦= 2𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-10\nStąd\n2𝑥-10 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 9\n𝑥= 6\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:\n𝑦= 2(𝑥-9) + 11\n𝑦= 2𝑥-7\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-7\nStąd\n2𝑥-7 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 6\n𝑥= 4\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nSposób III\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1\n2𝑥𝑏-1.\nPunkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11\nZatem\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27\n𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27\nStąd otrzymujemy\n-3\n2 𝑥𝑏= -9\n𝑥𝑏= 6\n𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 = 1\n2 ⋅6 -1 = 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(3\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z kątem\n\nZe wzoru na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i zawarty między nimi kąt:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC|\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(|AB| = 5\\), \\(|AC| = 2\\), \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5 \\cdot 2 \\cdot 3}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]\n\n**Pole trójkąta \\(ABC = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie wysokości (geometrycznie)\n\nSkoro \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\), to możemy znaleźć kosinus tego kąta. Sprawdzamy czy kąt jest ostry czy rozwarty.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^2|\\angle BAC| = 1 - \\sin^2|\\angle BAC| = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]\n\\[\\cos|\\angle BAC| = \\pm\\frac{4}{5}\\]\n\nNiezależnie od tego, czy kąt jest ostry (\\(\\cos = \\frac{4}{5}\\)) czy rozwarty (\\(\\cos = -\\frac{4}{5}\\)), wzór na pole nie zmienia wyniku - liczy się tylko wartość sinusa.\n\n**Obliczamy wysokość** opuszczoną z \\(C\\) na prostą \\(AB\\):\n\n\\[h = |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC| = 2 \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{6}{5}\\]\n\nPole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot \\frac{6}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **pole = \\(3\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wzór na pole trójkąta z kątem zawartym:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\ngdzie \\(a, b\\) to dwa boki, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi. W naszym zadaniu \\(a = |AB| = 5\\), \\(b = |AC| = 2\\), \\(\\gamma = \\angle BAC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(5\\)) | Policzono \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot 1\\) - wstawiono \\(\\sin = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\); albo \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 = 5\\) bez uwzględnienia sinusa wcale |\n| C (\\(6\\)) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\): policzono \\(5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5} = 6\\) bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| D (\\(10\\)) | Policzono samo \\(|AB| \\cdot |AC| = 5 \\cdot 2 = 10\\) - pominięto zarówno \\(\\frac{1}{2}\\), jak i sinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole. Wzór to \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\), nie \\(ab\\sin\\gamma\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać samego kąta \\(\\angle BAC\\) - wartość \\(\\sin\\) podana jest wprost i bezpośrednio wchodzi do wzoru. Nie licz \\(\\arcsin\\) ani nie zamieniaj na stopnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór działa zarówno dla kąta ostrego, jak i rozwartego (sinus obu jest dodatni). Znak cosinusa nie wpływa na pole.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z sinusem\n\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |AC|\\cdot \\sin|\\angle BAC|\\)\n\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Wysokość\nWysokość z \\(C\\) na \\(AB\\): \\(h = |AC|\\cdot \\sin\\alpha = 2\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{6}{5}\\).\n\\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot \\tfrac{6}{5} = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5\\)** - \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\) bez sinusa.\n- **C. \\(6\\)** - pomnożone bez dzielenia przez 2.\n- **D. \\(10\\)** - \\(|AB|\\cdot |AC|\\) bez wzoru.\n\n**Trik:** karta wzorów - pole trójkąta z dwóch boków i kąta.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-4)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>przecinają się w punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej<br>o równaniu 𝑦= 1<br>2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.<br>Oblicz współrzędne wierzchołka 𝑩. Zapisz obliczenia.<br>21.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S=(9,11). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x-1, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=2x-4. Oblicz współrzędne wierzchołka B. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>IX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch<br>prostych […];<br>IX.2) posługuje się równaniem prostej na<br>płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym<br>wyznacza równanie prostej o zadanych<br>własnościach (takich jak na przykład [ ]<br>równoległość […] do innej prostej […]).<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego<br>wyniku: 𝐵= (6, 2).<br>3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,</li></ul>\n<p>np.:<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz<br>1<br>2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4<br>2<br>= 11,<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz 𝑦𝑏= 1<br>2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.<br>2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej</li></ul>\n<p>𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵<br>w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷<br>w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)</li></ul>\n<p>oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub<br>𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).<br>1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):</li></ul>\n<p>𝑦= 2𝑥-7,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:<br>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych równoległych<br>c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>2 punkty za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych<br>błędów a)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-4<br>Stąd<br>2𝑥-4 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 3<br>𝑥= 2<br>𝑦= 0<br>Zatem 𝐴= (2, 0).<br>Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc<br>2 + 𝑥𝑐<br>2<br>= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐<br>2<br>= 11<br>𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22<br>Zatem 𝐶= (16, 22).<br>Prosta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest<br>równy 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:<br>𝑦= 2(𝑥-16) + 22<br>𝑦= 2𝑥-10<br>Punkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-10<br>Stąd<br>2𝑥-10 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 9<br>𝑥= 6<br>𝑦= 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-4<br>Stąd<br>2𝑥-4 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 3<br>𝑥= 2<br>𝑦= 0<br>Zatem 𝐴= (2,0).<br>Oznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,<br>zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:<br>𝑦= 2(𝑥-9) + 11<br>𝑦= 2𝑥-7<br>Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu<br>są rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-7<br>Stąd<br>2𝑥-7 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 6<br>𝑥= 4<br>𝑦= 1<br>Zatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).<br>Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc<br>2 + 𝑥𝑏<br>2<br>= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏<br>2<br>= 1<br>𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Sposób III<br>Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1<br>2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1<br>2𝑥𝑏-1.<br>Punkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.<br>Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑<br>2<br>= 11<br>Zatem<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz<br>1<br>2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4<br>2<br>= 11<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1<br>2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27<br>𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1<br>2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27<br>Stąd otrzymujemy<br>-3<br>2 𝑥𝑏= -9<br>𝑥𝑏= 6<br>𝑦𝑏= 1<br>2 𝑥𝑏-1 = 1<br>2 ⋅6 -1 = 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (\\(3\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z kątem</h4>\n<p>Ze wzoru na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i zawarty między nimi kąt:</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC|\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane: \\(|AB| = 5\\), \\(|AC| = 2\\), \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\):</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5 \\cdot 2 \\cdot 3}{5}\\]</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]</p>\n<p><strong>Pole trójkąta \\(ABC = 3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez wyznaczenie wysokości (geometrycznie)</h4>\n<p>Skoro \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\), to możemy znaleźć kosinus tego kąta. Sprawdzamy czy kąt jest ostry czy rozwarty.</p>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej:<br>\\[\\cos^2|\\angle BAC| = 1 - \\sin^2|\\angle BAC| = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]<br>\\[\\cos|\\angle BAC| = \\pm\\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>Niezależnie od tego, czy kąt jest ostry (\\(\\cos = \\frac{4}{5}\\)) czy rozwarty (\\(\\cos = -\\frac{4}{5}\\)), wzór na pole nie zmienia wyniku - liczy się tylko wartość sinusa.</p>\n<p><strong>Obliczamy wysokość</strong> opuszczoną z \\(C\\) na prostą \\(AB\\):</p>\n<p>\\[h = |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC| = 2 \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{6}{5}\\]</p>\n<p>Pole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot \\frac{6}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - <strong>pole = \\(3\\)</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - wzór na pole trójkąta z kątem zawartym:<br>\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]<br>gdzie \\(a, b\\) to dwa boki, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi. W naszym zadaniu \\(a = |AB| = 5\\), \\(b = |AC| = 2\\), \\(\\gamma = \\angle BAC\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B (\\(5\\)) | Policzono \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot 1\\) - wstawiono \\(\\sin = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\); albo \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 = 5\\) bez uwzględnienia sinusa wcale |<br>| C (\\(6\\)) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\): policzono \\(5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5} = 6\\) bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) |<br>| D (\\(10\\)) | Policzono samo \\(|AB| \\cdot |AC| = 5 \\cdot 2 = 10\\) - pominięto zarówno \\(\\frac{1}{2}\\), jak i sinus |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole. Wzór to \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\), nie \\(ab\\sin\\gamma\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie musisz wyznaczać samego kąta \\(\\angle BAC\\) - wartość \\(\\sin\\) podana jest wprost i bezpośrednio wchodzi do wzoru. Nie licz \\(\\arcsin\\) ani nie zamieniaj na stopnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór działa zarówno dla kąta ostrego, jak i rozwartego (sinus obu jest dodatni). Znak cosinusa nie wpływa na pole.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór z sinusem</h5>\n<p>\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |AC|\\cdot \\sin|\\angle BAC|\\)<br>\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Wysokość</h5>\n<p>Wysokość z \\(C\\) na \\(AB\\): \\(h = |AC|\\cdot \\sin\\alpha = 2\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{6}{5}\\).<br>\\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot \\tfrac{6}{5} = 3.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(5\\)</strong> - \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\) bez sinusa.</li><li><strong>C. \\(6\\)</strong> - pomnożone bez dzielenia przez 2.</li><li><strong>D. \\(10\\)</strong> - \\(|AB|\\cdot |AC|\\) bez wzoru.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> karta wzorów - pole trójkąta z dwóch boków i kąta.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw wyznaczamy współrzędne punktu A , który jest punktem przecięcia prostych zawierających boki AB i AD :</p>\n<p>(1)/(2)x-1=2x-4.</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>3=(3)/(2)x,</p>\n<p>x=2.</p>\n<p>Wtedy:</p>\n<p>y=(1)/(2)·2-1=0,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>A=(2,0).</p>\n<p>Punkt S=(9,11) jest środkiem przekątnej AC . Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka:</p>\n<p>S= ((x_A+x_C)/(2),(y_A+y_C)/(2) ).</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>9=(2+x_C)/(2),</p>\n<p>11=(0+y_C)/(2).</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>x_C=16,</p>\n<p>y_C=22,</p>\n<p>więc</p>\n<p>C=(16,22).</p>\n<p>W równoległoboku bok BC jest równoległy do boku AD . Prosta zawierająca bok AD ma współczynnik kierunkowy równy 2 , dlatego prosta zawierająca bok BC ma postać:</p>\n<p>y=2x+b.</p>\n<p>Ponieważ przechodzi przez punkt C=(16,22) , mamy:</p>\n<p>22=2·16+b,</p>\n<p>b=-10.</p>\n<p>Zatem prosta zawierająca bok BC ma równanie:</p>\n<p>y=2x-10.</p>\n<p>Punkt B leży również na prostej zawierającej bok AB :</p>\n<p>y=(1)/(2)x-1.</p>\n<p>Rozwiązujemy więc układ równań:</p>\n<p>y=(1)/(2)x-1,</p>\n<p>y=2x-10.</p>\n<p>Porównujemy prawe strony:</p>\n<p>(1)/(2)x-1=2x-10.</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>9=(3)/(2)x,</p>\n<p>x=6.</p>\n<p>Wtedy:</p>\n<p>y=(1)/(2)·6-1=2.</p>\n<p>Ostatecznie:</p>\n<p>B=(6,2).</p>"}]}