{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) odcinek o końcach 𝐴= (-4, 7) oraz\n𝐵= (6, -1) jest średnicą okręgu 𝒪.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 41\nB. (𝑥-5)2 + (𝑦+ 4)2 = 41\nC. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 41\nD. (𝑥-5)2 + (𝑦-4)2 = 41\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) odcinek o końcach A=(-4,7) oraz B=(6,-1) jest średnicą okręgu O. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)²+(y-3)²=41 B. (x-5)²+(y+4)²=41 C. (x-1)²+(y+3)²=41 D. (x-5)²+(y-4)²=41","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 6\\))\n\n## Sposób 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\n**Krok 1: Warunek równoległości - współczynniki kierunkowe muszą być równe.**\n\n\\[3m - 2 = 2m + 4\\]\n\n**Krok 2: Rozwiązujemy równanie.**\n\n\\[3m - 2m = 4 + 2\\]\n\\[m = 6\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (to byłoby \"pokrywanie się\", a nie równoległość).\n\nDla \\(m = 6\\):\n- prosta \\(k\\): \\(y = (3 \\cdot 6 - 2)x - 2 = 16x - 2\\)\n- prosta \\(l\\): \\(y = (2 \\cdot 6 + 4)x + 2 = 16x + 2\\)\n\nWyrazy wolne to \\(-2\\) i \\(2\\) - są **różne**, więc proste są rzeczywiście równoległe (nie pokrywają się).\n\n**Odpowiedź: \\(m = 6\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie do każdej odpowiedzi\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:\n\n| \\(m\\) | Wsp. kier. \\(k\\): \\(3m-2\\) | Wsp. kier. \\(l\\): \\(2m+4\\) | Równe? |\n| \\(-6\\) | \\(3(-6)-2 = -20\\) | \\(2(-6)+4 = -8\\) | NIE |\n| \\(-2\\) | \\(3(-2)-2 = -8\\) | \\(2(-2)+4 = 0\\) | NIE |\n| \\(2\\) | \\(3(2)-2 = 4\\) | \\(2(2)+4 = 8\\) | NIE |\n| \\(6\\) | \\(3(6)-2 = 16\\) | \\(2(6)+4 = 16\\) | **TAK** |\n\nTylko \\(m = 6\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\neq b_2\\)).\n\nTo bezpośrednio zastosowaliśmy w Sposobie 1 i 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(-6\\)) | Prawdopodobnie błąd znakowy: np. \\(3m + 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2\\), lub źle przepisana jedna z wartości |\n| B (\\(-2\\)) | Możliwe odwrotne podstawienie: pomylono wyrazy wolne z współczynnikami kierunkowymi, np. przyrównano \\(-2 = 2m+4\\) zamiast współczynników przy \\(x\\) |\n| C (\\(2\\)) | Typowy błąd: przyrównano wyrazy wolne \\(-2 = 2\\) (niemożliwe) lub błędnie ustawiono równanie \\(3m - 2 = 2m + 4\\) i \"zgubieniu\" zmieniło się \\(m\\) na \\(2\\) - może wynikać z błędnego przeniesienia wyrazów: \\(3m - 2m = 4 - 2 \\Rightarrow m = 2\\) ⚠️ **(to najczęstszy błąd - nieprawidłowe przenoszenie z błędnym znakiem \\(+2\\) zamiast \\(-(-2)=+2\\) z lewej strony)** |\n| D | Poprawna odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **tylko** równość współczynników kierunkowych - nie wolnych! Nie przyrównuj wyrazów wolnych (\\(-2\\) i \\(+2\\)) - to nie jest warunek równoległości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste się nie pokrywają (czy wyrazy wolne są różne). Gdyby były takie same, proste byłyby identyczne - a to nie jest równoległość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd przy rozwiązywaniu \\(3m - 2 = 2m + 4\\): przeniesienie \\(-2\\) na prawą stronę daje \\(+2\\), czyli \\(m = 4 + 2 = 6\\) - dobrze. Ale uczeń często \"na skróty\" myśli \\(4 - 2 = 2\\) i wybiera odpowiedź C.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:\n\\(3m - 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 6.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(m = 6\\): \\(k:\\,y = 16x-2\\), \\(l:\\,y = 16x+2\\). Te same nachylenia, różne wyrazy wolne - proste równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-6\\)** - \\(k:\\,-20\\), \\(l:\\,-8\\), różne.\n- **B. \\(-2\\)** - \\(k:\\,-8\\), \\(l:\\,0\\), różne.\n- **C. \\(2\\)** - \\(k:\\,4\\), \\(l:\\,8\\), różne.\n\n**Trik:** proste \\(y = ax + b\\) i \\(y = cx + d\\) są równoległe \\(\\iff a = c\\) (i \\(b \\ne d\\)).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) odcinek o końcach 𝐴= (-4, 7) oraz<br>𝐵= (6, -1) jest średnicą okręgu 𝒪.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Okrąg 𝒪 jest określony równaniem<br>A. (𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 41<br>B. (𝑥-5)2 + (𝑦+ 4)2 = 41<br>C. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 41<br>D. (𝑥-5)2 + (𝑦-4)2 = 41</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) odcinek o końcach A=(-4,7) oraz B=(6,-1) jest średnicą okręgu O. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)²+(y-3)²=41 B. (x-5)²+(y+4)²=41 C. (x-1)²+(y+3)²=41 D. (x-5)²+(y-4)²=41</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.4) posługuje się równaniem okręgu<br>(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 6\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> i <strong>różne wyrazy wolne</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Warunek równoległości - współczynniki kierunkowe muszą być równe.</strong></p>\n<p>\\[3m - 2 = 2m + 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Rozwiązujemy równanie.</strong></p>\n<p>\\[3m - 2m = 4 + 2\\]<br>\\[m = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne</strong> (to byłoby &quot;pokrywanie się&quot;, a nie równoległość).</p>\n<p>Dla \\(m = 6\\):</p>\n<ul><li>prosta \\(k\\): \\(y = (3 \\cdot 6 - 2)x - 2 = 16x - 2\\)</li><li>prosta \\(l\\): \\(y = (2 \\cdot 6 + 4)x + 2 = 16x + 2\\)</li></ul>\n<p>Wyrazy wolne to \\(-2\\) i \\(2\\) - są <strong>różne</strong>, więc proste są rzeczywiście równoległe (nie pokrywają się).</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(m = 6\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie do każdej odpowiedzi</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:</p>\n<p>| \\(m\\) | Wsp. kier. \\(k\\): \\(3m-2\\) | Wsp. kier. \\(l\\): \\(2m+4\\) | Równe? |<br>| \\(-6\\) | \\(3(-6)-2 = -20\\) | \\(2(-6)+4 = -8\\) | NIE |<br>| \\(-2\\) | \\(3(-2)-2 = -8\\) | \\(2(-2)+4 = 0\\) | NIE |<br>| \\(2\\) | \\(3(2)-2 = 4\\) | \\(2(2)+4 = 8\\) | NIE |<br>| \\(6\\) | \\(3(6)-2 = 16\\) | \\(2(6)+4 = 16\\) | <strong>TAK</strong> |</p>\n<p>Tylko \\(m = 6\\) spełnia warunek.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<blockquote>Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\neq b_2\\)).</blockquote>\n<p>To bezpośrednio zastosowaliśmy w Sposobie 1 i 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A (\\(-6\\)) | Prawdopodobnie błąd znakowy: np. \\(3m + 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2\\), lub źle przepisana jedna z wartości |<br>| B (\\(-2\\)) | Możliwe odwrotne podstawienie: pomylono wyrazy wolne z współczynnikami kierunkowymi, np. przyrównano \\(-2 = 2m+4\\) zamiast współczynników przy \\(x\\) |<br>| C (\\(2\\)) | Typowy błąd: przyrównano wyrazy wolne \\(-2 = 2\\) (niemożliwe) lub błędnie ustawiono równanie \\(3m - 2 = 2m + 4\\) i &quot;zgubieniu&quot; zmieniło się \\(m\\) na \\(2\\) - może wynikać z błędnego przeniesienia wyrazów: \\(3m - 2m = 4 - 2 \\Rightarrow m = 2\\) ⚠️ <strong>(to najczęstszy błąd - nieprawidłowe przenoszenie z błędnym znakiem \\(+2\\) zamiast \\(-(-2)=+2\\) z lewej strony)</strong> |<br>| D | Poprawna odpowiedź |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek równoległości to <strong>tylko</strong> równość współczynników kierunkowych - nie wolnych! Nie przyrównuj wyrazów wolnych (\\(-2\\) i \\(+2\\)) - to nie jest warunek równoległości.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste się nie pokrywają (czy wyrazy wolne są różne). Gdyby były takie same, proste byłyby identyczne - a to nie jest równoległość!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd przy rozwiązywaniu \\(3m - 2 = 2m + 4\\): przeniesienie \\(-2\\) na prawą stronę daje \\(+2\\), czyli \\(m = 4 + 2 = 6\\) - dobrze. Ale uczeń często &quot;na skróty&quot; myśli \\(4 - 2 = 2\\) i wybiera odpowiedź C.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek równoległości</h5>\n<p>Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:<br>\\(3m - 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 6.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(m = 6\\): \\(k:\\,y = 16x-2\\), \\(l:\\,y = 16x+2\\). Te same nachylenia, różne wyrazy wolne - proste równoległe.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-6\\)</strong> - \\(k:\\,-20\\), \\(l:\\,-8\\), różne.</li><li><strong>B. \\(-2\\)</strong> - \\(k:\\,-8\\), \\(l:\\,0\\), różne.</li><li><strong>C. \\(2\\)</strong> - \\(k:\\,4\\), \\(l:\\,8\\), różne.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> proste \\(y = ax + b\\) i \\(y = cx + d\\) są równoległe \\(\\iff a = c\\) (i \\(b \\ne d\\)).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, środek okręgu $O$ znajduje się w środku odcinka $AC$, czyli w punkcie $\\displaystyle \\small M = \\left(\\frac{-4 + 6}{2}, \\frac{7 + (-1)}{2}\\right) = (1, 3)$.<br>Promień okręgu to połowa długości odcinka $AB$, obliczamy ją jako<br>$\\small \\displaystyle r = \\frac{1}{2} \\sqrt{(6 - (-4))^2 + ((-1) - 7)^2} = \\sqrt{\\frac{1}{4}\\cdot(100+64)} = \\sqrt{41}$.<br>Równanie okręgu ma więc postać $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \\sqrt{41}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Środek okręgu jest środkiem odcinka AB :</p>\n<p>S= ((-4+6)/(2),(7+(-1))/(2) )=(1,3).</p>\n<p>Promień jest równy odległości środka od punktu A :</p>\n<p>r^2=(-4-1)^2+(7-3)^2=25+16=41.</p>\n<p>Równanie okręgu ma więc postać</p>\n<p>(x-1)^2+(y-3)^2=41.</p>"}]}