{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDługości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema\nkolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma\ndługość 10.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe\nA. 376\nB. 466\nC. 480\nD. 720\n\nMMAP-P0_100\nDługości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 10. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe A. 376 B. 466 C. 480 D. 720","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na ściany ostrosłupa prawidłowego\n\n**Kluczowa obserwacja:** ostrosłup prawidłowy \\(n\\)-boczny ma:\n- \\(1\\) ścianę będącą podstawą (wielokąt \\(n\\)-boczny)\n- \\(n\\) ścian bocznych (trójkąty)\n\nŁączna liczba ścian:\n\\[L_{\\text{ścian}} = n + 1\\]\n\n**Wyznaczamy \\(n\\) z warunków zadania:**\n\n\\[n + 1 = 12 \\implies n = 11\\]\n\nMamy więc **ostrosłup jedenastoboczny** (podstawa to 11-kąt prawidłowy).\n\n**Liczymy wierzchołki:**\n\nOstrosłup \\(n\\)-boczny ma:\n- \\(n\\) wierzchołków podstawy\n- \\(1\\) wierzchołek (wierzchołek ostrosłupa - apex)\n\n\\[L_{\\text{wierzchołków}} = n + 1 = 11 + 1 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wzorem Eulera\n\nWzór Eulera dla wielościanów wypukłych:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla ostrosłupa \\(11\\)-bocznego (\\(n = 11\\)):\n- \\(F = 12\\) (dane w zadaniu)\n- Krawędzie: \\(n\\) krawędzi podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 2 \\cdot 11 = 22\\), czyli \\(E = 22\\)\n- Sprawdzamy: \\(V = 2 - F + E = 2 - 12 + 22 = 12\\) ✓\n\nWynik zgodny: **\\(V = 12\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego (liczba ścian, wierzchołków i krawędzi zależna od liczby boków podstawy).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(10\\) | Uczeń liczy wierzchołki jako \\(n - 1 = 11 - 1\\) lub myli \\(n\\) z liczbą ścian bocznych i odejmuje zamiast dodawać apex |\n| B. \\(11\\) | Uczeń zapomina doliczyć wierzchołek główny (apex) - liczy tylko wierzchołki podstawy |\n| D. \\(13\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(n = 12\\) (bierze całą liczbę ścian bez odjęcia podstawy), potem dodaje apex: \\(12 + 1 = 13\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba ścian ostrosłupa \\(n\\)-bocznego to \\(n + 1\\), **nie** \\(n\\). Podstawa też jest ścianą! Przy wyznaczaniu \\(n\\) pamiętaj o odjęciu jedynki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wierzchołków ostrosłupa to też \\(n + 1\\) - \\(n\\) wierzchołków podstawy plus jeden apex. Łatwo zapomnieć o wierzchołku szczytowym, bo nie leży w podstawie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla ostrosłupa prawidłowego: liczba ścian = liczba wierzchołków \\(= n+1\\). To piękna symetria, którą warto zapamiętać!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Liczenie\nOstrosłup prawidłowy ma podstawę n-kąt i \\(n\\) ścian bocznych. Łącznie ścian: \\(n + 1\\).\n\\(n + 1 = 12 \\Rightarrow n = 11\\). Wierzchołki: \\(n\\) wierzchołków podstawy + \\(1\\) wierzchołek (szczyt) = \\(12\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\nDla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W - K + S = 2\\). \\(S = n+1\\), \\(W = n+1\\), \\(K = 2n\\). Sprawdzenie: \\((n+1)-2n+(n+1) = 2\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - brak szczytu.\n- **B. \\(11\\)** - tylko podstawa.\n- **D. \\(13\\)** - przeliczenie o 1.\n\n**Trik:** dla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: wierzchołków \\(=\\) ścian \\(= n+1\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema<br>kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma<br>długość 10.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe<br>A. 376<br>B. 466<br>C. 480<br>D. 720</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 10. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe A. 376 B. 466 C. 480 D. 720</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>X.4) oblicza […] pola powierzchni<br>graniastosłupów […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na ściany ostrosłupa prawidłowego</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> ostrosłup prawidłowy \\(n\\)-boczny ma:</p>\n<ul><li>\\(1\\) ścianę będącą podstawą (wielokąt \\(n\\)-boczny)</li><li>\\(n\\) ścian bocznych (trójkąty)</li></ul>\n<p>Łączna liczba ścian:<br>\\[L_{\\text{ścian}} = n + 1\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(n\\) z warunków zadania:</strong></p>\n<p>\\[n + 1 = 12 \\implies n = 11\\]</p>\n<p>Mamy więc <strong>ostrosłup jedenastoboczny</strong> (podstawa to 11-kąt prawidłowy).</p>\n<p><strong>Liczymy wierzchołki:</strong></p>\n<p>Ostrosłup \\(n\\)-boczny ma:</p>\n<ul><li>\\(n\\) wierzchołków podstawy</li><li>\\(1\\) wierzchołek (wierzchołek ostrosłupa - apex)</li></ul>\n<p>\\[L_{\\text{wierzchołków}} = n + 1 = 11 + 1 = \\mathbf{12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja wzorem Eulera</h4>\n<p>Wzór Eulera dla wielościanów wypukłych:<br>\\[V - E + F = 2\\]<br>gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.</p>\n<p>Dla ostrosłupa \\(11\\)-bocznego (\\(n = 11\\)):</p>\n<ul><li>\\(F = 12\\) (dane w zadaniu)</li><li>Krawędzie: \\(n\\) krawędzi podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 2 \\cdot 11 = 22\\), czyli \\(E = 22\\)</li><li>Sprawdzamy: \\(V = 2 - F + E = 2 - 12 + 22 = 12\\) ✓</li></ul>\n<p>Wynik zgodny: <strong>\\(V = 12\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego (liczba ścian, wierzchołków i krawędzi zależna od liczby boków podstawy).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(10\\) | Uczeń liczy wierzchołki jako \\(n - 1 = 11 - 1\\) lub myli \\(n\\) z liczbą ścian bocznych i odejmuje zamiast dodawać apex |<br>| B. \\(11\\) | Uczeń zapomina doliczyć wierzchołek główny (apex) - liczy tylko wierzchołki podstawy |<br>| D. \\(13\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(n = 12\\) (bierze całą liczbę ścian bez odjęcia podstawy), potem dodaje apex: \\(12 + 1 = 13\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba ścian ostrosłupa \\(n\\)-bocznego to \\(n + 1\\), <strong>nie</strong> \\(n\\). Podstawa też jest ścianą! Przy wyznaczaniu \\(n\\) pamiętaj o odjęciu jedynki.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba wierzchołków ostrosłupa to też \\(n + 1\\) - \\(n\\) wierzchołków podstawy plus jeden apex. Łatwo zapomnieć o wierzchołku szczytowym, bo nie leży w podstawie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla ostrosłupa prawidłowego: liczba ścian = liczba wierzchołków \\(= n+1\\). To piękna symetria, którą warto zapamiętać!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Liczenie</h5>\n<p>Ostrosłup prawidłowy ma podstawę n-kąt i \\(n\\) ścian bocznych. Łącznie ścian: \\(n + 1\\).<br>\\(n + 1 = 12 \\Rightarrow n = 11\\). Wierzchołki: \\(n\\) wierzchołków podstawy + \\(1\\) wierzchołek (szczyt) = \\(12\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór Eulera</h5>\n<p>Dla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W - K + S = 2\\). \\(S = n+1\\), \\(W = n+1\\), \\(K = 2n\\). Sprawdzenie: \\((n+1)-2n+(n+1) = 2\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(10\\)</strong> - brak szczytu.</li><li><strong>B. \\(11\\)</strong> - tylko podstawa.</li><li><strong>D. \\(13\\)</strong> - przeliczenie o 1.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: wierzchołków \\(=\\) ścian \\(= n+1\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, długości krawędzi prostopadłościanu to $6$, $8$ i $10$.<br>Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:<br>$P = 2(ab + ac + bc) = 2(6 \\cdot 8 + 6 \\cdot 10 + 8 \\cdot 10) = 2(48 + 60 + 80) = 2 \\cdot 188 = 376$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, z których największa jest równa 10 , to:</p>\n<p>6, 8, 10.</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:</p>\n<p>P_c=2(ab+ac+bc).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>P_c=2(6·8+6·10+8·10),</p>\n<p>P_c=2(48+60+80)=2·188=376.</p>"}]}