{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek\njest o 3 większa od cyfry jedności, jest\nA. 3\nB. 6\nC. 7\nD. 13\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności, jest A. 3 B. 6 C. 7 D. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(376\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i wzór na pole\n\n**Ustalamy wymiary prostopadłościanu.**\n\nKrawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to trzy kolejne parzyste liczby naturalne.\nNiech będą to: \\(a, a+2, a+4\\).\n\n**Warunek:** najdłuższa krawędź ma długość \\(10\\), więc:\n\\[a + 4 = 10 \\implies a = 6\\]\n\nWymiary prostopadłościanu: \\(\\mathbf{a = 6, \\; b = 8, \\; c = 10}\\).\n\n**Liczymy pole powierzchni całkowitej:**\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\n\\[P_c = 2(6 \\cdot 8 + 8 \\cdot 10 + 10 \\cdot 6)\\]\n\\[P_c = 2(48 + 80 + 60)\\]\n\\[P_c = 2 \\cdot 188 = \\mathbf{376}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do wzoru)\n\nSprawdzamy, czy \\(6, 8, 10\\) to rzeczywiście trzy kolejne parzyste liczby naturalne:\n\\[6, \\; 8, \\; 10 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(różnica } 2 \\text{ między każdymi)}]\n\nSprawdzamy pole ścian osobno:\n- Dwie ściany \\(6 \\times 8\\): \\(2 \\cdot 48 = 96\\)\n- Dwie ściany \\(8 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 80 = 160\\)\n- Dwie ściany \\(6 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 60 = 120\\)\n\nSuma: \\(96 + 160 + 120 = \\mathbf{376}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyliśmy tego wzoru wprost do obliczenia pola po wyznaczeniu wymiarów \\(6, 8, 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\((466)\\) | Przyjęcie krawędzi \\(8, 10, 12\\) - czyli uznanie \\(10\\) za środkową, a nie najdłuższą |\n| C \\((480)\\) | Pomylenie pola powierzchni z objętością: \\(V = 6 \\cdot 8 \\cdot 10 = 480\\) - to objętość, nie pole! |\n| D \\((720)\\) | Wzięcie krawędzi \\(10, 12, 14\\) lub inny błąd w wyborze trójki kolejnych liczb parzystych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Kolejne parzyste liczby naturalne\" to liczby różniące się o \\(2\\), nie o \\(1\\). Nie mylić z kolejnymi liczbami naturalnymi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najdłuższa krawędź to \\(a + 4\\), nie \\(a + 2\\). Uważaj, żeby nie przypisać \\(10\\) do środkowej krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(480\\)) to \\(6 \\cdot 8 \\cdot 10\\) - czyli **objętość** prostopadłościanu, nie pole. To klasyczna pułapka maturalna - sprawdź, czego pyta zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja krawędzi\nTrzy kolejne liczby parzyste kończące się na \\(10\\): \\(6, 8, 10\\).\nPole powierzchni: \\(P = 2(ab + bc + ac) = 2(6\\cdot 8 + 8\\cdot 10 + 6\\cdot 10) = 2(48+80+60) = 2\\cdot 188 = 376.\\)\n\n### Sposób 2 - Ściany\nPary ścian: \\(6\\times 8\\) (2 szt. = 96), \\(6\\times 10\\) (2 szt. = 120), \\(8\\times 10\\) (2 szt. = 160). Suma: \\(96+120+160 = 376\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(466\\)** - błąd arytmetyczny.\n- **C. \\(480\\)** - \\(2(8\\cdot 10) + \\dots\\), zły schemat.\n- **D. \\(720\\)** - może \\(4abc\\) lub potrojone.\n\n**Trik:** karta wzorów - pole prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+bc+ac)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek<br>jest o 3 większa od cyfry jedności, jest<br>A. 3<br>B. 6<br>C. 7<br>D. 13<br>Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności, jest A. 3 B. 6 C. 7 D. 13</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(376\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie i wzór na pole</h4>\n<p><strong>Ustalamy wymiary prostopadłościanu.</strong></p>\n<p>Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to trzy kolejne parzyste liczby naturalne.<br>Niech będą to: \\(a, a+2, a+4\\).</p>\n<p><strong>Warunek:</strong> najdłuższa krawędź ma długość \\(10\\), więc:<br>\\[a + 4 = 10 \\implies a = 6\\]</p>\n<p>Wymiary prostopadłościanu: \\(\\mathbf{a = 6, \\; b = 8, \\; c = 10}\\).</p>\n<p><strong>Liczymy pole powierzchni całkowitej:</strong><br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]<br>\\[P_c = 2(6 \\cdot 8 + 8 \\cdot 10 + 10 \\cdot 6)\\]<br>\\[P_c = 2(48 + 80 + 60)\\]<br>\\[P_c = 2 \\cdot 188 = \\mathbf{376}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do wzoru)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(6, 8, 10\\) to rzeczywiście trzy kolejne parzyste liczby naturalne:<br>\\[6, \\; 8, \\; 10 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(różnica } 2 \\text{ między każdymi)}]</p>\n<p>Sprawdzamy pole ścian osobno:</p>\n<ul><li>Dwie ściany \\(6 \\times 8\\): \\(2 \\cdot 48 = 96\\)</li><li>Dwie ściany \\(8 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 80 = 160\\)</li><li>Dwie ściany \\(6 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 60 = 120\\)</li></ul>\n<p>Suma: \\(96 + 160 + 120 = \\mathbf{376}\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:<br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]<br>Użyliśmy tego wzoru wprost do obliczenia pola po wyznaczeniu wymiarów \\(6, 8, 10\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B \\((466)\\) | Przyjęcie krawędzi \\(8, 10, 12\\) - czyli uznanie \\(10\\) za środkową, a nie najdłuższą |<br>| C \\((480)\\) | Pomylenie pola powierzchni z objętością: \\(V = 6 \\cdot 8 \\cdot 10 = 480\\) - to objętość, nie pole! |<br>| D \\((720)\\) | Wzięcie krawędzi \\(10, 12, 14\\) lub inny błąd w wyborze trójki kolejnych liczb parzystych |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Kolejne parzyste liczby naturalne&quot; to liczby różniące się o \\(2\\), nie o \\(1\\). Nie mylić z kolejnymi liczbami naturalnymi!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najdłuższa krawędź to \\(a + 4\\), nie \\(a + 2\\). Uważaj, żeby nie przypisać \\(10\\) do środkowej krawędzi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź C (\\(480\\)) to \\(6 \\cdot 8 \\cdot 10\\) - czyli <strong>objętość</strong> prostopadłościanu, nie pole. To klasyczna pułapka maturalna - sprawdź, czego pyta zadanie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Identyfikacja krawędzi</h5>\n<p>Trzy kolejne liczby parzyste kończące się na \\(10\\): \\(6, 8, 10\\).<br>Pole powierzchni: \\(P = 2(ab + bc + ac) = 2(6\\cdot 8 + 8\\cdot 10 + 6\\cdot 10) = 2(48+80+60) = 2\\cdot 188 = 376.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Ściany</h5>\n<p>Pary ścian: \\(6\\times 8\\) (2 szt. = 96), \\(6\\times 10\\) (2 szt. = 120), \\(8\\times 10\\) (2 szt. = 160). Suma: \\(96+120+160 = 376\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(466\\)</strong> - błąd arytmetyczny.</li><li><strong>C. \\(480\\)</strong> - \\(2(8\\cdot 10) + \\dots\\), zły schemat.</li><li><strong>D. \\(720\\)</strong> - może \\(4abc\\) lub potrojone.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> karta wzorów - pole prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+bc+ac)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ liczby dwucyfrowe, gdzie cyfra dziesiątek jest o $3$ większa od cyfry jedności, to: $30$, $41$, $52$, $63$, $74$, $85$, $96$, co daje $7$ takich liczb.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech cyfrą jedności będzie a . Cyfra dziesiątek ma wtedy wartość</p>\n<p>a+3.</p>\n<p>Aby była cyfrą, musi zachodzić:</p>\n<p>a+3≤ 9,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>a≤ 6.</p>\n<p>Cyfra jedności może więc być równa:</p>\n<p>0,1,2,3,4,5,6.</p>\n<p>Otrzymujemy 7 liczb:</p>\n<p>30,41,52,63,74,85,96.</p>"}]}