{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3𝑚-2)𝑥-2\n𝑙: 𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-6)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 6\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(3m-2)x-2 l: y=(2m+4)x+2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A. (-6) B. (-2) C. 2 D. 6⋅r }","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład [ ]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt środkowy \\(KSM = 160°\\) i kąt wpisany \\(KLM\\) opierają się na tym samym łuku \\(KM\\) (łuku, który *nie* zawiera punktu \\(L\\)).\n\n**Twierdzenie:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nSprawdzamy, na którym łuku oparty jest kąt \\(KSM = 160°\\):\n- Kąt środkowy \\(160°\\) oparty jest na łuku \\(KM\\) **nie zawierającym** punktu \\(L\\) (krótszy łuk \\(KM\\), bo \\(160° < 180°\\) - łuk ten ma miarę \\(160°\\)).\n\nKąt wpisany \\(KLM\\), gdzie \\(L\\) leży na *przeciwnym* łuku (dłuższym), jest oparty na tym samym łuku \\(KM\\) (tym krótszym, bez \\(L\\)).\n\nZatem:\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle KSM = \\frac{1}{2} \\cdot 160° = 80°\\]\n\nChwila - to odpowiedź A. Ale musimy sprawdzić rysunek uważniej! Z opisu i rysunku wynika, że \\(L\\) leży po tej samej stronie co łuk **o mierze** \\(160°\\), czyli kąt \\(KSM = 160°\\) jest kątem środkowym opartym na łuku *zawierającym* \\(L\\).\n\n**Korekta z rysunku:** Łuk \\(KM\\), na którym opiera się kąt wpisany \\(KLM\\), to łuk **nie zawierający** \\(L\\). Jego miara to:\n\\[360° - 160° = 200°\\]\n\nKąt wpisany oparty na tym łuku (miara łuku \\(200°\\)):\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = \\boxed{100°}\\]\n\n**Odpowiedź: C, \\(100°\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy dopełniający\n\nŁuk \\(KM\\) zawierający \\(L\\) ma miarę \\(200°\\), więc odpowiadający mu kąt środkowy \"po tamtej stronie\" wynosi \\(200°\\) (kąt wklęsły przy \\(S\\)).\n\nKąt wpisany \\(KLM\\) oparty na łuku \\(KM\\) (zawierającym \\(L\\) po drugiej stronie) to połowa kąta środkowego **opartego na tym samym łuku** (czyli łuku bez \\(L\\)):\n\n\\[\\text{Łuk bez } L = 360° - 160° = 200°\\]\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = 100°\\]\n\n**Weryfikacja:** Gdyby \\(L\\) leżał na krótszym łuku (o mierze \\(160°\\)), kąt byłby \\(\\frac{160°}{2} = 80°\\). Ale z rysunku \\(L\\) leży na dłuższym łuku - zatem wynik to \\(100°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(KSM\\) oparty na łuku bez \\(L\\) wynosi \\(360° - 160° = 200°\\), więc kąt wpisany \\(KLM = \\frac{200°}{2} = 100°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(80°\\) | Wzięto połowę kąta \\(160°\\), nie sprawdzając na którym łuku leży \\(L\\). To błąd pominięcia rysunku - \\(L\\) leży na większym łuku, więc kąt środkowy dla wpisanego to \\(360° - 160° = 200°\\). |\n| B - \\(90°\\) | Przypadkowe \"wyśrodkowanie\" między 80° a 100°, lub mylne użycie twierdzenia Talesa. Brak podstaw geometrycznych. |\n| D - \\(110°\\) | Błędne obliczenie, np. \\(\\frac{360° - 160°}{2} + 10°\\) - brak geometrycznego uzasadnienia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, po której stronie łuku leży punkt \\(L\\)! Jeśli \\(L\\) leży na **dłuższym** łuku \\(KM\\), kąt wpisany liczymy z krótszego łuku (i odwrotnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo od razu podzielić \\(160° : 2 = 80°\\) i wybrać A - to klasyczna pułapka w tym zadaniu. Zawsze pytaj: *na którym łuku opiera się kąt wpisany?*\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miara łuku \"po drugiej stronie\" to \\(360° - \\angle \\text{środkowy}\\). Dopiero tę miarę dzielimy przez 2, jeśli \\(L\\) leży na łuku o mierze \\(160°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy niezawierający \\(L\\)\nZ rysunku \\(L\\) leży po stronie mniejszego łuku. Kąt wpisany \\(KLM\\) opiera się na łuku \\(KM\\) nie zawierającym \\(L\\). Ten łuk odpowiada kątowi środkowemu \\(360° - 160° = 200°\\).\n\\(|\\angle KLM| = \\dfrac{200°}{2} = 100°.\\)\n\n### Sposób 2 - Czworokąt \\(KSML\\)\nW czworokącie \\(KSML\\) mamy \\(|SK|=|SM|\\) (promienie), więc \\(SKLM\\) jest deltoidem z kątami przy \\(K\\) i \\(M\\) równymi. Suma kątów: \\(160° + 2\\cdot 50° + |\\angle KLM| = 360°\\), więc \\(|\\angle KLM| = 100°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(80°\\)** - to \\(\\tfrac{160°}{2}\\), ale \\(L\\) leży po drugiej stronie.\n- **B. \\(90°\\)** - brak uzasadnienia.\n- **D. \\(110°\\)** - błąd arytmetyczny.\n\n**Trik:** gdy \\(L\\) leży po stronie łuku odpowiadającego kątowi środkowemu, kąt wpisany to połowa kąta wklęsłego.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami<br>𝑘: 𝑦= (3𝑚-2)𝑥-2<br>𝑙: 𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 2<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa<br>A. (-6)<br>B. (-2)<br>C. 2<br>D. 6<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(3m-2)x-2 l: y=(2m+4)x+2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A. (-6) B. (-2) C. 2 D. 6⋅r }</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniem prostej na<br>płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym<br>wyznacza równanie prostej o zadanych<br>własnościach (takich jak na przykład [ ]<br>równoległość […] do innej prostej […]).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Kąt środkowy \\(KSM = 160°\\) i kąt wpisany \\(KLM\\) opierają się na tym samym łuku \\(KM\\) (łuku, który <em>nie</em> zawiera punktu \\(L\\)).</p>\n<p><strong>Twierdzenie:</strong> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</p>\n<p>Sprawdzamy, na którym łuku oparty jest kąt \\(KSM = 160°\\):</p>\n<ul><li>Kąt środkowy \\(160°\\) oparty jest na łuku \\(KM\\) <strong>nie zawierającym</strong> punktu \\(L\\) (krótszy łuk \\(KM\\), bo \\(160° &lt; 180°\\) - łuk ten ma miarę \\(160°\\)).</li></ul>\n<p>Kąt wpisany \\(KLM\\), gdzie \\(L\\) leży na <em>przeciwnym</em> łuku (dłuższym), jest oparty na tym samym łuku \\(KM\\) (tym krótszym, bez \\(L\\)).</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle KSM = \\frac{1}{2} \\cdot 160° = 80°\\]</p>\n<p>Chwila - to odpowiedź A. Ale musimy sprawdzić rysunek uważniej! Z opisu i rysunku wynika, że \\(L\\) leży po tej samej stronie co łuk <strong>o mierze</strong> \\(160°\\), czyli kąt \\(KSM = 160°\\) jest kątem środkowym opartym na łuku <em>zawierającym</em> \\(L\\).</p>\n<p><strong>Korekta z rysunku:</strong> Łuk \\(KM\\), na którym opiera się kąt wpisany \\(KLM\\), to łuk <strong>nie zawierający</strong> \\(L\\). Jego miara to:<br>\\[360° - 160° = 200°\\]</p>\n<p>Kąt wpisany oparty na tym łuku (miara łuku \\(200°\\)):<br>\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = \\boxed{100°}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C, \\(100°\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez kąt środkowy dopełniający</h4>\n<p>Łuk \\(KM\\) zawierający \\(L\\) ma miarę \\(200°\\), więc odpowiadający mu kąt środkowy &quot;po tamtej stronie&quot; wynosi \\(200°\\) (kąt wklęsły przy \\(S\\)).</p>\n<p>Kąt wpisany \\(KLM\\) oparty na łuku \\(KM\\) (zawierającym \\(L\\) po drugiej stronie) to połowa kąta środkowego <strong>opartego na tym samym łuku</strong> (czyli łuku bez \\(L\\)):</p>\n<p>\\[\\text{Łuk bez } L = 360° - 160° = 200°\\]<br>\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = 100°\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Gdyby \\(L\\) leżał na krótszym łuku (o mierze \\(160°\\)), kąt byłby \\(\\frac{160°}{2} = 80°\\). Ale z rysunku \\(L\\) leży na dłuższym łuku - zatem wynik to \\(100°\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie o kącie wpisanym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(KSM\\) oparty na łuku bez \\(L\\) wynosi \\(360° - 160° = 200°\\), więc kąt wpisany \\(KLM = \\frac{200°}{2} = 100°\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(80°\\) | Wzięto połowę kąta \\(160°\\), nie sprawdzając na którym łuku leży \\(L\\). To błąd pominięcia rysunku - \\(L\\) leży na większym łuku, więc kąt środkowy dla wpisanego to \\(360° - 160° = 200°\\). |<br>| B - \\(90°\\) | Przypadkowe &quot;wyśrodkowanie&quot; między 80° a 100°, lub mylne użycie twierdzenia Talesa. Brak podstaw geometrycznych. |<br>| D - \\(110°\\) | Błędne obliczenie, np. \\(\\frac{360° - 160°}{2} + 10°\\) - brak geometrycznego uzasadnienia. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź, po której stronie łuku leży punkt \\(L\\)! Jeśli \\(L\\) leży na <strong>dłuższym</strong> łuku \\(KM\\), kąt wpisany liczymy z krótszego łuku (i odwrotnie).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo od razu podzielić \\(160° : 2 = 80°\\) i wybrać A - to klasyczna pułapka w tym zadaniu. Zawsze pytaj: <em>na którym łuku opiera się kąt wpisany?</em></blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miara łuku &quot;po drugiej stronie&quot; to \\(360° - \\angle \\text{środkowy}\\). Dopiero tę miarę dzielimy przez 2, jeśli \\(L\\) leży na łuku o mierze \\(160°\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąt środkowy niezawierający \\(L\\)</h5>\n<p>Z rysunku \\(L\\) leży po stronie mniejszego łuku. Kąt wpisany \\(KLM\\) opiera się na łuku \\(KM\\) nie zawierającym \\(L\\). Ten łuk odpowiada kątowi środkowemu \\(360° - 160° = 200°\\).<br>\\(|\\angle KLM| = \\dfrac{200°}{2} = 100°.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Czworokąt \\(KSML\\)</h5>\n<p>W czworokącie \\(KSML\\) mamy \\(|SK|=|SM|\\) (promienie), więc \\(SKLM\\) jest deltoidem z kątami przy \\(K\\) i \\(M\\) równymi. Suma kątów: \\(160° + 2\\cdot 50° + |\\angle KLM| = 360°\\), więc \\(|\\angle KLM| = 100°\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(80°\\)</strong> - to \\(\\tfrac{160°}{2}\\), ale \\(L\\) leży po drugiej stronie.</li><li><strong>B. \\(90°\\)</strong> - brak uzasadnienia.</li><li><strong>D. \\(110°\\)</strong> - błąd arytmetyczny.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy \\(L\\) leży po stronie łuku odpowiadającego kątowi środkowemu, kąt wpisany to połowa kąta wklęsłego.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<h3>Rozwiązanie zadania dotyczącego prostych w układzie kartezjańskim</h3>\n<ol><li><strong>Zapisujemy równania prostych.</strong></li></ol>\n<p>Mamy dwa równania prostych:</p>\n<p>\\begin{align*}<br>k: &amp; \\text{ } y = (3m - 2)x - 2 \\<br>l: &amp; \\text{ } y = (2m + 4)x + 2<br>\\text{ }<br>\\\\<br>\\text{Prosta $k$ ma współczynnik kierunkowy } a_k = 3m - 2 \\text{, a prosta $l$ ma współczynnik kierunkowy } a_l = 2m + 4.</p>\n<ol><li><strong>Warunek na równoległość prostych.</strong></li></ol>\n<p>Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:</p>\n<p>$$<br>a_k = a_l<br>$$</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>$$<br>3m - 2 = 2m + 4<br>$$</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązujemy równanie dla $m$.</strong></li></ol>\n<p>Przenosimy składniki zawierające $m$ na jedną stronę równania, a pozostałe na drugą:</p>\n<p>$$<br>3m - 2m = 4 + 2<br>$$</p>\n<p>Po uproszczeniu:</p>\n<p>$$<br>m = 6<br>$$</p>\n<ol><li><strong>Podsumowujemy wyniki.</strong></li></ol>\n<p>Otrzymaliśmy wartość $m = 6$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa</p>\n<p>$$<br>\\text{D. } 6<br>$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> D.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:</p>\n<p>3m-2=2m+4.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>m=6.</p>"}]}