{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i 𝐸𝐹𝐺𝐻 są\nkwadratami o boku długości 6. Przekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu tworzy z przekątną\n𝐴𝐻 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrzekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu ma długość równą\nA. 4√3\nB. 6√3\nC. 12\nD. 12√2\n30°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n6\n6\n\nMMAP-P0_100\nDany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6. Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH ściany bocznej ADHE kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna BH tego prostopadłościanu ma długość równą A. 4√3 B. 6√3 C. 12 D. 12√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi), oblicza miary\ntych kątów.\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne i iloczyn skalarny\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych.** Umieszczamy prostopadłościan tak, by:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (6,0,0),\\quad C = (6,6,0),\\quad D = (0,6,0)\\]\n\\[E = (0,0,h),\\quad F = (6,0,h),\\quad G = (6,6,h),\\quad H = (0,6,h)\\]\ngdzie \\(h\\) to szukana wysokość prostopadłościanu.\n\n**Wyznaczamy wektory przekątnych:**\n\\[\\vec{AH} = (0, 6, h), \\qquad \\vec{BH} = (-6, 6, h)\\]\n\n**Zapisujemy warunek kąta** \\(30°\\) między \\(BH\\) a \\(AH\\):\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH}}{|\\vec{AH}| \\cdot |\\vec{BH}|}\\]\n\nLiczymy iloczyn skalarny:\n\\[\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH} = 0 \\cdot (-6) + 6 \\cdot 6 + h \\cdot h = 36 + h^2\\]\n\nLiczymy długości:\n\\[|\\vec{AH}| = \\sqrt{36 + h^2}, \\qquad |\\vec{BH}| = \\sqrt{72 + h^2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36 + h^2}{\\sqrt{36+h^2} \\cdot \\sqrt{72+h^2}} = \\frac{\\sqrt{36+h^2}}{\\sqrt{72+h^2}}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\[\\frac{3}{4} = \\frac{36 + h^2}{72 + h^2}\\]\n\n\\[3(72 + h^2) = 4(36 + h^2)\\]\n\\[216 + 3h^2 = 144 + 4h^2\\]\n\\[h^2 = 72\\]\n\n**Długość przekątnej \\(BH\\):**\n\\[|BH| = \\sqrt{72 + h^2} = \\sqrt{72 + 72} = \\sqrt{144} = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny ABH\n\n**Kluczowa obserwacja:** krawędź \\(AB\\) jest prostopadła do płaszczyzny ściany \\(ADHE\\).\n\nDlaczego? Bo \\(AB \\perp AD\\) (kąt w podstawie kwadratu) oraz \\(AB \\perp AE\\) (krawędź boczna prostopadłościanu prostopadła do podstawy), a dwa prostopadłe wektory wyznaczają płaszczyznę - więc \\(AB \\perp\\) płaszczyzna \\(ADHE\\).\n\nSkoro \\(AH\\) leży w płaszczyźnie \\(ADHE\\), to:\n\\[AB \\perp AH\\]\n\n**Trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\).**\n\nW tym trójkącie kąt \\(\\angle AHB = 30°\\), a \\(AB = 6\\):\n\\[\\sin(\\angle AHB) = \\frac{AB}{BH}\\]\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{6}{BH}\\]\n\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{BH}\\]\n\n\\[\\boxed{BH = 12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności prostopadłościanu.\nUżyliśmy faktu, że krawędzie boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - sinus kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nW Sposobie 2 bezpośrednio z definicji sinusa odczytujemy \\(BH\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy z iloczynu skalarnego - to nie jest wzór z karty CKE, ale wniosek z definicji cosinusa (dział 9, s. 12).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(4\\sqrt{3}\\) | Użycie **cosinus** zamiast sinus w trójkącie prostokątnym: \\(\\cos 30° = \\frac{AB}{BH}\\), co daje \\(BH = \\frac{6}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{3}} = 4\\sqrt{3}\\) |\n| B | \\(6\\sqrt{3}\\) | Obliczono długość **\\(AH\\)** (przekątnej ściany bocznej) zamiast \\(BH\\): \\(|AH| = \\sqrt{36 + 72} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\) |\n| D | \\(12\\sqrt{2}\\) | Dodano długości \\(BD + DH\\) zamiast stosować twierdzenie Pitagorasa: \\(6\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\) - to nie jest przejście po odcinku prostym! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest zawarty **między odcinkami \\(BH\\) i \\(AH\\)** - oba kończą się w \\(H\\). To kąt przy wierzchołku \\(H\\) w trójkącie \\(ABH\\), a nie kąt, jaki \\(BH\\) tworzy z podstawą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny \"z definicji\" - trzeba uzasadnić, że \\(AB \\perp AH\\). Kluczem jest prostopadłość krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przekątnej **ściany** (tu \\(AH = 6\\sqrt{3}\\)) z przekątną **bryły** (\\(BH = 12\\)). To klasyczna pułapka w zadaniach ze stereometrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ABH\\)\nOdcinek \\(AB\\) jest prostopadły do ściany \\(ADHE\\), więc trójkąt \\(ABH\\) ma kąt prosty przy \\(A\\). Kąt \\(\\angle BHA = 30°\\), więc \\(\\sin 30° = \\dfrac{AB}{BH}\\):\n\\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{6}{BH} \\Rightarrow BH = 12.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie Pitagorasa\n\\(AH = \\sqrt{36 + h^2}\\). Z \\(\\operatorname{tg} 30° = \\tfrac{AB}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\):\n\\(\\tfrac{6}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\Rightarrow AH = 6\\sqrt{3}\\). Następnie \\(BH = \\sqrt{AB^2+AH^2} = \\sqrt{36+108} = 12.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\)** - za mało.\n- **B. \\(6\\sqrt{3}\\)** - to długość \\(AH\\), nie \\(BH\\).\n- **D. \\(12\\sqrt{2}\\)** - zły wzór.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(30°-60°-90°\\) bok naprzeciw \\(30°\\) to połowa przeciwprostokątnej.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Dany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i 𝐸𝐹𝐺𝐻 są<br>kwadratami o boku długości 6. Przekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu tworzy z przekątną<br>𝐴𝐻 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Przekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu ma długość równą<br>A. 4√3<br>B. 6√3<br>C. 12<br>D. 12√2<br>30°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐸<br>𝐹<br>6<br>6</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6. Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH ściany bocznej ADHE kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna BH tego prostopadłościanu ma długość równą A. 4√3 B. 6√3 C. 12 D. 12√2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>X.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]<br>kąty między odcinkami (np. krawędziami,<br>krawędziami i przekątnymi), oblicza miary<br>tych kątów.<br>VIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne<br>do wyznaczania długości odcinków […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Współrzędne i iloczyn skalarny</h4>\n<p><strong>Wprowadzamy układ współrzędnych.</strong> Umieszczamy prostopadłościan tak, by:<br>\\[A = (0,0,0),\\quad B = (6,0,0),\\quad C = (6,6,0),\\quad D = (0,6,0)\\]<br>\\[E = (0,0,h),\\quad F = (6,0,h),\\quad G = (6,6,h),\\quad H = (0,6,h)\\]<br>gdzie \\(h\\) to szukana wysokość prostopadłościanu.</p>\n<p><strong>Wyznaczamy wektory przekątnych:</strong><br>\\[\\vec{AH} = (0, 6, h), \\qquad \\vec{BH} = (-6, 6, h)\\]</p>\n<p><strong>Zapisujemy warunek kąta</strong> \\(30°\\) między \\(BH\\) a \\(AH\\):<br>\\[\\cos 30° = \\frac{\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH}}{|\\vec{AH}| \\cdot |\\vec{BH}|}\\]</p>\n<p>Liczymy iloczyn skalarny:<br>\\[\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH} = 0 \\cdot (-6) + 6 \\cdot 6 + h \\cdot h = 36 + h^2\\]</p>\n<p>Liczymy długości:<br>\\[|\\vec{AH}| = \\sqrt{36 + h^2}, \\qquad |\\vec{BH}| = \\sqrt{72 + h^2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36 + h^2}{\\sqrt{36+h^2} \\cdot \\sqrt{72+h^2}} = \\frac{\\sqrt{36+h^2}}{\\sqrt{72+h^2}}\\]</p>\n<p>Podnosimy do kwadratu:<br>\\[\\frac{3}{4} = \\frac{36 + h^2}{72 + h^2}\\]</p>\n<p>\\[3(72 + h^2) = 4(36 + h^2)\\]<br>\\[216 + 3h^2 = 144 + 4h^2\\]<br>\\[h^2 = 72\\]</p>\n<p><strong>Długość przekątnej \\(BH\\):</strong><br>\\[|BH| = \\sqrt{72 + h^2} = \\sqrt{72 + 72} = \\sqrt{144} = \\boxed{12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny ABH</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> krawędź \\(AB\\) jest prostopadła do płaszczyzny ściany \\(ADHE\\).</p>\n<p>Dlaczego? Bo \\(AB \\perp AD\\) (kąt w podstawie kwadratu) oraz \\(AB \\perp AE\\) (krawędź boczna prostopadłościanu prostopadła do podstawy), a dwa prostopadłe wektory wyznaczają płaszczyznę - więc \\(AB \\perp\\) płaszczyzna \\(ADHE\\).</p>\n<p>Skoro \\(AH\\) leży w płaszczyźnie \\(ADHE\\), to:<br>\\[AB \\perp AH\\]</p>\n<p><strong>Trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\).</strong></p>\n<p>W tym trójkącie kąt \\(\\angle AHB = 30°\\), a \\(AB = 6\\):<br>\\[\\sin(\\angle AHB) = \\frac{AB}{BH}\\]</p>\n<p>\\[\\sin 30° = \\frac{6}{BH}\\]</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{BH}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{BH = 12}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - własności prostopadłościanu.<br>Użyliśmy faktu, że krawędzie boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - sinus kąta w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]<br>W Sposobie 2 bezpośrednio z definicji sinusa odczytujemy \\(BH\\).</p>\n<p>W Sposobie 1 korzystamy z iloczynu skalarnego - to nie jest wzór z karty CKE, ale wniosek z definicji cosinusa (dział 9, s. 12).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Typowy błąd |<br>| A | \\(4\\sqrt{3}\\) | Użycie <strong>cosinus</strong> zamiast sinus w trójkącie prostokątnym: \\(\\cos 30° = \\frac{AB}{BH}\\), co daje \\(BH = \\frac{6}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{3}} = 4\\sqrt{3}\\) |<br>| B | \\(6\\sqrt{3}\\) | Obliczono długość <strong>\\(AH\\)</strong> (przekątnej ściany bocznej) zamiast \\(BH\\): \\(|AH| = \\sqrt{36 + 72} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\) |<br>| D | \\(12\\sqrt{2}\\) | Dodano długości \\(BD + DH\\) zamiast stosować twierdzenie Pitagorasa: \\(6\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\) - to nie jest przejście po odcinku prostym! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(30°\\) jest zawarty <strong>między odcinkami \\(BH\\) i \\(AH\\)</strong> - oba kończą się w \\(H\\). To kąt przy wierzchołku \\(H\\) w trójkącie \\(ABH\\), a nie kąt, jaki \\(BH\\) tworzy z podstawą!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zakładaj, że trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny &quot;z definicji&quot; - trzeba uzasadnić, że \\(AB \\perp AH\\). Kluczem jest prostopadłość krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić przekątnej <strong>ściany</strong> (tu \\(AH = 6\\sqrt{3}\\)) z przekątną <strong>bryły</strong> (\\(BH = 12\\)). To klasyczna pułapka w zadaniach ze stereometrii.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ABH\\)</h5>\n<p>Odcinek \\(AB\\) jest prostopadły do ściany \\(ADHE\\), więc trójkąt \\(ABH\\) ma kąt prosty przy \\(A\\). Kąt \\(\\angle BHA = 30°\\), więc \\(\\sin 30° = \\dfrac{AB}{BH}\\):<br>\\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{6}{BH} \\Rightarrow BH = 12.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie Pitagorasa</h5>\n<p>\\(AH = \\sqrt{36 + h^2}\\). Z \\(\\operatorname{tg} 30° = \\tfrac{AB}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\):<br>\\(\\tfrac{6}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\Rightarrow AH = 6\\sqrt{3}\\). Następnie \\(BH = \\sqrt{AB^2+AH^2} = \\sqrt{36+108} = 12.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\)</strong> - za mało.</li><li><strong>B. \\(6\\sqrt{3}\\)</strong> - to długość \\(AH\\), nie \\(BH\\).</li><li><strong>D. \\(12\\sqrt{2}\\)</strong> - zły wzór.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trójkącie prostokątnym \\(30°-60°-90°\\) bok naprzeciw \\(30°\\) to połowa przeciwprostokątnej.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, trójkąt $ABH$ jest trójkątem prostokątnym o kątach $30^\\circ,60^\\circ, 90^\\circ$, odcinek $AB$ jest jego krótszą przyprostokątną, a odcinek $BH$ jest jego przeciwprostokątną. A zatem $|BH|=2 \\cdot 6=12$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Odcinek AB jest prostopadły do ściany ADHE , więc trójkąt ABH jest prostokątny w punkcie A .</p>\n<p>W tym trójkącie:</p>\n<p>∠ BHA=30^°, AB=6.</p>\n<p>Korzystamy z definicji sinusa:</p>\n<p>sin30^°=(AB)/(BH).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>(1)/(2)=(6)/(BH),</p>\n<p>więc</p>\n<p>BH=12.</p>"}]}