{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nLiczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa\nA. 10\nB. 11\nC. 12\nD. 13\nLiczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa A. 10 B. 11 C. 12 D. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((1, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\nŚrodek okręgu to środek jego średnicy. Wystarczy znaleźć środek odcinka \\(AB\\).\n\nDane:\n\\[A = (-4, 7), \\quad B = (6, -1)\\]\n\nWzór na środek odcinka:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nObliczamy:\n\\[x_S = \\frac{-4 + 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n\\[y_S = \\frac{7 + (-1)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Środek okręgu \\(\\mathcal{O}\\) to punkt \\(S = (1, 3)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez równe odległości\n\nŚrodek okręgu musi być jednakowo oddalony od obu końców średnicy. Sprawdzamy, czy punkt \\((1, 3)\\) rzeczywiście leży w równej odległości od \\(A\\) i \\(B\\).\n\n\\[|SA| = \\sqrt{(1-(-4))^2 + (3-7)^2} = \\sqrt{5^2 + (-4)^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]\n\n\\[|SB| = \\sqrt{(1-6)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]\n\n**\\(|SA| = |SB| = \\sqrt{41}\\) ✓ - punkt \\((1, 3)\\) jest środkiem okręgu, a \\(\\sqrt{41}\\) to jego promień.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B \\((5, -4)\\) | Zamiast liczyć średnią, uczeń wziął \\(x_A + x_B = -4+6\\) i pomylił to z samą sumą; albo po prostu przepisał same współrzędne jednego punktu |\n| C \\((1, -3)\\) | Poprawna współrzędna \\(x\\), ale \\(y\\) obliczone ze złym znakiem: \\(\\frac{7-1}{2} = 3\\), nie \\(-3\\). Typowa pomyłka przy odejmowaniu zamiast dodawania |\n| D \\((5, 4)\\) | Błąd przy dodawaniu liczb o różnych znakach: \\(-4 + 6 \\neq 10\\), oraz \\(7 + (-1) \\neq 8\\); wynik bez dzielenia przez 2 lub z błędem znaku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odejmowanie współrzędnych zamiast dodawania: \\(\\frac{x_B - x_A}{2}\\) zamiast \\(\\frac{x_A + x_B}{2}\\). To daje wektor, nie środek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(7 + (-1)\\) łatwo wyjść na \\(6\\), ale po zamianie na \\(7 - 1\\) część uczniów zapisuje wynik \\(-6\\). Zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że środek odcinka (= środek okręgu) to punkt, a nie wektor - podaj oba wyniki \\((x_S, y_S)\\) razem, bo na maturze podanie tylko jednej współrzędnej to błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek okręgu to środek średnicy:\n\\(S = \\left(\\dfrac{-4+6}{2},\\, \\dfrac{7+(-1)}{2}\\right) = (1,\\, 3).\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nOdległość od \\(S=(1,3)\\) do \\(A=(-4,7)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\).\nOdległość od \\(S\\) do \\(B=(6,-1)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((5,-4)\\)** - pomyłka w znakach.\n- **C. \\((1,-3)\\)** - błąd znaku w \\(y\\).\n- **D. \\((5,4)\\)** - pomylone sumy i różnice.\n\n**Trik:** karta wzorów - środek odcinka: \\(\\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa<br>A. 10<br>B. 11<br>C. 12<br>D. 13<br>Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa A. 10 B. 11 C. 12 D. 13</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\((1, 3)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h4>\n<p>Środek okręgu to środek jego średnicy. Wystarczy znaleźć środek odcinka \\(AB\\).</p>\n<p>Dane:<br>\\[A = (-4, 7), \\quad B = (6, -1)\\]</p>\n<p>Wzór na środek odcinka:<br>\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]</p>\n<p>Obliczamy:<br>\\[x_S = \\frac{-4 + 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{7 + (-1)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]</p>\n<p><strong>Środek okręgu \\(\\mathcal{O}\\) to punkt \\(S = (1, 3)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez równe odległości</h4>\n<p>Środek okręgu musi być jednakowo oddalony od obu końców średnicy. Sprawdzamy, czy punkt \\((1, 3)\\) rzeczywiście leży w równej odległości od \\(A\\) i \\(B\\).</p>\n<p>\\[|SA| = \\sqrt{(1-(-4))^2 + (3-7)^2} = \\sqrt{5^2 + (-4)^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]</p>\n<p>\\[|SB| = \\sqrt{(1-6)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]</p>\n<p><strong>\\(|SA| = |SB| = \\sqrt{41}\\) ✓ - punkt \\((1, 3)\\) jest środkiem okręgu, a \\(\\sqrt{41}\\) to jego promień.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 bezpośrednio.</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do weryfikacji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B \\((5, -4)\\) | Zamiast liczyć średnią, uczeń wziął \\(x_A + x_B = -4+6\\) i pomylił to z samą sumą; albo po prostu przepisał same współrzędne jednego punktu |<br>| C \\((1, -3)\\) | Poprawna współrzędna \\(x\\), ale \\(y\\) obliczone ze złym znakiem: \\(\\frac{7-1}{2} = 3\\), nie \\(-3\\). Typowa pomyłka przy odejmowaniu zamiast dodawania |<br>| D \\((5, 4)\\) | Błąd przy dodawaniu liczb o różnych znakach: \\(-4 + 6 \\neq 10\\), oraz \\(7 + (-1) \\neq 8\\); wynik bez dzielenia przez 2 lub z błędem znaku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to odejmowanie współrzędnych zamiast dodawania: \\(\\frac{x_B - x_A}{2}\\) zamiast \\(\\frac{x_A + x_B}{2}\\). To daje wektor, nie środek!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dodawaniu \\(7 + (-1)\\) łatwo wyjść na \\(6\\), ale po zamianie na \\(7 - 1\\) część uczniów zapisuje wynik \\(-6\\). Zawsze sprawdź znak!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że środek odcinka (= środek okręgu) to punkt, a nie wektor - podaj oba wyniki \\((x_S, y_S)\\) razem, bo na maturze podanie tylko jednej współrzędnej to błąd.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h5>\n<p>Środek okręgu to środek średnicy:<br>\\(S = \\left(\\dfrac{-4+6}{2},\\, \\dfrac{7+(-1)}{2}\\right) = (1,\\, 3).\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Odległość od \\(S=(1,3)\\) do \\(A=(-4,7)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\).<br>Odległość od \\(S\\) do \\(B=(6,-1)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\((5,-4)\\)</strong> - pomyłka w znakach.</li><li><strong>C. \\((1,-3)\\)</strong> - błąd znaku w \\(y\\).</li><li><strong>D. \\((5,4)\\)</strong> - pomylone sumy i różnice.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> karta wzorów - środek odcinka: \\(\\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, liczba wierzchołków ostrosłupa prawidłowego wynosi $12$. Dla ostrosłupa o $12$ ścianach, których podstawą jest wielokąt o $11$ wierzchołkach, wierzchołków jest $11 + 1 = 12$ ($11$ wierzchołków w podstawie i $1$ wierzchołek, w którym stykają się krawędzie boczne).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Jeżeli podstawa ostrosłupa jest n -kątem, to ostrosłup ma:</p>\n<p>n</p>\n<p>ścian bocznych oraz jedną podstawę, czyli łącznie</p>\n<p>n+1</p>\n<p>ścian.</p>\n<p>Z warunku:</p>\n<p>n+1=12,</p>\n<p>więc</p>\n<p>n=11.</p>\n<p>Ostrosłup ma 11 wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek główny, czyli razem</p>\n<p>12</p>\n<p>wierzchołków.</p>"}]}